Fontes de Erros Aula 1 Introdução; Erros em processos numéricos;

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1 Fontes de Erros Aula 1 Introdução; Erros em processos numéricos;
Algoritmo numérico de boa qualidade

2 Introdução Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente o modelo que representa a situação física. Modelo é uma reprodução idealizada de algumas ou todas as características físicas de um processo natural em escala adequada; é um sistema que consegue reproduzir, pelo menos em parte, o comportamento de um processo natural; Tal modelo é transformado em equações matemáticas (modelo matemático) que será resolvido por métodos analíticos ou numéricos. Como para a maioria das situações não há soluções analíticas, os métodos numéricos tornam-se a alternativa mais econômica;

3 Introdução Outra possibilidade seria a experimentação em laboratório, que envolve normalmente equipamentos e técnicas sofisticadas ou caras, ou até situações de risco. A meta só é atingida quando tais etapas forem cuidadosamente realizadas

4 Fontes de erro Dado um problema, para se chegar a um resultado numérico é necessário realizar uma seqüência pré-estabelecida de passos. Em cada um destes passos pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo.

5 Fontes de erro Estes erros surgem basicamente de duas formas:
Erros na fase da modelagem: aqueles inerentes à formulação matemática do problema (relacionados à aproximação da situação física e a erros nos dados) ; Erros na fase de resolução: aqueles que aparecem no processo de solução numérica (erros de truncamento e de arredondamento).

6 Fontes de erro Erros na fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e erros de representação: Erros na mudança de base: os equipamentos computacionais representa os valores numéricos no sistema binário.

7 Fontes de erro Erros de representação:
Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para representar os dados numéricos. Cada número é armazenado em uma posição (sinal e número fixo e limitado de dígitos significativos). Sistema de Ponto Flutuante normalizado: é caracterizado por uma base b, um número de dígitos significativos n e um expoente exp. 𝑛𝑟=𝑚× 𝑏 𝑒𝑥𝑝 Onde m é a mantissa do número, b≥2 é a base e exp o expoente da base.

8 Fontes de erro Sistema de Ponto Flutuante: as seguintes condições devem ser verificadas: 𝑚=±0. 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3,…, 𝑑 𝑛 ; 𝑛∈ℕ Sendo n o número máximo de dígitos na mantissa. 1º Dígito: 1≤𝑑 1 ≤(𝑏−1) Demais dígitos: : 0≤𝑑 𝑖 ≤(𝑏−1); i=2,3,…,n Expoente: 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑖𝑛 ≤exp≤ 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑎𝑥 Sendo 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑖𝑛 ≤0 e 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑎𝑥 ≥1 A união de todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado. 𝑆𝑃𝐹 𝑏,𝑛, 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑖𝑛 , 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑎𝑥 .

9 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟=0. 1 000…0 (𝑛−1) 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑏 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑖𝑛 ;
Fontes de erro Sistema de Ponto Flutuante: Menor positivo exatamente representável: 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟= …0 (𝑛−1) 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑏 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑖𝑛 ; Maior positivo exatamente representável: mai𝑜𝑟=0. [𝑏−1][𝑏−1][𝑏−1]…[𝑏−1] (𝑛−1) 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑏 𝑒𝑥𝑝 𝑚á𝑥 ; Número máximo de mantissas positivas: 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠 + = (𝑏−1) 𝑏 𝑛−1 ; Número máximo de expoentes: 𝑒𝑥𝑝 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 = 𝑒𝑥𝑝 𝑚á𝑥 − 𝑒𝑥𝑝 𝑚𝑖𝑛 +1 Número de elementos positivos representáveis: 𝑁𝑅 + = 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠 + ×𝑒𝑥𝑝 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑁𝑅 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2×NR + +1

10 Fontes de erro Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituição de um processo infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. Erros também surgem pelo fato que as operações aritméticas quase nunca podem ser efetuadas com precisão completa; estes são denominados de erros de arredondamento. A maioria dos números tem representações decimais infinitas que devem ser arredondadas.

11 Fontes de erro Os tipos de arredondamento mais utilizados são:
tipo corte: as casas em excesso são simplesmente abandonadas; para o número de máquina mais próximo: se a máquina trabalha com d algarismos significativos para a mantissa (representa seus dígitos significativos) de um número, então analisa-se o algarismo de ordem d+1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d; caso contrário, o algarismo de ordem d permanece inalterado.

12 Fontes de erro A diferença entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo erro absoluto ou pelo relativo. O erro absoluto, indicado por EA , é dado por: 𝐸 𝑎𝑏𝑠 = 𝑎 𝑒𝑥 − 𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 e o erro relativo, indicado por ER, é 𝐸 𝑟𝑒𝑙 = 𝐸 𝑎𝑏𝑠 𝑎 𝑒𝑥 ou 𝐸 𝑟𝑒𝑙 = 𝑎 𝑒𝑥 − 𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 𝑎 𝑒𝑥 sendo esta uma medida mais significativa que a do erro absoluto.

13 Fontes de erro Exemplos: 𝑆𝑃𝐹 3,2,−1,2 .
𝑆𝑃𝐹 3,2,−1,2 . Considere o sistema 𝑆𝑃𝐹 10,3,−5,5 . Faça a análise dos erros relativos e absolutos. a) − e 1.386−(0.987−7.6485)

14 Fontes de erro Exemplos:
Consideremos o valor exato 𝑎 𝑒𝑥 = e 𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = Consideremos o valor exato 𝑎 𝑒𝑥 =1.713 e 𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 =1.000 Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nas sequências de aproximações.

15 Fontes de erro Dois conceitos estão relacionados à qualidade dos resultados obtidos computacionalmente: precisão e acurácia.

16 Fontes de erro Dois conceitos estão relacionados à qualidade dos resultados obtidos computacionalmente: precisão e acurácia. A precisão se refere a quão próximos os valores individuais calculados ou medidos estão uns dos outros. A acurácia se refere a quão próximo o valor calculado ou medido está do valor verdadeiro.

17 Fontes de erro Para a maioria das situações não importa o procedimento numérico utilizado, o resultado é sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de solução podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade, que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbações e pode ocorrer tanto no problema em si como no algoritmo, isto é, na maneira de resolver o problema.

18 Fontes de erro Exemplo: A função e-x em termos da série de Taylor é escrita conforme: Assim, considerando até 4 dígitos após a vírgula resulta e-7 = ,5 - 57, , = -4, com 25 termos. Comparando esta solução com a exata, e-7 = 0, , verifica-se haver uma grande diferença nos resultados. Isto ocorre pois parcelas inferiores a 10-4 foram desconsideradas e o problema é constituído de inúmeras grandezas desta ordem. Portanto, as causas deste erro são: adição de grandezas de ordens diferentes; subtração de grandezas muito próximas.

19 Algoritmo de boa qualidade
Inexistência de erro lógico: o procedimento não deverá conter erros; Inexistência de erro operacional: Não devem surgir erros de “underflow” ou “overflow”. Quantidade finita de cálculos: o algoritmo deve terminar após um número finito de iterações; Existência de um critério de exatidão: deve se enquadrar a um critério previamente fornecido e aceitável;

20 Algoritmo de boa qualidade
Independência de máquina: de preferência o programa dever ser independente da máquina utilizada para resolvê-lo; Precisão infinita: os limites do erro devem tender a zero; Eficiência: obter respostas corretas do problema no menor custo possível.

21 Exercícios Calcular as raízes da equação x2 + 75x + 3 = 0 com precisão de três dígitos significativos e arredondamento por corte. 2. Recalcule as raízes desta mesma equação utilizando agora cinco dígitos e arredondamento para o número de máquina mais próximo. Calcule a solução dos sistemas de equações lineares: a) b) Compare e interprete os resultados obtidos.

22 Exercícios 4. Sejam x = 0,66667 e y = 0, aproximações para 2/3. Quantas casas decimais corretas tem x e y? Determine o erro relativo e o erro absoluto em x e y. 5. Refazer os exercícios usando o software SCILAB para se familiarizar com o mesmo.