Métodos Numéricos e Estatísticos

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1 Métodos Numéricos e Estatísticos
Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: Métodos numéricos para equações diferenciais 1a ordem Passos múltiplos 2a ordem REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

2 Equações diferenciais de 1a ordem
Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático. Uma equação diferencial de 1a ordem tem a forma , e em geral podemos escrevê-la como: Problema do valor inicial - uma equação diferencial - uma condição que deve ser satisfeita pela solução REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

3 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos
Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede x0 x1= x0+h x2= x1+h h é o passo . O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor. REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Método de Euler ou Euler-Cauchy O valor de y para um passo h é dado pela expansão: Como em geral h é pequeno, suprimimos os termos de ordem O(h2): h2, h3, ..... Resultando na aproximação REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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O que resulta no processo iterativo A omissão dos termos de ordem superior a 2 causa erros de truncagem (que podem ocorrer junto a erros de arredondamento). REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Exemplo: passo h=0,2 O erro não é (em geral) conhecido. Podemos estimá-lo utilizando um passo h´=2h REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

7 Método de Euler melhorado (2a ordem)
Método chamado de preditor-corretor. REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Exemplo: o mesmo visto anteriormente REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

9 Método de Runge-Kutta (4a ordem)
Se f(x,y) não depender de y, o método reduz-se à regra de integração de Simpson REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Comparação entre os métodos REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Qual o valor mais adequado para o passo h? Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a “proposta” de que h  h/2 se K  0,05 h  2h se 0,01  K h não muda se 0,05  K  0,01 Estimativa de erro: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

12 Métodos para eq. dif. de segunda ordem
P.V.I. Novamente o problema é obter os valores de yn e yn´ para a seqüência x1 = x0 + h; x2 = x0 + 2h; ... Começamos mais uma vez pelas expansões em série de Taylor da função e de sua derivada: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

13 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos
O método mais simples consiste em desprezar os termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores 1o passo: 2o passo: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Runge-Kutta-Nyström Valores iniciais: x0, y0, y0´ passo h Saída REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

15 Equações diferenciais parciais
Uma equação é dita quasilinear se for linear nas derivadas mais altas: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

16 Equações de diferenças para Eq. de Laplace e Poisson
Vamos ver o caso mais simples em duas dimensões (x e y): Laplace Poisson (x-h,y) (x,y) (x+h,y) h h k (x,y-k) (x,y+k) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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(x,y+k) k h h (x-h,y) (x,y) (x+h,y) (x,y-k) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h4), temos Juntando as aproximações das derivadas primeiras e segundas, fazendo h=k, obtemos a equação de diferenças correspondente à equação de Poisson: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Para f(x,y) = 0 temos a equação de Laplace. h é chamado de o comprimento da malha (mesh size). Equações elípticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condições previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns: Dirichlet: se u é definido na fronteira C Neumann: se un=u/n (derivada na direção normal) é definida na fronteira. Para resolver o problema, é necessário criar uma malha.: nós da rede ou da malha (Pij) Fronteira C REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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Exemplo Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas às temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Será escolhido um comprimento h = 4 cm. u=0 u=0 y 12 P02 P12 u=100 u=100 u=100 R P01 P11 P21 P10 P20 x 12 u=100 u=100 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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ui,j+1 A equação de transferência de calor é ut = c2(uxx+uyy) Para o regime estacionário ut = 0, a equação se reduz à de Laplace uxx+uyy = 0 Para cada ponto da malha, temos a seguinte equação: ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 -4 ui,j = 0 P11: - 4u11 + u21 + u01 + u12 + u10 = 0 - 4u11 + u u = 0 - 4u11 + u21 + u12 = - 200 ui-1,j ui,j ui+1,j ui,j-1 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

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- 4u11 + u21 + u12 = -200 u11 - 4u u22 = -200 u u12 + u22 = -100 u21 +u12 - 4u22 = -100 Dando como resultados u11 = u21 = 87,5 (88,1) u12 = u22 = 62,5 (61,9) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos