Introdução à Lógica Matemática

Apresentação em tema: "Introdução à Lógica Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução à Lógica Matemática
Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução à Lógica Matemática /1 – p. 1/13

2 Eliminação e Inserção de Quantificadores
No CP as premissas são relações do tipo “Pxy”, “Qxyz”, etc. Portanto, não há nenhum processo sistemático para validar os argumentos. As regras de inferência e de dedução, se aplicam também ao CP, mas os quantificadores, variáveis e predicados nos enunciados, complicam a validação dos argumentos. Regras adicionais de inferência são definidas para a inserção e/ou eliminação dos quantificadores. Neste caso: As Premissas do CP são transformadas em enunciados do Cálculo Proposicional, isto permite usar as eqüivalências e inferências conhecidas, em seguida, insere-se novamente os quantificadores e processa-se a validação.

3 Eliminação e Inserção de Quantificadores
O processo gera quatros regras e exige: 1 - Eliminar os quantificadores das premissas. 2 - Deduzir a conclusão com eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional. 3 - Inserir (se for o caso) os quantificadores na conclusão. As quatro regras geradas são chamadas de: Generalização Universal e Existencial; Instanciação Universal e Existencial;

4 Instanciação Universal (IU)
Pode ser enunciada da seguinte forma: “Se todos os objetos de um dado universo possuem uma dada propriedade, então um objeto particular desse universo também possui essa propriedade”. Isto é: u    Onde  uma regra de inferência (RI), ou implicação tautológica. Isto é,  é uma fórmula que resulta de  ao substituir cada ocorrência da variável livre u por um termo t. A RI pode assumir muitas formas, dependendo de : Exemplos: Se x Fx então Fx Se x Fx então Fa Se y (FyGb) então Fx  Gb Se y (FyGb) então FaGb Se x Gx então Gy Se x (Gx  Hx) então Gz  Hz Se x (Fxx (GxHy)) então Fb x (GxHy) Ver aplicação dessa regra na pagina 58.

5 Generalização Universal (GU)
“Se um objeto, arbitrariamente escolhido dentre um universo, tiver uma certa propriedade, todos os objetos desse universo terão essa propriedade”. Em termos simbólicos:  u  w ( w), onde  é uma fórmula e w um objeto arbitrariamente escolhido, é uma regra de Inferência. Podemos garantir que todos os elementos de um universo possuem dada propriedade ao utilizarmos a expressão arbitrariamente escolhido. Alguns exemplos dessa regra de inferência: Se Fx então x Fx Se Fx então y Fy Ver aplicação da regra GU através do argumento da página 59.

6 Generalização Existencial (GE)
“O que é verdadeiro para um dado objeto, é verdadeiro para algum objeto”. Em formulação simbólica, temos:: w  u u, onde w é uma constante ou variável, u é variável, e w resulta de u pela substituição das ocorrências livres de u por w; - se w for uma variável, deve ocorrer livre em w nos locais em que u ocorrer livre em u. Exemplos de aplicação desta regra de inferência: Se Fx então y Fy Se Fa então x Fx Se Fa então y Fy Se FaGb então x (FxGb) Se Fa  Gb então y (Fy  Gb) Se Fx  Gy então z (Fx Gz) Se Fx  Gx então y (Fy  Gy) Se Fx  Gx então y (Fy Gy) Um exemplo de utilização da regra GE é dado na dedução do argumento da página 60.

7 Instanciação Existencial (IE)
“O que é verdadeiro para algum objeto, é verdadeiro para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução”. Em notação simbólica: u u  w, onde  é uma fórmula, e desde que w seja variável livre nos locais em que u ocorria livre em u, e que w não tenha ocorrência livre anterior. Dois exemplos da utilização dessa regra: Se x Fx então Fx Se x Fx então Fy. Um exemplo de aplicação dessa regra,é dado na dedução do argumento da página 61. Obs: A aplicação dessa RI exige certos cuidados. Deve-se certificar de que o termo não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. Observe o 2o argumento da página 61/62 e ver os cuidados no uso da GE- página 62.

8 Eqüivalências e Regras de Inferências.
As eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional podem ser utilizadas para obter suas correspondentes entre expressões com quantificadores e variáveis. Veja alguns conceitos novos: Validade lógica (corresponde à tautologia no Cálc. Proposicional): “Uma sentença fechada é logicamente válida, se e somente se, qualquer instanciação da sentença em qualquer universo não vazio for uma sentença verdadeira (for satisfeita para todos os objetos)”. Isto é, uma sentença fechada é dita válida quando sua veracidade não depender da instanciação das variáveis.

9 Eqüivalências e Regras de Inferências
A sentença x Px  x Px, diz que: “se todos os elementos x possuírem o predicado P, então existe um x que possui o predicado P”. Pode ser instanciada para: “se todos estão alegres, então existe alguém alegre”, “uma sentença aberta é válido quando seu conjunto verdade for o próprio universo”. Por exemplo: O aberto: Py  x Px, afirma que: “se y possui a propriedade P, então existe um x que possui a propriedade P”, o que é satisfeito por todos os objetos de qualquer universo. Instanciações dessa sentença: “se y é sábio, então existe um x tal que x é sábio”; “se y é mortal, então existe um x tal que x é mortal”.

10 Sentenças x tautologias
É possível mostrar que se um esquema sentencial tiver a forma de um enunciado válido do Cálculo Proposicional (uma tautologia), então ele também será logicamente válido no CP . Isto é extremamente útil, pois permite construir um grande número de esquemas sentenciais abertos e fechados logicamente válidos. Exemplos:sentenças válidas, por possuírem a forma de tautologias:

11 Sentenças Eqüivalentes no CP
Duas sentenças S1 e S2 são equivalentes, S1  S2, se e somente se, S1  S2 for um esquema logicamente válido. “Uma sentença com a forma de uma equivalência do Cálculo Proposicional também será uma equivalência do CP ”. Exemplos:

12 Sentenças Eqüivalentes no CP
Como ocorre no Sistema Proposicional, se duas sentenças S1 e S2, do CP, diferirem por partes equivalentes, então elas são equivalentes. Por exemplo:  (Py  x Qx)  Rx é equivalente a  Py   x Qx  Rx. Em resumo: padrões sentenciais, cuja forma é a de padrões sentenciais equivalentes ou que diferenciam-se pela ocorrência de partes equivalentes, são equivalentes.

13 Eqüivalencias de esquemas sentenciais do CP
Há esquemas sentenciais do Cálculo de Predicados que são equivalentes, mas que não têm a forma de enunciados equivalentes. Exemplos:  x Px  x  Px (De Morgan) [EQ01]  x Px  x  Px (De Morgan) [EQ02]  x (Px  Qx )  x Px  x Qx (Distrib) [EQ03] x (Px  Qx )  x Px  x Qx (Distrib) [EQ04]

14 Eqüivalencias de sentenças do CP
Podemos também definir inferências no Cálculo de Predicados. Assim, dizemos que da sentença S1 inferimos S2, e escrevemos S1  S2, se e somente se S1 S2 for logicamente válida. Mais uma vez as inferências do Cálculo Proposicional podem ser utilizados como padrões para inferências no Cálculo de Predicados: Exemplos:

15 Inferências de sentenças do CP
O CP possui inferências, que não correspondem a padrões de inferência nos enunciados do cálculo proposicional. Exemplos: x Px  x Px [INF01] x (Px  Qx)  x Px  x Qx [INF02] x Px  x Qx  x (Px  Qx) [INF03] x (Px  Qx)  x Px  x Qx [INF04] Essas eqüivalências e inferências serão úteis na dedução de argumentos no CP. As que possuem a forma de enunciados tautológicos têm, sua validade lógica assegurada. As demais, EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04, necessitam de demonstração formal (Ver páginas 65 a 69).

16 Dedução no CP Um argumento no CP é tal que, um dos esquemas sentenciais, chamado conclusão, decorre logicamente dos demais, chamados premissas; Se essa decorrência se verificar, o argumento é dito válido, em caso contrário, é inválido. Deduzir um argumento, é, obter uma seqüência de esquemas sentenciais 1, 2, ..., n, onde cada i ou é uma premissa ou resulta das anteriores após o uso de eqüivalências e inferências. Para deduzir a validade de um argumento, usamos as regras de inferência GU, IU, GE e IE, e as de equivalência/inferências EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04.

17 Dedução: Aspectos gerais
Procedimentos gerais usados na dedução (as premissas e conclusão devem estar na forma simbólica). Utilizar as: eqüivalências e inferências do CP que correspondem às eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional; eqüivalências e inferências EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04; inferências IU e IE, visando eliminar os quantificadores; eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional, visando chegar à conclusão; inferências GE e GU, visando reintroduzir os quantificadores na conclusão, se for necessário.

18 Revisão: O Diagrama de Venn e o SC
Para a Proposição Universal Afirmativa (A) “Todo S é P”, x (Sx  Px) temos o 1o diagrama; Proposição Universal Negativa (E), “Nenhum S é P”, ou, simbolicamente, x (Sx  ~Px), pelo 2o; A Proposição Particular Afirmativa (I), “Algum S é P”, ou x (Sx  Px), é representada pelo 3o diagrama abaixo; Proposição Particular Negativa (O), “Algum S não é P”, cuja forma simbólica é x (Sx  ~Px), A I E O

19 Dedução no CP: Exemplo Nenhum atleta é apegado aos livros.
Carlos é apegado aos livros. Portanto, Carlos não é um atleta. Sol: x (Ax   Lx) L (Carlos)   A (Carlos)

20 Dedução no CP: Exemplo Sol: 2. Ácidos ou bases são químicos.
x(AxBx  Qx) A (vinagre)  Q (vinagre) 2. Ácidos ou bases são químicos. O vinagre é um ácido. Logo, o vinagre é um químico.

21 Exemplos de dedução 3. Todos os cidadãos que não são traidores estão presentes. Todos os oficiais são cidadãos. Alguns oficiais não estão presentes. Logo, há traidores. Sol: x (Cx TxPx) x (Ox  Cx) x (Ox   Px)  x Tx Ver mais ex. na pp. 71.

22 Invalidade de argumentos no CP
O método do absurdo Proposicional, (premissas verdades e conclusão falsa), pode ser adaptado ao CP desde que exista pelo menos um indivíduo no universo. Exemplo: Todos os mercenários são violentos. Nenhum guerrilheiro é mercenário. Logo, nenhum guerrilheiro é violento Simbolicamente: x (Mx  Vx) (A) x (Gx   Mx) (E)  x (Gx   Vx) Se existir apenas um indivíduo a no universo, o argumento assume: Ma  Va Ga   Ma  Ga   Va (Mostre por SC) (Ver ex. pp 72 : exige pelo menos 2 indivíduos)

23 Validade e Subargumentos
Se o número de premissas e/ou de predicados em um argumento é grande, a dificuldade em deduzir a conclusão ou de provar a invalidade do argumento cresce significativamente. Nestes casos, o uso de subargumentos é recomendável. Ele consiste em: 1. escolher uma ou mais premissas no argumento dado; 2. obter uma conclusão com essas premissas, construindo um subargumento válido; 3. incluir a conclusão obtida como mais uma premissa no argumento original. Repetir o processo até se obter a conclusão do argumento original, ou ficar convencido de que isso não será possível.

24 Validade: uso de subargumentos
Exemplo: Alguns fotógrafos são habilidosos. Só artistas são fotógrafos. Os fotógrafos não são todos habilidosos. Todo biscateiro é habilidoso. Logo, alguns artistas não são biscateiros. Sol: a 3a e 4a premissas escritas na forma típica: Todo biscateiro é habilidoso.Alguns fotógrafos não são habilidosos. Logo, alguns fotógrafos não são biscateiros. (silogismo categórico). Sol: Forma simbólica x (Bx  Hx) (A), x (Fx   Hx) (O);  x (Fx   Bx) O diagrama de Venn ao lado valida o subargumento:

25 Validade: uso de subargumentos
Substituindo as premissas pela conclusão, e escrevendo a outra premissa na forma típica, temos o outro argumento como outro silogismo categórico: Todos os fotógrafos são artistas. Alguns fotógrafos não são biscateiros. Logo, alguns artistas não são biscateiros. Sol: Forma simbólica: x (Fx  Ax) (A), x (Fx   Bx) (O);  x (Ax   Bx) O diagrama de Venn ao lado valida o argumento: (ver outro exemplo na pag 75) .

26 Invalidade: uso de subargumentos
Ver o exemplo das páginas 78, 79 e 80) FIM