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BCC101 Matemática Discreta I
CS Applied Logic, University of Oklahoma BCC101 Matemática Discreta I Lógica Proposicional Dedução 1
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Implicação e Dedução Tabela-verdade de False False = True False True = True True True = True True False = False Raciocínio Dedutivo: das hipóteses para a conclusão Hipótese 1: x = True, Hipótese 2: x y = True Conclusão: y = True Porque? Bem … suponha y = False {suposição} Então poderíamos provar que False = True, pelo seguinte argumento False = True False { tabela-verdade} = x False {hipótese 1} = x y {suposição} = True {hipótese 2} Não podemos aceitar a equação True = False Portanto, devemos aceitar que y = True se x y = True e x = True Implicação possibilita dedução Deduzimos y = True de x = True e x y = True Esta "regra de inferência” é chamada "modus ponens” Tautologia: ((x (x y)) y) = True
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Regras de Inferência e tautologias correspondentes
Regras de Eliminação Regras de Introdução x x y y {E} (modus ponens) [x] |– y x y {I} ((x y) (x y)) = True ((x (x y)) y) = True tautologia correspondente {E1} x y x {I} x y x y ((x y) (x y)) = True ((x y) x) = True {E2} x y y {I1} x x y (x (x y)) = True ((x y) y) = True x y [x] |– z [y] |– z z {E} {I2} y x y (y (x y)) = True (((x y) (x z) (y z)) z) = True Outras Regras {ID} x (x x) = True [x] |– False x {RAA} {CTR} False x (False x) = True (((x) False) x) = True
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Teorema e Prova Teorema ( Comuta) a b |– b a Prova a b {E2}
é OK reusar uma hipótese do teorema Teorema ( Comuta) a b |– b a casa com a hipótese 2 provas para aplicar a regra I Prova prova de (a b) |– b prova de (a b) |– a hipótese a b {E2} b a b {E1} a Usa a regra E2 {I} b a Provas acima da linha Conclusão abaixo da linha {regra} Dedução Natural Provas formam uma estrutura de árvore: Folhas = hipóteses Raiz = conclusão Regras de Inferência = ramos {I} a b a b
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Transitividade da Implicação
Teorema (Transitividade da Implicação) ab, bc |– ac Suponha que podemos obter uma prova para: a |– c Então a regra I nos permitiria concluir ac Estratégia Suponha a Prove: a |– c Conclua ac (aplicando a regra I) prova Obtemos o teorema a partir da prova Basta examinar as folhas e a raiz folhas restantes são as hipóteses a ab {E} b hipótese admitida temporariamente descarregada bc {E} c {I} ac a raiz é a conclusão por I 5
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Ou Comuta Teorema (Ou Comuta) a b |– b a Suponha
Que podemos provar o teorema: a |– b a E podemos também provar o teorema: b |– b a Então, aplicando a regra E, concluímos b a de a b premissas temporárias descarregada por E b a a {I2} b a b a b {I1} b a hipótese restante a b {E} b a conclusão x {I1} x y Ou Intro 1 y {I2} x y Ou Intro 2 x y [x] |– z [y] |– z {E} z Ou Eliminação
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Modus Tollens Teorema (Modus Tollens) a b, b |– a
Convenção do sistema de dedução natural a é uma abreviação para a False a b b False { transitividade} a False x -> y ¬y {modus tollens} ¬x regra derivada
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Convenção de dedução natural
Negação Convenção de dedução natural a é uma abreviação para a False x x y y {E} [x] |– y x y {I} x x False False {E} [x] |– False x False {I} x x False {E} [x] |– False x {I} Não Eliminação Não Introdução
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Exercício Prove o seguinte sequente: a b, b c |– c
x x y y {E} {E1} x y x {E2} x y [x] |– z [y] |– z z {E} [x] |– y x y {I} {I} x y {I1} x y {I2} [x] |– False {RAA} {ID} {CTR} False Regras de Inferência x é uma abreviação para xFalse a b {E2} b b c { E} c
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Exercício Prove o seguinte sequente: a b, a c, b d |– c d
x x y y {E} {E1} x y x {E2} x y [x] |– z [y] |– z z {E} [x] |– y x y {I} {I} x y {I1} x y {I2} [x] |– False {RAA} {ID} {CTR} False Regras de Inferência x é uma abreviação para xFalse a b a b {E2} {E2} a a c b b d { E} { E} c d {I} c d
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