Introdução Falha da estrutura: Falha do material Falha da estrutura

Apresentação em tema: "Introdução Falha da estrutura: Falha do material Falha da estrutura"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução Falha da estrutura: Falha do material Falha da estrutura
Deformação plástica Rotura Fadiga Aumento incontrolável de uma fractura Falha da estrutura “Flutter “ Encurvadura

2 Introdução Definição : Objectivo :
Vigas são elementos estruturais que têm uma das dimensões (o comprimento) muito maior do que as outras duas e que resistem a esforços de flexão. Objectivo : Deduzir as equações de equilíbrio de uma viga plana em termos gerais de 2º ordem, linearizando depois as equações para o caso de pequenas deflexões

3 Equações de equilíbrio
Equilíbrio de um elemento de viga na sua configuração de deflectida, (viga falhou por encurvadura) P z

4 Equações de equilíbrio
Equações de equilíbrio de forças nas direcções horizontais e verticais e o equilibro de momentos

5 Equações de equilíbrio
Utilizando a equação de equilíbrio segundo z e substituindo na equação de equilíbrio dos momentos podemos obter:

6 Equações de equilíbrio
Hipótese de Navier: “secções planas e perpendiculares ao eixo da viga, permanecem planas e perpendiculares após a deformação”: x z R 

7 Equações de equilíbrio
Comprimento da linha média: Extensão: Tensão Momento

8 Equações de equilíbrio
Para pequenas deformações onde podemos negligenciar o encurtamento da barra e as deformações por corte e obter: Substituindo na equação encontrada para o equilibro da viga obtemos: onde

9 Equações de equilíbrio
A solução da equação terá a seguinte forma: Sujeita às seguintes condições fronteira Apoio simples Encastramento Apoio Livre

10 Viga simplesmente apoiada
Sujeita às seguintes condições fronteira

11 Viga simplesmente apoiada
Obtemos as seguintes equações : Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

12 Viga simplesmente apoiada
As cargas que garentem a solução serão: A que correspondem a deflexões

13 Viga simplesmente apoiada
Como podemos obter o 2º modo se há deflexão com a menor carga critica (1º modo)? Introduzindo um apoio a meio da viga

14 Viga simplesmente apoiada
Assim o primeiro modo de encurvadura é suprimido. Logo a menor carga crítica: Esta carga é quatro vezes a carga critica da viga quando esta não tem o suporte a meio vão.

15 Viga encastrada livre As condições fronteira serão:
Em que V=0 pode ser escrito como

16 Viga encastrada livre Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

17 Viga encastrada livre As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão:

18 Viga encastrada apoiada
As condições fronteira serão:

19 Viga encastrada apoiada
Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

20 Viga encastrada apoiada
A 1ª carga critica de encurvadura e o modo de instabilidade serão:

21 Viga duplamente encastrada
As condições fronteira serão:

22 Viga duplamente encastrada
Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: Solução possível

23 Viga duplamente encastrada
As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão: z(x)=C2 cos kx + C4 = C2 (cos kx-1)

24 Comprimento equivalente
Todas as cargas criticas encontradas podem ser descritas na forma: Le é o comprimento equivalente que seria necessário para uma coluna de Euler (simplesmente apoiada) ter a mesma carga crítica do que a coluna em questão

25 Comprimento equivalente
Para os casos estudados: Le=L Coluna de Euler (simplesmente apoiada) Le=0.5L Coluna duplamente encastrada Le=0.7L Coluna encastrada apoiada Le=2L Coluna encastrada livre

26 Exemplo Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita: A solução geral é dada respectivamente para o primeiro e segundo troço: Pode-se então substituir, nas equações acima descritas, as condições de fronteira para os extremos da barra: assim com as condições de continuidade a meio da barra para a deformação: e as condições de continuidade do momento e do esforço transverso: Cuja solução é

27 Exemplo Continuação Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita: Obtemos o sistema: Sendo a solução não trivial dada pela anulação do determinante deste sistema de equações homogéneas, temos a equação característica: de onde vem que : ou A menor raiz não nula e a correspondente carga crítica são obtidas a partir da última equação:

28 Exemplo Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P: Para a metade direita (eixos yz) Para a metade esquerda Condições Fronteira Finalmente introduzindo as equações de continuidade a meio da barra: Calculando as reacções no apoios

29 Exemplo continuação Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P: Ao considerar cada metade da barra separadamente têm-se os seguintes diagramas de corpo livre: Atenção à igualdade da 1º derivada: dado os eixos terem orientações diferentes os ângulos são simétricos

30 Exemplo continuação Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P: Dado origem ao sistema Cuja equação característica (anulação do determinante) é: A solução de menor valor desta equação e a correspondente carga crítica são:

31 Colunas com apoios elásticos
Numa estrutura muitas vezes os apoios são da viga são elásticos e não rígidos: Em que os apoios de têm rigidez extensional ki (força por unidade de comprimento, N/m) e rigidez torcional hi (momento por radiano, Nm/rad).

32 Colunas com apoios elásticos
A equação de equilíbrio é a já encontrada para os casos anteriores. As condições de fronteira serão

33 Colunas com apoios elásticos
Pode-se então escrever para os momentos: Para o esforço transverso:

34 Colunas com apoios elásticos
Introduzindo os parâmetros: Obtêm-se

35 Colunas com apoios elásticos
Dado que a solução é a já encontrada : Podemos escrever:

36 Colunas com apoios elásticos
Que simplificando dá o sistema: Cuja equação característica é

37 Colunas com apoios elásticos
Vamos agora aplicar este método às vigas já estudadas: Coluna simplesmente apoiada Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Rotação livre: Mola com rigidez zero

38 Coluna simplesmente apoiada
Introduzindo no sistema encontrado: Para não obter a solução trivial

39 Coluna Encastrada-Livre
Encastramento Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Não há Rotação: Mola com rigidez infinita Extremo livre Deslocamento livre: Mola com rigidez zero Rotação Livre: Mola com rigidez zero

40 Coluna Encastrada-Livre
Então o nosso sistema será: Com a solução não trivial:

41 Coluna Encastrada-Apoiada
Encastramento Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Não há Rotação: Mola com rigidez infinita Apoiada Rotação Livre: Mola com rigidez zero

42 Coluna Encastrada-Apoiada
Então o nosso sistema será: Com a solução não trivial:

43 Coluna Duplamente Encastrada
Encastramento Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Não há Rotação: Mola com rigidez infinita

44 Coluna Duplamente Encastrada
Então o nosso sistema será: Pode-se obter:

45 Coluna Duplamente Encastrada
Cuja equação característica é

46 Exemplo Considere-se uma coluna uniforme, simplesmente apoiada em um dos apoios e tendo o outro apoio com elasticidade extensional de rigidez , conforme a figura abaixo. As condições fronteira para este caso serão: pode-se obter: para não se obter a solução trivial o determinante do sistema deve ser zero pelo que se pode obter a equação característica: As menores raízes desta equação serão dadas por αL-k2=0 ou por sin kL=0 Coluna Rígida Coluna simplesmente apoiada Temos então que Para a coluna instabilizar primeiro como Coluna Rígida

47 Exemplo Considere-se agora a coluna do exemplo anterior mas à qual se substitui o apoio esquerdo por um encastramento, tal como demonstrado na figura abaixo: Tem-se as seguintes condições α0= β0=∞, βL=0 e αL=/EI. Sendo assim obtêm-se substituindo as três primeiras equações na última obtém-se:: que se simplifica em. para o caso de k2<<αLL obtém-se tan kL=kL que é o caso de uma coluna encastrada apoiada.

48 Estabilidade de Pórticos
As colunas das estruturas porticadas são um exemplo muito comum de colunas com apoios elásticos. A rigidez extensional das vigas BC é igual a (EI)1/L1. Na maioria dos casos práticos esta rigidez costuma tomar-se como infinitamente grande.

49 Estabilidade de Pórticos
Então o modelo para o cálculo das cargas críticas das colunas AB Onde a rigidez de rotação h do apoio B baseada nas propriedades de flexão das vigas BC

50 Estabilidade de Pórticos
Para deduzir estas rigidezes de rotação impõe-se um momento concentrado no apoio B da viga BC. Para o 1º caso:

51 Estabilidade de Pórticos
Onde são impostas as condições de fronteira:

52 Estabilidade de Pórticos
Obtém-se assim Ou seja a rigidez torcional para os casos 1,3 (viga apoiada no extremo C)

53 Estabilidade de Pórticos
Para o segundo caso (viga encastrada na extremidade C) Com condições de fronteira

54 Estabilidade de Pórticos
Obtendo-se o sistema De onde se pode finalmente obter a rigidez torcional para os casos 2 e 4 :

55 Estabilidade de Pórticos
Podemos agora aplicar ao pórtico 1 e 2: Apoio simples (x=0) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α0= ∞ Rotação Livre: Mola com rigidez zero β0= 0 Apoio elástico (x=L) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita αl= ∞ Rotação condicionada: Mola com rigidez βl= h1,2/EI

56 Estabilidade de Pórticos
Substituindo nas equações para a viga com apoios elásticos obtém-se: Ou seja

57 Estabilidade de Pórticos
Dado que o nosso βL depende de h que por sua vez depende da condição fronteira em C obtém-se para os casos 1 e 2

58 Estabilidade de Pórticos
Podemos agora aplicar ao pórtico 3 e 4: Encastramento (x=0) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α0= ∞ Não há Rotação : Mola com rigidez infinita β0= ∞ Apoio elástico (x=L) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita αl= ∞ Rotação condicionada: Mola com rigidez βl= h1,2/EI

59 Estabilidade de Pórticos
Substituindo nas equações para a viga com apoios elásticos obtém-se: Ou seja

60 Estabilidade de Pórticos
E finalmente Dado que o nosso βL depende de h que por sua vez depende da condição fronteira em C obtém-se para os casos 3 e 4

61 Exemplo Considerem-se agora os dois pórticos da figura abaixo, os quais se distinguem apenas pelas condições dos apoios. Determinar a carga crítica que provocará a instabilidade destes pórticos de modo anti-simétrico indicado na figura. Modelo Para a barra BC Obtém o sistema I finalmente a rigidez torcional nos extremos

62 Exemplo Considerem-se agora os dois pórticos da figura abaixo, os quais se distinguem apenas pelas condições dos apoios. Determinar a carga crítica que provocará a instabilidade destes pórticos de modo anti-simétrico indicado na figura. Modelo Lembrar que α0=∞, αL=β0=0 , βL=h/EI=6(EI)1/[(EI)L1] Com valores limites Para o segundo caso α0=∞=β0, αL=0 e βL=h/EI=6(EI)1/[(EI)L1]

63 Coluna com carregamento descentrado
Na prática as cargas axiais nunca se exercem segundo o eixo longitudinal da viga. Este factor pode ser devido a imperfeições geométricas, imperfeições do material ou mesmo desalinhamento da carga axial. Pode existir por isso uma excentricidade no carregamento axial.

64 Coluna com carregamento descentrado
Continuamos a ter a mesma equação de flexão: Cuja solução continua a ser :

65 Coluna com carregamento descentrado
Condições de fronteira para este caso

66 Coluna com carregamento descentrado
Resolvendo o sistema obtém-se Deflexão completamente determinada

67 Coluna com carregamento descentrado
Estudando o ponto de deflexão máxima: Deflexão máxima é obtida a x=L/2

68 Coluna com carregamento descentrado
Carga crítica quando Ou seja O momento de Flexão máximo E a correspondente tensão máxima de compressão

69 Efeitos de imperfeições iniciais
Então para um determinado ponto da coluna já existe um momento flector dado por

70 Efeitos de imperfeições iniciais
Ao ser aplicada a carga axial P o momento flector terá um acréscimo:

71 Efeitos de imperfeições iniciais
Dado que a deformada inicial também tem que respeitar as condições de fronteira z0(0)=z0(L)=z’’0(0)=z’’0(L)=0 a sua forma pode ser dado por: Então a equação de equilíbrio é:

72 Efeitos de imperfeições iniciais
A solução da equação anterior é: Introduzindo as condições de fronteira z(0)=0=z(L) (ou seja C1=0=C2)

73 Efeitos de imperfeições iniciais
Se P=Pcr, onde estamos numa situação de equilíbrio neutro, onde a deformada encontra-se perfeitamente definida. Logo E então pode-se escrever

74 Efeitos de imperfeições iniciais
A maior flecha será a meio vão da coluna:

75 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Vamos agora estudar a viga com carregamentos transversais para além da carga axial de compressão

76 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Analisando uma secção da coluna a

77 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Com a solução A que são impostas as condições de fronteira

78 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Obtendo-se a equação da deformada Dado que se assumiu que o carregamento é simétrico tem-se que a meio vão

79 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Temos também Que também se pode escrever

80 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
W A B

81 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Fazendo o equilíbrio de momentos na parte à direita e à esquerda da coluna Com solução

82 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
Aplicando as condições de fronteira e continuidade

83 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais
De onde se obtém Pode-se considerar o caso particular da carga aplicada a meio vão x=L/2.