Ludwig Krippahl, 2009 Programação para as Ciências Experimentais 2008/9 Teórica 7.

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1 Ludwig Krippahl, 2009 Programação para as Ciências Experimentais 2008/9 Teórica 7

2 Ludwig Krippahl, 2009 2 Na aula de hoje... Métodos estocásticos (Monte Carlo) Calculo de áreas Integração de funções Simulação Contar unidades formadoras de colónias Trabalho 1 (dúvidas)

3 Ludwig Krippahl, 2009 3 Monte Carlo Nome cunhado pelo matemático Nicholas Constantine Metropolis (1915-1999) Conjunto de métodos baseados em números aleatórios.

4 Ludwig Krippahl, 2009 4 Calcular uma área x>1 y<x-1 y 2 +x 2 <4

5 Ludwig Krippahl, 2009 5 Calcular uma área x>1 y<x-1 y 2 +x 2 <4 Área?

6 Ludwig Krippahl, 2009 6 Algoritmo Pontos ao acaso no quadrado -2, 2. Área?

7 Ludwig Krippahl, 2009 7 Algoritmo Contamos os pontos dentro e fora. Área?

8 Ludwig Krippahl, 2009 8 Algoritmo Contamos os pontos dentro e fora. A fracção de pontos dentro da área será a proporção entre a área a medir e a área do quadrado. Quanto mais pontos melhor.

9 Ludwig Krippahl, 2009 9 Implementação Separar as tarefas: Dentro ou fora? Uma função que recebe x, y e devolve true ou false conforme x, y está dentro da área que queremos. Contar os pontos Outra função que recebe o nome da função que testa, o rectângulo que inclui a área a medir, e o número de pontos, e devolve a área pretendida.

10 Ludwig Krippahl, 2009 10 Implementação Função triangcirc testa se está dentro do triângulo e circulo function dentro=triangcirc(x,y) dentro= ( x^2+y^2 1 && y<x-1); endfunction

11 Ludwig Krippahl, 2009 11 Implementação Função areamc: devolve área recebe nome da função teste (string, para o feval) mínimos de x e y máximos de x e y (definem o rectângulo) número de pontos

12 Ludwig Krippahl, 2009 12

13 Ludwig Krippahl, 2009 13

14 Ludwig Krippahl, 2009 14

15 Ludwig Krippahl, 2009 15

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17 Ludwig Krippahl, 2009 17 Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) valor a devolver com a área

18 Ludwig Krippahl, 2009 18 Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) string com o nome da função que testa cada ponto

19 Ludwig Krippahl, 2009 19 Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) rectângulo que contêm a área a determinar

20 Ludwig Krippahl, 2009 20 Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) número de pontos a testar

21 Ludwig Krippahl, 2009 21 Implementação Função areamc: área (variável a) começa a zero calcular a largura e altura do rectângulo ciclo para testar o número especificado de pontos. no final, a área é o número de pontos dentro a dividir pelo total de pontos e multiplicar pela área do rectângulo

22 Ludwig Krippahl, 2009 22 Implementação Função areamc: ciclo para testar o número especificado de pontos. criar coordenadas x,y aleatórias, de minx a maxx, e miny a maxy respectivamente. se feval(testefn, x, y) for verdadeiro então incrementar a variável a (para contar o número de pontos dentro da área)

23 Ludwig Krippahl, 2009 23 Implementação Para fazer os gráficos: Além da área devolver também duas matrizes com as coordenadas x,y dos pontos dentro e fora. function [a,dentros,foras]=areamc(testfn,minx,miny, maxx,maxy,pontos)

24 Ludwig Krippahl, 2009 24 Exemplo de utilização octave:13> areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,1000) ans = 1.7440 Nota: chamando assim ignora os outros valores devolvidos, dentros e foras.

25 Ludwig Krippahl, 2009 25 Exemplo de utilização pontos=1000; [a,ds,fs]=areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,pontos); hold off axis("equal") eixos iguais title([num2str(pontos)," pontos"]); plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;"); hold on; plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;"); or;; – circulo, red, ;; indica que não tem legenda

26 Ludwig Krippahl, 2009 26 Dicas Mais pontos, mais rigor:

27 Ludwig Krippahl, 2009 27 Dicas Mais pontos, mais rigor. O rectângulo deve estar o mais próximo possível da área que queremos. Em vez de (-2,-2) a (2,2), usar (1, -2) a (2,1)

28 Ludwig Krippahl, 2009 28 Dicas Em vez de (-2,-2) a (2,2) usar (1, -2) a (2,1) Área=1.7

29 Ludwig Krippahl, 2009 29 Integrar função

30 Ludwig Krippahl, 2009 30 Integrar função O integral de f(x)=exp(-x 3 ) não tem solução analítica. Mas o integral é a área:

31 Ludwig Krippahl, 2009 31 Integrar função Podemos usar a areamc, só precisamos de uma função nova: function dentro=expxcubo(x,y) dentro=y<=exp(-x^3); endfunction

32 Ludwig Krippahl, 2009 32 Integrar função Basta usar: areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,5000); ans= 0.89952 Nota: neste caso só é devolvido o primeiro valor (a).

33 Ludwig Krippahl, 2009 33 Integrar função Para fazer o gráfico: pontos=5000; [a,ds,fs]=areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,pontos); clearplot axis("equal") title([num2str(pontos)," pontos"]); plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;"); hold on; plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");

34 Ludwig Krippahl, 2009 34

35 Ludwig Krippahl, 2009 35 Contar microorganismos no ar Bomba aspira ar. Orifícios sobre placa. Contar colónias. Estimar UFCs.

36 Ludwig Krippahl, 2009 36 Contar microorganismos no ar Problema: Podem entrar vários esporos ou bactérias pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia. Ar

37 Ludwig Krippahl, 2009 37 Contar microorganismos no ar Problema: Podem entrar vários esporos ou bactérias pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia. Sabendo o número de colónias na placa, quantas UFCs no ar?

38 Ludwig Krippahl, 2009 38 Contar microorganismos no ar Dividir em 2 fases Simular o processo para calcular quantas colónias sabendo o número de UFCs. Usar a simulação com diferentes valores de UFCs até que obter o número de colónias observado.

39 Ludwig Krippahl, 2009 39 Simulação Temos N orifícios e X UFCs. Cada UFC pode entrar por qualquer dos N orifícios. O número de colónias será o número de orifícios diferentes por onde entraram UFCs

40 Ludwig Krippahl, 2009 40 Algoritmo Para cada UFC seleccionar um orifício aleatoriamente e marcar esse orifício. Contar o número de orifícios marcados. Repetir um número grande de vezes (50, 100,...) e tirar o valor médio.

41 Ludwig Krippahl, 2009 41 Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Devolve o número de colónias

42 Ludwig Krippahl, 2009 42 Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Número de orifícios

43 Ludwig Krippahl, 2009 43 Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Número de UFCs no ar

44 Ludwig Krippahl, 2009 44 Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Número de vezes que repete a simulação para calcular a média

45 Ludwig Krippahl, 2009 45 Implementação Dois ciclos for: número de tentativas e, para cada tentativa número de ufcs. A cada tentativa somar a um contador o número de orifícios marcados.

46 Ludwig Krippahl, 2009 46 Implementação Dois ciclos for: for a=1:4 for b=1:3 disp([a,b]) endfor

47 Ludwig Krippahl, 2009 47 Implementação Dois ciclos for: for a=1:4 for b=1:3 [a,b] endfor Repetido 4 vezes

48 Ludwig Krippahl, 2009 48 Implementação Dois ciclos for: for a=1:4 for b=1:3 [a,b] endfor Repetido 3 vezes cada uma das 4 do ciclo de fora (12 vezes no total)

49 Ludwig Krippahl, 2009 49 Implementação Os orifícios podem ser representados como um vector de zeros, e marcados com 1. O total de orifícios marcados é o somatório do vector.

50 Ludwig Krippahl, 2009 50 Implementação Como seleccionar o orifício aleatoriamente. É preciso arredondar: round(x) inteiro mais próximo de x floor(x)maior inteiro menor que x ix=floor(rand*buracos)+1; (de 1 a buracos) Nota: o rand nunca devolve 1. Ver help.

51 Ludwig Krippahl, 2009 51 Implementação Exemplo: 10 orifícios e 3 UFCs, [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] inicio, todos vazios [0 0 1 0 0 0 0 0 0 0]3 [0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]5 [0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]3 2 Colónias

52 Ludwig Krippahl, 2009 52 Problema real: saber UFCs A função colonias dá-nos o número de colónias formadas na placa sabendo as UFCs no ar. O problema real é o inverso: as colónias na placa é o que se observa, e o que queremos saber é as UFCs do ar.

53 Ludwig Krippahl, 2009 53 Algoritmo O número de colónias será sempre igual ou inferior ao número de UFCs no ar. Começar por UFCs= colónias, e ir incrementando os UFCs até obter da função colonias o número certo de colónias.

54 Ludwig Krippahl, 2009 54 Implementação Função contaufcs function u=contaufcs(buracos,cs,tentativas) Recebe o número de orifícios, colónias observadas, e o número de tentativas para estimar as colónias para cada valor de u.

55 Ludwig Krippahl, 2009 55 Implementação Função contaufcs u = cs Enquanto o número estimado de colónias for inferior a cs, incrementar u e recalcular a estimativa Para estimar o número de colónias em função de u usar a função colonias, com o número de tentativas no argumento do contaufcs

56 Ludwig Krippahl, 2009 56 Para pensar Outra maneira de implementar Por bipartição, começando com um intervalo, e.g., entre nc e nc*4. Como?

57 Ludwig Krippahl, 2009 57 Dúvidas