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Funções trigonométricas
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Função seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada do ponto P, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função seno, de domínio ℝ, expressa por y = f(x) = sen x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, sen x).
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Variação da função y = sen x para x [0, 2]
B /2 B /2 1 1 A’ O O A A’ A B’ B’ Quando x cresce de 0 a /2, sen x cresce de 0 a 1. Quando x cresce de /2 a , sen x decresce de 1 a 0.
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Variação da função y = sen x para x [0, 2]
B B A’ O A’ O A A 2 –1 –1 3/2 B’ 3/2 B’ Quando x cresce de a 3/2, sen x decresce de 0 a –1. Quando x cresce de 3/2 a 2, sen x cresce de –1 a 0.
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Gráfico da função y = sen x
/2 3/2 2 y = sen x 1 –1 y = sen x 1 3/2 2 x /2 –1 D = [0, 2] Im = [–1, 1]
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Observação O gráfico da função seno é chamado senóide.
A senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2: ... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ... O período da função seno é igual a 2. Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].
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Gráfico da função y = sen x
Na figura abaixo, temos dois períodos completos da senóide. y = sen x 1 –2 – –/2 3/2 x –3/2 /2 2 –1
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Função co-seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real cos x, abscissa do ponto P, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função co-seno, de domínio ℝ, expressa por y = f(x) = cos x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, cos x).
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Variação da função y = cos x para x [0, 2]
B /2 B /2 cos cos A’ O 1 A A’ –1 O A B’ B’ Quando x cresce de 0 a /2, cos x decresce de 1 a 0. Quando x cresce de /2 a , cos x decresce de 0 a –1.
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Variação da função y = cos x para x [0, 2[
B B cos cos A’ A’ A –1 O A O 1 2 3/2 B’ 3/2 B’ Quando x cresce de a 3/2, cos x cresce de –1 a 0. Quando x cresce de 3/2 a 2, cos x cresce de 0 a 1.
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Gráfico da função y = cos x
/2 3/2 2 y = cos x 1 –1 1 y = cos x 1 x /2 2 3/2 –1 D = [0, 2] Im = [–1, 1]
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Observação O gráfico da função co-seno é chamado co-senóide.
A co-senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2: ... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ... O período da função co-seno é igual a 2. Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].
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Gráfico da função y = cos x
Na figura abaixo, temos dois períodos completos da co-senóide. y = cos x 1 –/2 – x –2 –3/2 /2 3/2 2 –1
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Função tangente A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real tg x, ordenada do ponto T, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função tangente, de domínio ℝ – /2 + k, k ℤ expressa por y = f(x) = tg x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, tg x).
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Variação da função y = tg x para x [0, 2]
B /2 B /2 A’ O A A’ O A B’ B’ Quando x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +. Quando x cresce de /2 a , tg x cresce de – a 0.
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Variação da função y = tg x para x [0, 2[
B B A’ A’ A O A O 2 3/2 B’ 3/2 B’ Quando x cresce de a 3/2, tg x cresce de 0 a +. Quando x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de – a 0.
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Gráfico da função y = tg x
/2 3/2 2 y = tg x ∄ ∄ y = tg x x /2 2 3/2 D = [0, 2] Im = [–, + ]
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Observação O gráfico da função tangente é chamado tangentóide.
A tangentóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude : ... [–2, –], [–, 0], [0, ], [, 2], ... O período da função tangente é igual a . Seu conjunto imagem é o intervalo [–, +].
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Gráfico da função y = tg x
Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide. y = tg x –/2 x –2 –3/2 – /2 3/2 2
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Domínio, período e conjunto imagem das funções seno, co-seno e tangente
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Resumo ℝ Função y = sen x y = cos x y = tg x domínio x ≠ k + /2
período 2 mínimo –1 – máximo 1 Imagem [–1, 1]
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Exemplos Construir o gráfico da função y = 2 sen x: y = sen x
/2 3/2 2 sen x 1 –1 y = 2 sen x 2 –2 y y = sen x y = 2sen x 2 1 p = 2 p = 2 3/2 x /2 2 Im = ]–1, 1] Im = ]–2, 2] –1 –2
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Exemplos Construir o gráfico da função y = sen 2x: 2x /2 3/2 2 x
/2 3/2 2 x /4 /2 3/4 2 y = sen 2x 1 –1 y = sen x 1 3/4 3/2 2 x /4 /2 –1
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Exemplos Construir o gráfico da função y = 1 + sen x: y = sen x
/2 3/2 2 sen x 1 –1 y = 1 + sen x 1 2 1 1 y y = sen x y = 1 + sen x 2 1 p = 2 p = 2 x /2 3/2 2 Im = ]–1, 1] Im = ]0, 2] –1 –2
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Domínio, imagem e período de outras funções seno
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ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ Função Domínio Período Imagem y = sen (x) 2 [–1, 1]
y = sex (2x) ℝ [–1, 1] y = sen (x/2) ℝ 4 [–1, 1] y = 2sen (x – /2) ℝ 2 [–2, 2] y = 2sen (2x + /2) ℝ [–2, 2] y = 1 + 3sen (2x) ℝ [–2, 4] y = –1 + 2sen (x + /2) ℝ 2 [–3, 1] y = sen2 (x) ℝ [0, 1] y = –1 + sen2 (8x) ℝ /8 [–1, 0]
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Domínio, imagem e período de outras funções co-seno
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ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ Função Domínio Período Imagem y = cos (x) 2 [–1, 1]
4 [–1, 1] y = 2cos (x – /2) ℝ 2 [–2, 2] y = 2cos (2x + /2) ℝ [–2, 2] y = 1 + 3cos (2x) ℝ [–2, 4] y = –1 + 2cos (x + /2) ℝ 2 [–3, 1] y = cos2 (x) ℝ [0, 1] y = –1 + cos2 (8x) ℝ /8 [–1, 0]
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Domínio, imagem e período de outras funções tangente
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Função Domínio Período Imagem y = tg (x) x ≠ k + /2 ℝ y = tg (2x) x ≠ k/2+ /4 /2 ℝ y = tg (x/2) x ≠ 2k + 2 ℝ y = 2tg (x – /2) x ≠ k + ℝ y = 2tg (2x + /2) x ≠ k/2 /2 ℝ y = 1 + 3tg (2x) x ≠ k/2 + /4 /2 ℝ y = –1 + 2tg (x + /2) x ≠ k ℝ y = tg2 (x) x ≠ k + /2 ℝ y = –1 + tg2 (8x) x≠k/8 + /16 /8 ℝ
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