CAPÍTULO 4 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Parte 1 - fundamentos.

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1 CAPÍTULO 4 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Parte 1 - fundamentos

2 A compreensão da área exige conhecer a transformada de Fourier e o domínio da frequência.
Começamos com um breve delineamento das origens da transformada de Fourier e o seu impacto na matemática, ciência e engenharia. Seguimos com os princípios básicos da função de amostragem e prosseguimos passo-a-passo para derivar as transformadas uni- e bi-dimensionais discretas de Fourier. O material prossegue com a formulação da filtragem no domínio da frequência.

3 BREVE HISTÓRIA DAS SÉRIES E TRANSFORMADAS DE FOURIER
O matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em 1768. Fourier é lembrado pela teoria desenvolvida em 1807 e publicada em 1822 no livro, La Théorie Analitique de la Chaleur (A Teoria Analítica do Calor). A contribuição de Fourier: qualquer função periódica pode ser expressa como soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente. A Fig. 4.1 mostra uma função composta pela soma de quatro funções.

4 das quatro funções acima.
Essa função é a soma das quatro funções acima.

5 Mesmo funções não periódicas, mas cuja área sob a curva é finita, podem ser expressas como integral de senos e /ou cossenos multiplicados por uma função peso. A formulação neste caso é a transformada de Fourier. Ambas as representações compartilham uma importante característica de que podem ser reconstruídas completamente usando um processo inverso. O advento dos computadores digitais e a formulação do algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) no início dos anos 1960 revolucionaram o campo de processamento de imagens e sinais.

6 CONCEITOS PRELIMINARES
Números complexos: Um número complexo C é definido como C = R + jI onde R e I são números reais e j é um número imaginário igual a raiz quadrada de -1, ou seja, O conjugado de um número complexo C, denotado C*, é definido como C* = R –jI As vezes representamos os números complexos em coordenadas polares C = |C| (cos q + j sen q ) onde Usando a fórmula de Euler temos a representação familiar em coordenadas polares

7 SÉRIE DE FOURIER Como anteriormente descrito, uma função f(t) de uma variável contínua t que é periódica com período T, pode ser expressa como a soma de senos e cossenos multiplicados por coeficientes apropriados. Essa soma, chamada série de Fourier, tem a forma onde são os coeficientes.

8 IMPULSOS E A PROPRIEDADE DE SEPARAÇÃO (SIFTING)
O conceito de impulso e sua propriedade de sifting, é central ao estudo de sistemas lineares e transformada de Fourier. Um impulso unitário de uma variável contínua t localizada em t=0, denotado d(t), é definido como e deve satisfazer também a identidade Fisicamente, se t é considerado tempo, um impulso pode ser visto como um pico de amplitude infinita e duração zero, tendo área unitária. Um impulso tem a propriedade de sifting com respeito a integração Eq a Eq b Eq

9 De uma forma mais geral, a propriedade de sifting envolve um impulso localizado num ponto arbitrário t0, denotado por d(t - t0). Neste caso, a propriedade de sifting fica que resulta no valor da função na posição do impulso. Por exemplo, se f(t) = cos(t) , usando o impulso d(t-p) resulta em f(p) = cos(p)= -1. Seja x uma variável discreta. O impulso unitário discreto d(x) funciona da mesma forma que em variáveis contínuas, e é definido como E a definição satisfaz o equivalente discreto da eq b: Eq Eq a Eq b

10 A propriedade de sifting para variáveis discretas tem a forma
ou mais genericamente, usando o impulso discreto em x = x0, A Fig mostra o impulso discreto unitário diagramaticamente. Eq Eq

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12 É de interesse particular um trem de impulsos,
definido como a soma de infinitos impulsos, localizados em posições nDT.

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14 A TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNÇÕES CONTÍNUAS DE UMA VARIÁVEL
A transformada de Fourier de uma função contínua f(t) , é definida pela equação onde m é também uma variável contínua. Dada F(m), podemos obter f(t) usando a transformada inversa de Fourier Usando a fórmula de Euler podemos expressar Eq Eq Eq

15 onde a identidade foi usada E o resultado é uma função sinc:
EXEMPLO 4.1 Transformada de Fourier da função da Fig.4.4a onde a identidade foi usada E o resultado é uma função sinc:

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17 Vimos que onde sinc(0) = 1 e sinc(m) =0 para todos os valores inteiros de m, coforme podemos observar na Fig.4.4b. Em geral a transformada de Fourier tem termos complexos, e é costume trabalhar com a magnitude da transformação (um valor real), que é chamada de espectro de Fourier ou espectro de frequência: conforme Fig.4.4c. É importante observar que: a) as posições de zeros em ambas as figuras são inversamente proporcionais a largura W, da função. b) a altura dos picos decrescem com a distância da origem. c) a função estende a infinito positivo e negativo.

18 EXEMPLO 4.2 A transformada de Fourier de um impulso unitário localizado na origem
Transformada de Fourier de um impulso localizado em t = t0

19 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM TREM DE IMPULSOS
A transformada de Fourier de um trem de impulsos com período DT é também um trem de impulsos, S(m) cujo período é 1/DT.

20 CONVOLUÇÃO A convolução de duas funções contínuas f(t) e h(t), é definida por onde t é o deslocamento necessário para deslizar uma função sobre a outra. A transformada de Fourier da equação seria obtida por Eq

21 O termo interno aos colchetes é a transformada de Fourier de h(t-t) .
É possível demonstrar que onde H(m) é a transformada de Fourier de h(t). Usando esse fato O resultado é a primeira metade do teorema da convolução A outra metade é dada por

22 AMOSTRAGEM E TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO AMOSTRADA
Funções contínuas devem ser discretizadas antes de serem processadas no computador. A Fig. 4.5 mostra a função contínua f(t), amostrada em intervalos DT na variável t. Assume-se que a função varia de com respeito a t. Uma forma de discretizar é multiplicar a função pelo trem de impulsos de período DT. onde é a função amostrada. Usando a eq de propr.de sifting, o valor de cada amostra fk é dado por Eq.4.3.1 Eq.4.3-2

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24 TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNÇÕES AMOSTRADAS
Sabemos que a função amostrada é o produto da função f(t) pela função de trem de impulsos. Pelo teorema da convolução portanto a transformada de Fourier da função amostrada é dada por onde

25 A convolução de F(m) com S(m) pode ser obtida usando a eq.4.2-20
Portanto Nota-se que apesar da função amostrada ser uma função amostrada, a sua transformada de Fourier é uma função contínua pois consiste de copias de F(m) que é contínua. Eq Eq.4.3-5 Ea.

26 A Fig. 4. 6 mostra o resultado graficamente. A Fig. 4
A Fig. 4.6 mostra o resultado graficamente. A Fig. 4.6a mostra a transformada de Fourier F(m) da função f(t). A Fig.4.6b mostra a transformada da função amostrada A taxa de amostragem, ou frequência de amostragem, é dada por 1/DT. No caso da Fig. 4.6b a taxa de amostragem foi suficientemente alta para prover suficiente separação entre os períodos e assim preservar a integridade de F(m). Na Fig. 4.6c a taxa de amostragem exata para preservar a integridade de F(m). Mas na Fig.4.6d, a taxa foi abaixo do mínimo necessário para manter as cópias de F(m), falhando na preservação da transformada original.

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28 TEOREMA DA AMOSTRAGEM Uma função f(t) cuja transformada de Fourier é zero para valores de frequência fora um intervalo finito [-mmax, mmax] em torno da origem é chamada função de banda limitada (band-limited), ou limitada em frequência. A Fig.4.7a que é uma ampliação da Fig. 4.6a é uma função de banda limitada. A Fig. 4.7b é a transformada da amostragem de f(t) crítica. Podemos recuperar f(t) da versão amostrada, se podemos isolar uma cópia de F(m) da sequência periódica contida em A extração de de um único período que seja igual a F(m) é possível se a separação entre as cópias é suficiente. Essa separação é garantida para 1/2DT > mmax ou 1/ DT > 2 mmax Ou seja, uma função contínua de banda limitada pode ser completamente recuperada ao fazer a amostragem na taxa maior que duas vezes a maior frequência contida na função. Esse resultado é conhecido como teorema da amostragem.

29 Uma outra interpretação do teorema de amostragem é que a máxima frequência que pode ser capturada de um sinal amostrado na frequência de 1/ DT é mmax = 1/ 2DT . O teorema de amostragem foi formulado em 1928 por Harry Nyquist, um cientista e engenheiro da Bell Labs. Claude E. Shannon, também da Bell Labs. provou o teorema formalmente em 1949.

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31 Para ver como recuperar F(m) de é possível considerar a Fig. 4
Para ver como recuperar F(m) de é possível considerar a Fig. 4.8a que mostra a transformada de Fourier e uma função amostrada numa taxa ligeiramente maior que a taxa de Nyquist. A Função da Figura 4.8b é definida pela equação Quando multiplicado pela sequência periódica da Fig.4.8a, essa função isola o período centrado na origem. A Fig.4.8 c mostra esse resultado. Uma vez obtida a função F(m), a recuperação de f(t) é possível usando a transformada inversa de Fourier. Na prática, uma função f(t) ser limitada em banda requer que em geral f(t) deve estender de Essa condição não pode ser satisfeita na prática. Ter que limitar a duração não permite uma recuperação perfeita da função, exceto em certos casos especiais.

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33 ALIASING O que acontece se uma função limitada em banda é amostrada numa taxa menor que duas vezes a maior frequência? Isso corresponde à Fig.4.6d, que ilustra o caso de under-sampling, repetido na Fig.4.9a. Usando um filtro de passa baixa ideal da Fig.4.9b resulta numa transformada que é corrompida pelas frequências de períodos adjacentes, como mostra a Fig.4.9c. A transformada inversa produz uma função corrompida. Esse efeito causado pelo under-sampling é chamado de frequency aliasing ou simplesmente aliasing. O efeito é de componentes de alta frequência serem mascarados como frequências baixas na função amostrada. Isso é consistente como o termo alias que significa identidade falsa.

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35 Infelizmente, exceto em alguns casos especiais, o aliasing é sempre presente.
Por exemplo, supomos que queremos limitar a duração de uma função limitada em banda f(t) a um intervalo, [0,T]. Fazemos isso multiplicando f(t) pela função Essa função tem a mesma forma da Fig.4.4a cuja transformada H(m), tem componentes de frequência estendendo a infinito, como mostra a Fig.4.4.b. Pelo teorema da convolução a transformada do produto de h(t)f(t) é a convolução das transformadas das funções. Mesmo que a transformada de f(t) seja limitada em banda, convolvendo a com H(m), que envolve deslizar uma função sobre a outra, resulta em componentes estendendo a infinito. Portanto, nenhuma função de duração finita pode ser limitada em banda. Um caso especial é uma função que estende de é uma função limitada em banda e periódica. Nesse caso, a função pode ser truncada exatamente num período e satisfazer o teorema da amostragem e não apresentar aliasing.

36 Concluimos que o aliasing é inevitável
Concluimos que o aliasing é inevitável. Na prática, os efeitos do aliasing podem ser reduzidos suavizando a função de entrada, atenuando as frequências maiores (por exemplo, desfocando no caso de imagens). Esse processo, chamado de anti-aliasing, deve ser feito antes da função ser amostrada. A Fig mostra uma ilustração clássica de aliasing. Uma onda senoidal pura estendendo infinitamente em ambas as direções tem uma única frequência, portanto é limitada em banda. Supõe-se que a onda seja sin(pt) e que o eixo horizontal corresponda ao tempo t, em segundos. A função cruza o eixo em t = , 0,1,2,3,.... O período, P, é 2s, e a sua frequência é 1/P, ou ½ ciclos/s. De acordo com o teorema da amostragem, a taxa de amostragem deve exceder duas vezes a maior frequência do sinal, portanto 1 amostra/s, ou DT = 1s. Observa-se que amostrar a exatamente DT = 1s, com os valores amostrados em t = ...-1,0,1,2,3,... resulta em ... sin (-p), sin(0), sin(p),sin(2p)... Todos zeros. Por isso, a amostragem deve ser na taxa DT < 1s.

37 A amostragem (pontos pretos) em frequência menor do que a
de Nyquist, mostra uma senóide com frequência bem menor do que o sinal original, ilustrando o efeito do aliasing.

38 Eq. 4.3-8 Eq.4.3-1 Ea.4.3-12 RECUPERAÇÃO DA FUNÇÃO DE DADOS AMOSTRADOS
Da Fig. 4.8, notamos que sendo F(m) um período da transformada de uma função limitada em banda, usando um filtro ideal de passa baixa H(m). Usando o teorema da convolução, podemos obter o equivalente no domínio espacial. Usando e a definição de convolução é possível demonstrar que Eq Eq.4.3-1 Ea

39 Portanto, uma função reconstruída perfeitamente é uma soma infinita de funções sinc com pesos relativos aos valores amostrados. A função reconstruída é identicamente igual para os valores amostrados em múltiplos incrementos inteiros de DT. A equação requer um número infinito de termos para interpolação entre as amostras. Na prática essa interpolação é feita por aproximação, que consiste nas interpolações finitas entre amostras. As principais abordagens de interpolação são vizinho-mais-próximo, bilinear e bicúbica. Eq

40 Eq.4.3-5 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) DE UMA VARIÁVEL
Como vimos, a transformada de Fourier de uma função amostrada, limitada em banda, estendendo de é uma função contínua e periódica de Na prática trabalhamos com um número finito de amostras, e o objetivo da seção é derivar a DFT correspondente. Lembremos a equação da transformada de Fourier de dados amostrados em termos da transformada da função original F(m), mas não em termos da função amostrada Eq.4.3-5

41 Essa expressão é obtida diretamente da definição da transformada
resultando em onde é dada pela equação Obtemos Usando a eq trocando k para n Resulta em Eq Eq.4.3-1 Eq.4.4-2

42 Embora fn seja uma função discreta, a sua transformada é contínua e infinitamente periódica com período 1/DT. Portanto, tudo que precisamos é caracterizar em um período, e amostrar um período é a base para o DFT. Supomos que queremos obter M amostras igualmente espaçadas de tomadas sobre o período m = 0 a m = 1/ DT. Isso é obtido tomando amostras na seguintes frequências Substituindo esse resultado para m na equação e denotando Fm , Essa expressão é a transformada discreta de Fourier. Eq

43 Eq.4.4-5 Eq.4.4-6 Eq.4.4-7 onde k é um inteiro. e
Dado um conjunto {fn} consistindo de M amostras de f(t), a eq fornece um conjunto de amostras {Fn} de M valores discretos complexos correspondentes à transformada discreta de Fourier, do conjunto de amostras de entrada. Inversamente, dado {Fn}, é possível recuperar o conjunto de amostras {fn} usando a transformada inversa discreta de Fourier (IDFT) É comum usar notações em x e y, e u e v para imagens. Pode-se mostrar que ambas as transformadas direta e inversa são infinitamente periódicas Eq.4.4-5 Eq.4.4-6 Eq.4.4-7 e onde k é um inteiro.

44 O equivalente discreto da convolução é dada por
para x = 0,1,2,...,M-1. Como as funções são periódicas, a convolução também é. Por essa razão, o processo inerente nessa equação é chamado de convolução circular. Eq

45 O espaçamento correspondente D u, no domínio da frequência é dado por:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE INTERVALOS DE FREQUÊNCIA E AMOSTRAGEM Se f(x) consiste de M amostras de uma função f(t) tomada com intervalo DT, a duração do registro compreendendo o conjunto {f(x)}, x=0,1,2,...,M-1 é T = MDT O espaçamento correspondente D u, no domínio da frequência é dado por: O intervalo de frequência inteiro compreendido para os componentes de M é

46 EXEMPLO 4.4 A Fig.4.11a mostra quatro amostras de uma função contínua, f(t), tomada em intervalos de DT. A Fig.4.11b mostra os valores amostrados no domínio x. Nota-se que os valores de x são 0, 1, 2 e 3, indicando que poderiam referenciar quaisquer 4 amostras de f(t). Usando a eq.4.4-6 O próximo valor de F(u) é

47 Similarmente e Todos os valores de amostras f(x) são usados para computar cada valor de F(u). Se fosse dado F(u) e o problema é de computar a inversa o que está de acordo com a Fig.4.11b.

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49 EXTENSÃO PARA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
IMPULSO 2-D E A PROPRIEDADE DE SIFTING O impulso , d(t,z) de duas variáveis contínuas, é definido como: e Como no caso unidimensional, vale a propriedade de sifting E genericamente

50 Para variáveis discretas x e y, o impulso discreto 2-D é definido por
e a propriedade de sifting E para impulso localizado em coordenada genérica

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52 A Fig. 4.5 mostra um exemplo 2-D de função análoga à Fig.4.1 para 1-D.
PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER CONTINUA Seja f(t,z) uma função contínua de duas variáveis, t e z. O par de transformadas de Fourier é dado por e A Fig. 4.5 mostra um exemplo 2-D de função análoga à Fig.4.1 para 1-D. E a magnitude é dada por

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54 AMOSTRAGEM 2-D E O TEOREMA DA AMOSTRAGEM 2-D
Como no caso 1-D, amostrar em 2D pode ser modelado usando a função de amostragem (trem de impulsos 2-D) onde DT e DZ são as separações entre as amostras, nas duas coordenadas, respectivamente. Como no caso 1-D, a multiplicação de f(t,z) pela função de amostragem resulta na função amostrada. A função f(t,z) é dita limitada em banda se a sua transformada de Fourier é 0 fora de um retângulo estabelecido pelos intervalos [-mmax, mmax] e [-vmax,vmax]. O teorema da amostragem 2-D diz que uma função f(t,z) contínua e limitada em banda pode ser recuperada de um conjunto de amostras se o intervalo de amostragem é

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57 EXTENSÃO DO ALIASING 1-D
Como no caso 1-D uma função f(t,z) de variáveis contínuas, pode ser limitada em banda em geral somente se estende infinitamente em ambas as direções de coordenadas. Como não podemos amostrar uma função infinitamente, aliasing é inevitável em imagens digitais. Existem duas manifestações de aliasing em imagens: espacial e temporal. O aliasing temporal é relacionado a intervalos de tempo em uma sequência de imagens. Um exemplo, é a roda de carro, em que as rodas parecem rodando em direção contrária. Isso ocorre quando a taxa de frame é muito pequena com respeito à velocidade de rotação da roda. O foco no presente capítulo é o aliasing espacial. O aliasing espacial é devido à under-sampling. Uma manifestação de aliasing é a introdução de efeitos como as quebras em linhas, intensidade espúria, e aparência de padrões de frequência não presentes na imagem original. Os seguintes exemplos ilustram o aliasing em imagens.

58 EXEMPLO 4.6 Supõe-se um sistema de imageamento perfeito, sem ruído, que produz uma imagem digital exata do que se vê, porém, o número de amostras que ele pode tomar é de 96x96 pixels. Se usarmos esse sistema para digitalizar, esse sistema é capaz de resolver padrões até 96x96 quadrados, onde cada quadrado corresponde a um pixel 1x1. Estamos interessados em examinar o que acontece quando um detalhe chamado aqui de quadrado é menor que um pixel da câmera, ou que o padrão tem mais que 96x96 quadrados. A Fig. 4.16a e b mostram o resultado de amostragem com quadrados de tamanho 16 e 6 pixels de lado, respectivamente. O resultado é normal. Quando o tamanho dos quadrados reduz para menor que um pixel de câmera, um aliasing acontece na Fig.4.16c. Finalmente, na Fig.4.16d, o resultado de aliasing é mascarado, mostrando para uma imagem de quadrados menor que 0.5, uma imagem mascarada como se fosse composta de quadrados de 12 pixels de lado.

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60 Os efeitos de aliasing podem ser reduzidos desfocando a cena levemente, para ser digitalizado, tal que frequências altas sejam atenuadas. Como explicado anteriormente, o filtro de anti-aliasing deve ser aplicado antes da imagem ser amostrada. Não existe como aplicar um filtro de anti-aliasing após a obtenção da amostragem, por causar a violação do teorema de amostragem. Muitos pacotes de manipulação de imagens comerciais tem fatores chamados de “anti-aliasing”. Contudo, como ilustrado no exemplo 4.7 e 4.8, esse termo é correspondente ao blurring de imagem para reduzir os efeitos de aliasing. O termo não se aplica à redução de aliasing na imagem amostrada original. Um número significativo de câmeras digitais comerciais tem filtros internos de anti-aliasing verdadeiros, ou em lentes ou na superfície do sensor.

61 REAMOSTRAGEM E INTERPOLAÇÃO DE IMAGEM
A interpolação em processamento de imagens ocorre em redimensionamento (resizing – zooming e shrinking). Zooming pode ser visto como super-amostragem, enquanto shrinking sub-amostragem. Na seção foi ilustrada a interpolação de vizinho mais próximo, bilinear e bicúbica. Nesta seção damos alguns exemplos adicionais focalizando amostragem e anti-aliasing. Um caso especial de interpolação de vizinho mais próximo é o zooming por replicação de pixel, que é aplicável quando queremos aumentar o tamanho de uma imagem, um número inteiro de vezes. O shrinking, ou encolhimento, é feito de forma similar. O under-sampling é feito eliminando linhas-colunas. Para reduzir o aliasing é uma boa idéia borrar (blur) a imagem antes do shrinking.

62 EXEMPLO 4.7 Os efeitos de aliasing geralmente são agravados quando o tamanho de uma imagem é reduzido. A Fig.4.17a é uma imagem propositalmente criada para ilustrar o aliasing. Nota-se as linhas finamente espaçadas na vestimenta. Não há nenhum efeito questionável na Fig.4.17a, mostrando que a taxa de amostragem usada inicialmente foi suficiente para evitar aliasing visível. Na Fig.4.17b a imagem foi reduzida para 50%, usando deleção de linhas e colunas. Os efeitos do aliasing são visíveis. O equivalente digital do filtro de anti-aliasing de imagem contínua é atenuar as altas frequências de uma imagem digital suavizando antes da reamostragem. A Fig.4.17c mostra o resultado da suavização da Fig.4.17a com filtro de média 3x3 antes da redução de tamanho. A melhoria em relação à imagem 4.17b é evidente. O tamanho das imagens (b) e (c) foi restaurado para a dimensão original por replicação de pixels para simplificar a comparação.

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64 EXEMPLO 4.8 Quando trabalhamos com imagens que tem arestas agudas, o efeito do aliasing é visto como componentes parecidos com blocos, jaggies. Fig.4.18a mostra uma imagem digital 1024x1024 de uma cena gerada por computador, em que aliasing é desprezível. Fig.4.18b é o resultado da redução de 75% para 256x256, usando interpolação bilinear e então aplicando a replicação para trazer o tamanho igual à original. Os efeitos do aliasing podem ser alterados para efeitos menos questionáveis suavizando a imagem antes da reamostragem. A Fig.4.18c mostra o resultado de usar um filtro de média 5x5 antes de reduzir o tamanho da imagem.

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66 EXEMPLO 4.9 Nos exemplos anteriores foi usada a replicação de pixels para zooming. Esse não é um método preferido em geral, como ilustra a Fig.4.19. A Fig.4.19a mostra uma imagem 1024x1024 que foi ampliada usando replicação de pixels a partir do pixel 256x256 fora do centro da Fig.4.18a.. Nota-se as bordas dentadas. A Fig. 4.19b foi gerada na mesma seção da imagem, mas usando interpolação bilinear. As bordas são consideravelmente suaves.

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68 PADRÕES MOIRÉ Os padrões moiré são resultantes de amostragem de cenas com componentes periódicos ou quase periódicos. Em óptica esses padrões são produzidos com o confronto de dois componentes de aproximadamente igual espaçamento formando um batimento. Em processamento de imagens digitais o problema surge rotineiramente quando faz a cópia (scanner) por exemplo, jornal ou revista. Na Fig.4.20 mostra o efeito moiré usando desenho que não foi digitalizado. Separadamente, os padrões são claros e sem interferência. Contudo, superpondo um padrão sobre o outro cria um padrão de batimento, que apresenta frequência não presente em nenhum dos padrões originais.

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70 Jornais e outros materiais impressos fazem uso dos chamados halftone dots,
que são pontos pretos, ou elipses cujos tamanhos e formas de união são usados para simular o tom de cinza. Como regra, jornais são impressos usando 75 halftone dots por polegada (dpi), revistas usam 133 dpi, e livros de alta qualidade 175 dpi. Fig mostra o que acontece quando uma imagem de um jornal é amostrada a 75 dpi. O reticulado da amostragem e de padrões de pontos do jornal interagem criando um padrão moiré uniforme.

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72 A Fig. 4.22 mostra uma imagem de jornal amostrada a 400 dpi para evitar os efeitos moiré.
O alargamento de uma região do olho esquerdo ilustra como halftone dots são usados para criar sombras de cinza. O tamanho do ponto (dot) é inversamente proporcional à intensidade da imagem. Na parte mais clara, os dots são menores ou ausentes. Na parte escura, os dots excedem um valor especificado, são permitidos juntarem-se formando uma malha interconectadas.

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74 4.5-15 TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA 2-D E INVERSA
A transformada discreta de Fourier 2-D (DFT) é dada por onde f(x,y) é uma imagem digital de tamanho MxN. Dada a transformada F(u,v), podemos obter f(x,y) usando a transformada inversa discreta de Fourier (IDFT): 4.5-15

75 ALGUMAS PROPRIEDADES DA DFT
A correspondência entre a amostragem espacial e o intervalo no domínio espectral, supondo que uma função contínua f(t,z) é amostrada para formar a imagem digital f(x,y), consistindo de MxN amostras tomadas nas direções t e z, respectivamente: Sejam DT e DZ as separações entre as amostras. Então a separação entre as correspondentes amostras no domínio espectral é dada por e

76 4.6-3 4.6-4 4.6-5 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Isto é, multiplicando f(x,y) pela exponencial desloca a origem da DFT para (u0,v0), e inversamente, multiplicando F(u,v) pelo negativo da exponencial, desloca a origem de f(x,y) para (x0,y0). Usando coordenadas polares resulta no seguinte par de transformação: O que significa que rodar f(x,y) por um ângulo q0, roda F(u,v) pelo mesmo ângulo e vice versa. 4.6-3 4.6-4 4.6-5

77 PERIODICIDADE Como no caso 1-D, a transformada de Fourier 2-D e sua inversa são infinitamente periódicas onde k1 e k2 são inteiros. Seja a Fig. 4.23a. A transformada no intervalo 0 a M-1 consiste de dois meio períodos encontrando no ponto M/2. Pela equação de translação, Em outras palavras, multiplicando f(x) pelo termo exponencial desloca o dado tal que a origem F(0), seja u0. Se fizermos u0=M/2, o termo exponencial torna que é igual a (-1)x, pois x é um inteiro, portanto: O resultado é mostrado na Fig.4.23b.

78 4.6-8 A Fig. 4.23c mostra o caso bidimensional.
Ao invés de dois meio períodos, temos agora quatro quarto de período encontrando no ponto (M/2,N/2). Os retângulos pontilhados correspondem a um número infinito de períodos do DFT 2-D. Como no caso 1-D, a visualização é simplificada se deslocarmos os dados tal que F(0,0) esteja em (M/2,N/2). Fazendo (u0,v0)=(M/2,N/2) a equação de translação resulta em Aplicando essa equação desloca o dado tal que F(0,0) esteja no centro do retângulo de frequência definido pelos intervalos [0,M-1] e [0,N-1], conforme Fig. 4.23d. 4.6-8

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80 Funções pares são simétricas e funções ímpares, anti-simétricas.
SIMETRIA Um resultado importante da análise funcional é que qualquer função real ou complexa, w(x,y) pode ser expressa como a soma de uma parte par e uma parte ímpar (cada qual podendo ser real ou complexa): onde as partes par (even) e ímpar (odd) são definidas como Substituindo as partes na equação 4.6-9, temos a identidade, que prova a validade. Segue das definições anteriores que 4.6-9 4.6-10a 4.6-10b 4.6-11a 4.6-11b Funções pares são simétricas e funções ímpares, anti-simétricas.

81 Como todos os índices no DFT e IDFT são positivos, quando falamos sobre simetria (ou anti-simetria) estamos falando em relação ao ponto central de uma sequência. Em termos da eq , índices à direita do ponto central de um vetor 1-D são considerados positivos, e aqueles à esquerda são considerados negativos. Similarmente acontece com vetor 2-D. No nosso trabalho, é mais conveniente pensar somente em termos de índices não-negativos, em que as definições de par e ímpar ficam: Sabemos que o produto de duas funções par e duas funções ímpar é par e que o produto de uma função par com uma função ímpar é impar. Além disso, a única forma que uma função discreta possa ser ímpar é todas as amostras somarem zero. Essas propriedades levam a Em outras palavras, como o argumento é ímpar, o resultado é 0.

82 EXEMPLO 4.10 Embora seja fácil de visualizar funções par e ímpar contínuas, esses conceitos não são intuitivos para sequências discretas. Considerar a sequência 1-D f = {f(0) f(1) f(2) f(3)} = { } em que M=4. Para testar se a função é par, a condição f(x) = f (4 - x) deve ser satisfeita, isto é: f(0) = f(4), f(1) = f(3), f(2) = f(2), f(3) = f(1) Como f(4) fica fora do intervalo examinado, e pode ter qualquer valor, o valor de f(0) não é usado no teste. Todas as outras condições são satisfeitas, portanto a função é par. Isso implica que qualquer sequência par de 4 pontos deve satisfazer a forma {a b c b} ou seja, apenas o segundo e último termo devem ser iguais.

83 Uma sequência ímpar tem a propriedade de que o seu primeiro termo w0(0,0) seja sempre 0, fato que segue diretamente da eq b. Consideremos a sequência g = {g(0) g(1) g(2) g(3)} = { } Facilmente pode-se confirmar que essa sequência é impar notando que os termos da sequência satisfazem a condição g(x) = - g (4 - x). Por exemplo, g(1) = - g(3). Qualquer sequência de 4 pontos ímpar tem a forma { 0 - b b} A sequência { } não é nem par, nem ímpar.

84 Seja uma sequência ímpar 2-D, 6x6
Contudo, adicionando uma outra coluna e linha de 0s resulta numa sequência que não é nem par nem ímpar. Nota-se que a estrutura interna da sequência é uma máscara de Sobel.

85 Uma propriedade usada frequentemente é que a transformada de Fourier de uma função real, f(x,y) é conjugada simétrica: F*(u,v) = F(-u,-v) Se f(x,y) é imaginária, a transformada de Fourier é conjugada anti-simétrica: F*(-u,-v)=-F(u,v). A tabela 4.1 lista simetrias e propriedades correspondentes de DFTs que são úteis em processamento de imagens.

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87 4.6-15 4.6-17 ESPECTRO DE FOURIER E ÂNGULO DE FASE
DFT 2-D pode ser expresso em forma polar: onde a magnitude é chamada de espectro de Fourier, ou espectro de frequência, e é o ângulo de fase. Finalmente o espectro de potência é definido como 4.6-15 4.6-17

88 A transformada de Fourier de uma função real é conjugada simétrica
F*(u,v) = F(-u, -v) portanto o espectro também tem simetria sobre a origem |F(u,v)| = |F(-u,-v)| O ângulo de fase exibe a seguinte simetria ímpar sobre a origem F(u,v) = - F (-u,-v) E segue da eq que indicando que o termo em frequência zero seja proporcional ao valor médio de f(x,y) portanto 4.6-21 F(0,0) é as vezes chamado de componente dc (direct current) da transformada.

89 EXEMPLO 4.13: ESPECTRO DE FOURIER 2-D DE UMA FUNÇÃO SIMPLES
A Fig. 4.24a mostra uma imagem simples e a Fig.4.24b mostra o espectro, cujos valores estão escalados no intervalo [0,255] e mostrados em forma de imagem. A origem de ambas as imagens é o canto esquerdo superior. Nota-se que a área ao redor da origem da transformada contem valores de alta intensidade, e o mesmo acontece com outros cantos do espectro. A razão é a propriedade de periodicidade. Para centrar o espectro, multiplicamos a imagem em (a) por (-1)x+y antes de computar DFT, como indicado pela equação A Fig.4.24c mostra o resultado que claramente é mais fácil visualizar. A Fig.4.24d mostra uma transformação logaritmica (1+log|F(u,v)|) sobre Fig.4.24c.

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91 Segue das eq e que o espectro é insensível à translação, mas roda pelo mesmo ângulo que a imagem rotacionada. A Fig.4.25a mostra uma imagem transladando Fig.4.24a. A Fig.4.25b mostra o espectro idêntico à Fig.4.24d. A Fig 4.25c mostra a imagem Fig.4.25a rotacionada, e a Fig.4.25d o seu espectro. Baseado na eq , mesmo que o espectro seja idêntico, os ângulos de fase devem ser diferentes, pois as imagens Fig.4.24a e Fig.4.25a são diferentes. A Fig.4.26 mostra os ângulos de fase em forma de imagem. A Fig.4.26a corresponde aos ângulos de fase da Fig.4.24a. A Fig.4.26b corresponde aos ângulos de fase da Fig.4.25a. A Fig.4.26c corresponde aos ângulos de fase da Fig.4.25c. Eq.4.6-5

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94 Os componentes do espectro determinam as amplitudes dos senoides que combinam para formar a imagem.
Para uma dada frequência, uma amplitude grande implica numa grande prominência de senoide daquela frequência na imagem. Embora, Fig.4.26 mostre a contribuição dos componentes de fase como algo menos intuitivo, ele é importante. A fase é uma medida do deslocamento dos vários senoides com respeito à origem. Assim, enquanto a magnitude do DFT é uma matriz cujos componentes determinam as intensidades da imagem, as fases correspondentes são uma matriz de ângulos que portam mais informações sobre onde os objetos discerníveis estão localizados na imagem. O seguinte exemplo ajuda a esclarecer o conceito.

95 EXEMPLO 4.14 A Fig.4.27b é uma imagem da matriz de ângulo de fase da DFT da Fig.4.27a. Não há nenhum detalhe nessa matriz que possa analisar visualmente os fatores contidos na imagem da Fig.4.27a. Contudo a importância da fase na determinação das características da forma é evidente na Fig.4.27c, que foi obtida computando o inverso do DFT da eq , usando somente a informação de fase, i.e, com |F(u,v)|=1. Embora a informação de intensidade tenha sido perdida, lembrando que a intensidade é portada pelo espectro, os fatores de forma dessa Fig.4.27c são claramente da Fig.4.27a. A Fig.4.27d foi obtida usando somente o espectro na Eq , e computando o DFT inverso, fazendo a parte exponencial igual a 1. Não existe nenhuma informação de forma. Finalmente a Fig.4.27e mostra o IDFT computado usando o espectro do retângulo da Fig.4.24a e o ângulo de fase correspondente à Fig.4.27a, notando-se que a forma da mulher domina o resultado. A Fig.4.27f foi obtida pela IDFT usando o espectro da Fig.4.27a e o ângulo de fase da Fig.4.24a, notando-se que o retângulo domina a imagem resultante.

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97 4.6-23 4.6-24 4.6-25 4.6-26 TEOREMA DA CONVOLUÇÃO 2-D
Estendendo a eq a expressão para convolução circular 2-D fica que fornece um período de uma sequência periódica 2-D. O teorema da convolução 2-D é dado por e A Fig.4.28 mostra um exemplo 1-D onde a convolução resulta em erro (wraparound error) devido a periodicidade das funções no DFT. A solução para esse problema é fazer o padding de zeros em ambas as funções f(x) e h(x) compostas por A e B amostras respectivamente, de tal forma que as funções tenham o mesmo comprimento P, 4.6-23 4.6-24 4.6-25 4.6-26

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