Mineração de Preferências (a partir de amostras superiores e inferiores) J.Pei et al. KDD 2008 AULA 18 Data Mining Profa. Sandra de Amo.

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1 Mineração de Preferências (a partir de amostras superiores e inferiores) J.Pei et al. KDD 2008 AULA 18 Data Mining Profa. Sandra de Amo

2 Modelo de Preferências Seja D = {D1,...,Dk} um conjunto de atributos Uma preferência sobre Di é uma relação de ordem parcial >i sobre os valores de Di Composição pareto: > = (>1,...,>k) O > O se e somente se: Existe i tal que O.i >i O.i Para todo j i : O.j >j O.j ou O.j = O.j Composição pareto é uma preferência sobre D se for uma ordem parcial

3 Amostras Superiores e Inferiores Seja O um conjunto de objetos sobre D = {D1,...,Dk} S O, Q O S : Amostras Superiores s O não é dominado por nenhum outro objeto de O Q : Amostras Superiores q O é dominado por algum objeto de O

4 Atributos Determinados e Indeterminados D = conjunto dos atributos D = D+ U D- D+ = Conjunto dos atributos determinados Preferências sobre os valores destes atributos é universal – partilhada pela maioria dos usuários Exemplo: Preço do imóvel – o menor preço é sempre o preferido D- = Conjunto dos atributos indeterminados Preferências sobre os valores destes atributos varia para cada usuário Exemplo: Área do Imóvel

5 Satisfying Preference Set (SPS) O que é um SPS(S,Q) ? Dados os conjuntos de amostras S e Q, um SPS(S,Q) é uma order pareto > = (>1,…,>k) tal que: Todos os objetos de S são superiores com relação a > Todos os objetos de Q são inferiores com relação a >

6 Exemplo 1 Existência de SPS nem sempre é garantida ! S = {O1, O3} Q = {O2} Quem pode dominar O2 ? O3, O4, O5 não podem : pois a1 > a2 Logo, somente O1 pode dominar O2 Sugirindo que: c1 > c2 detindet a1 > a2 > a3 MAS: Se c1 > c2: O3 seria dominado por O1 e portanto não seria superior.

7 Exemplo 2 Pode haver diversos SPS associados a (S,Q) detindet a1 > a2 > a3 S = {O1} Q = {O4} R1 = { {b1 >B b2}, {c1 >C c2} } é uma SPS(S,Q) R2 = { {b3 >B b2} } é uma SPS(S,Q)

8 Noção de qualidade: minimalidade R: relação (pares de objetos) E(R) = fecho transitivo de R Complexidade de R = |E(R)| Objetivo: encontrar um SPS com complexidade mínima. Exercício: Mostrar que |E(>)| = Π i (|E(> i )| + |D i |) - Π i |D i | Onde > = composição pareto das ordens locais > i

9 Problemas Teóricos Problema 1 (P1 - Existência) – Problema de Decisão Dado um conjunto O de objetos sobre os atributos D = D+ U D- e S, Q O, existe um SPS(S,Q) tal que: S corresponde a amostras superiores Q corresponde a amostras inferiores ? P1(d) = P1 com d atributos indeterminados Este problema é NP-Completo. Prova: - O problema 3SAT se reduz ao P1(2). - É possivel mostrar redução de P1(d) para P1(d+1).

10 Problemas Teóricos Problema 2 (P2 - Minimalidade) – Problema de Otimização Dado um conjunto O de objetos sobre os atributos D = D U U D I e S, Q O, encontrar um SPS(S,Q) tal que: S corresponde a amostras superiores Q corresponde a amostras inferiores SPS(S,Q) é minimal

11 Proposta: Método Guloso Input: conjunto O de objetos sobre os atributos D = D + U D - e S, Q O Output: SPS satisfazendo S e Q isto é: elementos de S são superiores elementos de Q são inferiores

12 Dominância Parcial Seja D = D+ U D- >D = ordem pareto sobre D Se O1 >D+ O2 então O1 >D O2 depende somente das preferências sobre os não-determinados D- - O1 domina parcialmente O2 se O1 > D+ O2 - Se O1 domina O2 então O1 domina parcialmente O2 - Se O1 não domina parcialmente O2 então O1 não domina O2 Exemplo : O1 = (Preço = 250, Área = 100, Local = Centro) O2 = (Preço = 300, Área = 150, Local = Bairro Martins) Sem mesmo conhecer as preferências sobre os atr. Indeterminados Area e Local pode-se afirmar que O2 não domina O1, pois não domina parcialmente O2.

13 Descobrindo Preferências para Satisfazer as Amostras Inferiores Passo 1: Podagem de Q Elimina amostras que não trazem informação importante sobre as preferências nos atributos indeterminados. Para cada q Q: P(q) = objetos de O que dominam parcialmente q Se existe objeto p P(q) tal que p.D- = p.D- (coincide em todos os atributos indeterminados) então é inferior independentemente das preferências sobre D- q pode ser eliminado de Q q é dito trivialmente inferior.

14 Descobrindo Preferências para Satisfazer as Amostras Inferiores Passo 2: Construção da tabela das Condições de Preferências - Para cada q Q : - Considera-se todos os objetos de O que podem dominar q nos atributos não determinados = P(q) - Sabe-se que tais objetos existem: q é inferior, e q não é trivialmente inferior - Para cada objeto p P(q): constrói-se as condições que devem ser satisfeitas para q ser dominado por p - Notação: Cq(p) = condições que devem ser satisfeitas para q ser dominado por p.

15 EXEMPLO removido detNão-det - O10 é parcialmente dominado por O4 - O10 e O4 coincidem em D3 e D4 Logo: O10 é removido

16 Método Exaustivo para Satisfazer Q Para cada q Q Seleciona um objeto p de P(q) Constrói-se a ordem imposta pelas condições Cq(p). Calcula-se o tamanho de cada uma destas ordens (cardinalidade) Pega a ordem com a menor cardinalidade. Método exaustivo é exponencial no número de objetos inferiores

17 Algoritmo Baseado em Termos – Esquema Geral Para cada atributo não-determinado: Adiciona-se iterativamente termos t : a > b até que todas as amostras inferiores sejam satisfeitas. Os termos t escolhidos para serem inseridos são avaliados segundo 2 critérios: Complexidade do Incremento CI(t): mede o quanto a inserção do termo vai aumentar a cardinalidade da relação de preferência pareto final. Cobertura das Amostras Cov(t): quantidade de amostras inferiores que ficam satisfeitas após a inserção do termo t. Score(t) = Cov(t)/CI(t) Termos com maior score são os escolhidos.

18 Basta que para um p todas as Condições de Cq(p) sejam satisfeitas para q ser removido

19 Como calcular o Incremento CI(t) Exemplo R = {> 3, > 4 } |D3| = 5, |D4| = 3 Iteração k : R = { { a1 > 3 a2}, ø } |E(R)| = (1+5)*3 – 5*3 = 3 Iteração k+1: a3 > 3 a1 é selecionado |E(R)| = (3+5)*3 – 5*3 = 9 CI(t) = 9 – 3 = 6

20 Como calcular a cobertura Cov(t) Cobertura do termo t com respeito a uma condição Cq(p) Cov(t, Cq(p)) = 1/|Cq(p)| se t Cq(p) Cov(t, Cq(p)) = 0 se t Cq(p) Exemplo: Considere C o2 (O1) = (a3 >3 a2) (b3 >4 b1) t = b3 >4 b1 Cov(t, C o2 (O1)) = ½ Considera-se também a cobertura do termo t com respeito aos termos implicados Cobertura do termo t com respeito a uma amostra q Cov(t,q) = max {Cov(t, Cq(p)}, t Imp(t), p P(q) Cobertura do termo t com respeito ao conjunto de amostras Q Cov(t) = Σq Cov(t,q)

21 Exemplo de aplicação do Algoritmo Cálculo do score de t = a1 > 3 a2 Cov(t,O2) = 0, Cov(t,O5) = ½, Cov(t,O7) = ½, Cov(t,O8) = 0 Logo: Cov(t) = ½ + ½ = 1 Complexidade antes = 5.3 – 5.3 = 0 Complexidade depois = (1+5).3 – 5.3 = 3 Logo: CI(t) = 3 Score (t) = 1/3 Após a seleção de b3 >3 b1 na 1a iteração: Condição C O8 (O6) é satisfeita. Logo O8 é removido de Q a4>3 a5 não aparece em nenhuma condição restante, a4>3 a5 é retirada da lista de termos a serem testados na Iteração 2 Resultado Final: R = { {a1 >3 a2}, {b1 >4 b2, b3 >4 b1, b3 >4 b2} }, |E(R)| = 21

22 Discussão Muitas vezes os SPS minimos não são atingidos, o SPS retornado não é otimal. Exemplo: que CI(b1>4 b2) = 12 (muito grande)

23 Algoritmo baseado em Condição Ao invés de calcularmos o score de um termo, estamos interessados em calcular o score de uma condição inteira Cq(p) Score(Cq(p)) = Cov(Cq(p)) / CI(Cq(p)) Cov(Cq(p)) = Σ Cov(t), t Cq(p)

24 Exemplo de Aplicação do Algoritmo Resultado Final: R = { {a3 >3 a2, a4 >3 a2}, {b3 >4 b1, b3 >4 b2} } |E(R)| = 20

25 Como satisfazer as amostras Superiores Termos (ou condições) não satisfatórios: violam alguma amostra superior. Exemplo: Suponha que O3 é superior se CO5(O1) = (a3 >3 a2) (b3 >4 b2) escolhida pelo algoritmo Neste caso: O1 dominaria O3, violando a condição de superioridade de O3. Amostras superiores são utilizadas como verificadores. Ao final de cada iteração, um termo t é selecionado (com o melhor score) Antes de inserí-lo no resultado, testa-se se ele não viola uma amostra superior. Se for o caso, o termo é removido da lista e outro termo com score imediatemente abaixo é selecionado.

26 Resultados Experimentais sobre dados Reais Dados sobre jogos da NBA (www.nba.com)www.nba.com Dados contém informações estatisticas sobre 3924 jogadores de 1946 a 2006. Atributos Média de pontos por jogo (PTS) Média de tomadas de bola (STL) Média de bloqueios (BLK) Média de rebotes (REB) Média de passes (AST) Preferências do senso comum: maiores valores para cada atributo.

27 Testes com o algoritmo guloso (2 versões) REB e AST foram utilizados como indeterminados nos testes PTS, STL, BLK : determinados Deseja-se avaliar se as preferências mineradas sobre REB e AST são coerentes com o senso comum. Medida de avaliação: pct = Ra/Rt Rt = quantidade de termos minerados Ra = termos minerados que são coerentes com o senso comum pct = acurácia do algoritmo REB tem 23 valores distintos, AST tem 12 valores distintos Amostras superiores e inferiores são obtidas através de escolhas reais de usuários.

28 Resultados