Fórmulas de Preferências Condicionais [Wilson 2004] AULA 15 Data Mining Sandra de Amo.

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1 Fórmulas de Preferências Condicionais [Wilson 2004] AULA 15 Data Mining Sandra de Amo

2 Fórmulas de Preferência Condicional Conditional Preference Rules (cp-rules) φ : Y 1 = a 1 ˄ … ˄ Y n = a n X = x > X = x Conditions over Attributes Y 1,…,Y n Preference over Attribute X [ Z ] Conditional Preference Theory = a finite set of cp-rules R (Y 1,…,Y n,….,X,…) Atributos que são excluídos da exigência Ceteris Paribus

3 Exemplo G = thriller > G = drama [ Actor ]φ : D = Hitchcock D = Hitchcock > D = D.Lynch [ Actor ] ρ : Year = 1960

4 Toda CP-Net é uma teoria de preferência condicional G D c > d t > c G= c > G = d [ ø ] G = t > G = c [ ø ] G = d D=b > D=w [ ø ] G = d D=w > D=h [ ø ] G = t D=h > D=w [ ø ] G = t D=w > D=b [ ø ] G = c D=w > D=b [ ø ] G = c D=b > D=h [ ø ] d: b > w d: w > h t: h > w t: w > b c: w > b c: b > h

5 Ordem de Preferência induzida por uma Teoria de Pref. Condicional Usa a semântica ceteris paribus para os atributos que não estão em Z U Y e que são diferentes de X Exemplo: BD(Category, Director, Year, Actor) Dir ector = F. Capra >Director = Hitchcock [Year] φ : Category = comedy O1 = (Cat=comedy, Dir = F.Capra, Year = 1960, Actor = J.Stewart) O2 = (Cat=comedy, Dir = Hitchcock,Year = 1954, Actor = J.Stewart) O1 > φ O2 Ceteris paribus Cada cp-rule φ induz uma ordem de preferência > φ

6 Ordem de Preferência Uma cp-theoria Ψ induz uma ordem de preferência > Ψ Para cada fórmula φ de Ψ considera-se a ordem induzida > φ Considera-se a união de todas estas ordens U>φ, para φ em Ψ A ordem de preferência induzida pela teoria = fecho transitivo de U>φ, para φ em Ψ > Ψ = fecho transitivo de U>φ, para φ em Ψ

7 Ordem de Preferência Teoria Ψ = { φ, ρ } Considera-se todos os pares de tuplas que pode- se ordenar diretamente utilizando a regra φ Considera-se todos os pares de tuplas que pode- se ordenar diretamente utilizando a regra ρ Considera-se a união destes dois conjuntos de pares de tuplas. Inclui-se neste conjunto todos os pares de tuplas obtidos por transitividade.

8 Ordem de Preferência abc R(A,B,C) Tuplas ordenadas diretamente pela regra φ Tuplas ordenadas diretamente pela regra ρ Primeira iteração da transitividade Segunda iteração da transitividade

9 Exemplo Cat. = thriller > Cat. = drama [ Actor ] O 1 = (Cat=thriller, Dir = Hitchcock, Year = 1960, Actor = J.Stewart) O 2 = (Cat=drama, Dir = Hitchcock, Year = 1960, Actor = P. Newman) O 3 = (Cat=drama, Dir = D.Lynch, Year = 1960, Actor = A. Hopkins) O 1 > φ O 2 O 2 > ρ O 3 Dir. = Hitchcock > Dir. = D.Lynch [ Actor ] ρ : Year = 1960 O1 > Ψ O3 Teoria Ψ = { φ, ρ } O 2 = (Cat=drama, Dir = Hitchcock, Year = 1960, Actor = P. Newman) φ : Dir = Hitchcock

10 Grafo de Dependência Grafo associado a uma teoria Ψ Vértices: atributos que aparecem em Ψ Arcos: (Y,X) onde Y aparece do lado esquerdo da regra e X do lado direito da regra na parte da ordenação

11 Exemplo Cat. = thriller > Cat. = drama [Y] φ 1 : Dir = Lynch Dir. = Hitchcock > Dir. = D.Lynch [C] φ 2 : Year = 1960 Y D C Dir. = D.Lynch > Dir. = Hitchcock φ 3 : Year = 1954 Dir = D.Lynch > Dir = Hitchcock [Y]φ 4 : Cat = drama

12 Ordens Locais ordem sobre o domínio dos atributos: Sejam A1,…,An = atributos que aparecem na parte esquerda das regras Sejam B1, …, Bk = atributos que aparecem na parte direita das regras (parte da ordenação) Cada tupla t sobre os atributos (A1,…,An) determina uma ordem local sobre o domínio do atributo Bj, ( 1 j k )

13 Consistência Local Uma teoria é localmente consistente se as ordens locais produzidas em cada atributo do lado direito são irreflexivas.

14 Teoria Consistente A cp-teoria Ψ é consistente se > Ψ é irreflexiva Não se pode deduzir o 1 > Ψ o 2 e o 2 > Ψ o 1 Teste de Consistência (Wilson 2004) Ψ é consistente se seu grafo de dependência é acíclio e Ψ é localmente consistente

15 Exemplo Cat = thriller > Cat = drama [Y] φ 1 : Dir = Lynch Dir = Hitchcock > Dir = D.Lynch [C] φ 2 : Year = 1960 Y D C Attributes = Y, D, C Dom(Y) = {1960, 1954} Dom(D) = {Hitch, Lynch} Dom(C) = {t, d} Dir = Hitchcock > Dir = Lynch φ 3 : Year = 1954 Database: O1 = (1960, Lynch, thriller) O2 = (1960, Hitch, drama) O3 = (1954, Lynch, drama) O1: hitch>lynch dom(D) thriller>drama dom(C) O2: hitch >lynch dom(D) O3: hitch > lynch dom(D) Dir = D.Lynch > Dir = Hitchcock [Y]φ 4 : Cat = drama O2 > O1 > O3 > O2 Ordem local sobre dom(D) não é irreflexiva !

16 Tuplas Preferidas Lista os atributos (X 1,…,X n ) na ordem compatível com o grafo de dependência graph(Ψ) Pega o melhor valor x 1 de dom(X 1 ) Pega o melhor valor x 2 de dom(X 2 ) conditionado a x 1 … Observação: como a ordem não é total, podem haver diversas tuplas preferidas

17 Exemplo φ 1 : Dir = Hitchcock Dir. = Hitchcock > Dir. = D.Lynch φ 2 : Year = 1960 Dir. = D.Lynch > Dir. = Hitchcock φ 3 : Year = 1954 Cat. = thriller > Cat. = drama Y D C Cat = drama > Cat = comedy φ 3 : Year = 1954 Y > D > C Melhor valor para Y : qualquer um Y = 1960 Best D = Hitch D = Hitch Best C = thriller O = (1960, Hitch, thriller) é uma tupla preferida. Y = 1954 Best D = Lynch D = Lynch Best C = drama O = (1954, Lynch, drama) é outra tupla preferida