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PublicouMatheushenrique Rentas Alterado mais de 11 anos atrás
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1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 38o 29’ 51’’
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’ 15’’
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2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo agudo: 90º Ângulo reto: = 90º > 90º Ângulo obtuso: Ângulo raso: = 180º
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2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo nulo: = 0o (lados coincidentes) = 360o Ângulo de 1 volta: Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns Ângulos adjacentes: Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum. Ângulos consecutivos:
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2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulos complementares: + = 90º + = 180º Ângulos suplementares: Ângulos replementares: + = 360º
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3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. r s a b c d e f g h t Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.
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Questão 3: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45o b) 48o 30’ c) 56o 15’ d) 60o e) 78o 45’
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Questão 3: Solução: 630º 8 6º 78º 360º 8 0 45’
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. 630º 8 6º º x 60’ 360º 8 ’
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Questão 13: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 + vale: 225o 195o 215o 1750 1850
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Questão 13: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO Questão 13: Solução: = 45º = 60º 15º 30º 30º 60º 60º
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Questão 16: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede: 50o 60o 70o 75o 80o
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Questão 16: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 50º 130º 80º 25º 75º
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1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO
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2) SOMA DOS ÂNGULOS Si = (n – 2).180o COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS
GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 2) SOMA DOS ÂNGULOS n = 3 1 x 180º Si = 180º n = 4 2 x 180º Si = 360º n = 5 3 x 180º Si = 540º Si = (n – 2).180o
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2) SOMA DOS ÂNGULOS Se = 360o COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS 2) SOMA DOS ÂNGULOS Se = 360o
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3) NÚMERO DE DIAGONAIS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS 3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) no de diagonais de um polígono c/ n lados:
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Questão 2: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
(CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: 90o 120o 144o 154o 180o
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Questão 2: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS Questão 2: Solução: 180º – C – E 180º – B – D 180º – A – D 180º – A – C 180º – B – E 180 – A – C – B – D – C – E – A – D – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180º
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Questão 4: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: 11 12 10 15 18
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Questão 4: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: Então: n – 3 = 9 n = 12
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Questão 6: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 100o 110o 120o 130o 140o
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Questão 6: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x = (6 – 2).180 5x = 720 5x = 200 x = 40 x 4x
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Questão 6: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x = (6 – 2).180 5x = 720 5x = 200 x = 40 20º 80º = 360 = 100º
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Questão 8: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
Na figura seguinte, o valor de é: a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o
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Questão 8: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS Questão 8: Solução: 75º 110º
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1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. a b c b - c a b + c
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A B C P
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
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2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller). Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS
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3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
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3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 50o 2 cm 3 cm 4,5 cm 45o 60o 2 cm 3 cm 4 cm 8 cm 6 cm
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4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A B C a b c m n h b2 = a.m c2 = a.n h2 = m.n a.h = b.c a2 = b2 + c2
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5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. A B C b a c m n h a2 = b2 + c2 - 2c.m
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5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. a2 = b2 + c2 + 2c.n m C A B a b c h n
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6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS A B C hipotenusa cateto oposto cateto adjacente
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6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS sen cos tg 30o 45o 60o
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7) LEI DOS SENOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS 7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
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8) LEI DOS COSSENOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS 8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo , – 1 e : a) é isósceles b) é retângulo c) tem área – 1 d) tem perímetro e) é acutângulo
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: O triângulo é retângulo.
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)
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COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 4 2,4 – x 2,5m x x 0,70m
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Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO. Solução: 6 6 8 x 8 8
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. 60o 70o 800 90o 100o
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OBSERVAÇÃO: x x + = + = + x + = + + x = 2.
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X COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. 60o 70o 800 90o 100o X
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X COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 13
(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB? X 43 41 40 44 42
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 17 (UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: 5 e 13 6 e 12 7 e 11 8 e 10 9 e 9
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Solução: x + y = 10 4 4 x 4 4 y 8 x = 8 e y = 2 Os lados valem 6cm e 12cm
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
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OBSERVAÇÃO: 30o cat. oposto hipotenusa cat. adjacente
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OBSERVAÇÃO: 8 10 4 5 30o 30o 4. 3 5. 3 12 14 6 7 30o 30o 6. 3 7. 3
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Solução: 2 2 .3 = 6 2. 2 30o 45o
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 19 (UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.
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Solução: A C B M 6 3 2 4 P 60o x
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GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 20 (UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. 15o 20o 30o 40o 50o
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OBSERVAÇÃO:
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Solução: 50o 60o 40o 20o 20o 60o 80o
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