Lógica Nebulosa Computadores são estúpidos, eles somente respondem perguntas. Pablo Picasso Adriano Cruz, Cabral Lima, Pedro Demasi NCE e IM/UFRJ.

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1 Lógica Nebulosa Computadores são estúpidos, eles somente respondem perguntas. Pablo Picasso Adriano Cruz, Cabral Lima, Pedro Demasi NCE e IM/UFRJ

2 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 2 Apresentação = Adriano Cruz = NCE-IM UFRJ = adriano@nce.ufrj.br = A luz viaja mais rápido que o som. É por isto que algumas pessoas parecem brilhantes até que começam a falar. Linux Journal

3 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 3 Sumário = Introdução = Conjuntos Nebulosos = Operações com Conjuntos Nebulosos = Sistemas Nebulosos

4 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 4 Inteligência? = Inteligência Artificial –Atua nos níveis mais elevados de inteligência •Raciocínio Lógico •Conhecimento = Inteligência Computacional –Atua nos níveis básicos de inteligência •Percepção •Reconhecimento de Padrões •Aprendizado

5 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 5 Inteligência Computacional = Lógica Nebulosa = Redes Neurais = Computação Evolucionária = Comportamentos Emergentes = Machine Learning = Sistemas Híbridos

6 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 6 Lógica Nebulosa = Lógica que trata matematicamente informações imprecisas usualmente empregadas na comunicação humana Lógica multi-valorada que estende a lógica booleana usualmente empregada em computação.

7 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 7 Lógica Nebulosa O.k., e agora faça exatamente como eu estou lhe dizendo !

8 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 8 Aristotóles = Filósofo macedônio que viveu entre 384 e 322 AC = Estudou com Platão = Criador da lógica formal = De família ligada à medicina associa o espírito de observação e a índole classificatória = Considerado na idade média o filósofo = Moldou a forma de pensamento ocidental

9 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 9 Limitações da Lógica Aristotélica = Os objetos são classificados em categorias muito bem definidas = Um objeto pertence a uma categoria ou não. = Ou se é ou não = Serve para separar objetos em categorias bem definidas

10 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 10 Por que lógica nebulosa? = Toda linguagem é vaga. = Toda lógica tradicional habitualmente assume que símbolos precisos estão sendo empregados. Portanto, não é aplicável à vida terrestre mas somente a uma imaginária existência celestial. = Não se imagina como tudo é vago até que se tente fazê-lo de modo preciso. Bertrand Russel

11 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 11 Como classificar exatamente? = Pessoas felizes = Temperaturas altas = Carros andando rápido = Pessoas altas = Bons alunos = Jogo difícil

12 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 12 Os Detratores = Lógica Nebulosa é errada, errada e perniciosa. O que precisamos é mais pensamento lógico, não menos. O perigo da lógica nebulosa é que ela irá encorajar aquele tipo de pensamento impreciso que nos trouxe tantas dificuldades. Lógica Nebulosa é a cocaína da Ciência! Prof. William Kaham - U. Cal - Berkeley

13 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 13 Os Detratores “ Nebulização” é uma espécie de permissividade científica. Ela tende a resultar em bordões socialmente atrativos, desacompanhados da dura disciplina do trabalho científico e da observação paciente. Prof. Rudolf Kalam – U. Florida - Gainesville

14 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 14 Início Lotfi Zadeh. “Fuzzy Sets”, Information na Control, 1965 Principio da Incompatibilidade: A medida que a complexidade de um sistema aumenta, nossa habilidade para fazer afirmações precisas e que sejam significativas a cerca deste sistema diminui até que um limiar é atingido além do qual precisão e significância (ou relevância) tornam- se quase que características mutuamente exclusivas.

15 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 15 Pensando Nebulosamente Sim Não Não Sim

16 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 16 Pensando Nebulosamente = Se o inimigo está perto fuja rapido = Se o aluno acertou muitas respostas escolha a seção 3 = Se estamos longe do destino então escolha uma pousada não muito cara. = Coloque sal à gosto.

17 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 17 Onde Aplicar? ? ? ? problemas Problemas em que a modelagem precisa introduz desvantagens. Problemas onde é necessário tomar decisões com informações insuficientes. Problemas onde a modelagem matemática convencional é por demais complexa.

18 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 18 Sistemas Nebulosos XY=F(X) A função F(x) é desconhecida

19 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 19 Vantagens = Utilizam regras que expressam as imprecisões e aproximações do mundo real = Mais fáceis de entender, manter e testar = Podem ser prototipados em menos tempo = São robustos. Operam com falta de regras ou regras defeituosas = Necessitam menos regras = Avaliam regras paralelamente = Acumulam evidências contra e a favor

20 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 20 Desvantagens = Necessitam mais simulação e testes = Não aprendem facilmente = Dificuldade de estabelecer regras corretamente = Não há uma definição matemática precisa

21 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 21 Produtos comerciais = The Sims uso de máquinas de estado nebulosas. = O jogo Civilization: Call to Power faz uso de regras nebulosas em sua definição da Inteligência Artificial = Close Combat 2 usa um sistema nebuloso para analisar centenas de variáveis e chegar a probabilidade de um soldado executar determinada ação. = Sistema para escolha de tacos de golfe?!

22 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 22 Produtos Comerciais = Metro Sendai: 16 estações e 13,5 km de trilhos, desenvolvido pela Hitachi = Lavadoras de roupa medem peso e sujeira da roupas para avaliar programa de lavagem = Máquinas para filmagens comparam imagens para diminuir tremidas = Aspiradores de pó medem quantidade de pó para variar potência de sucção = Fornos de microondas medem temperatura, umidade e forma dos alimentos para controlar tempo

23 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 23 Produtos comerciais = Ar condicionado mede a temperatura ambiente e preferências dos usuários = Sistemas ABS medem deslizamento e travamento das rodas para controlar freios = Mitsubishi desenvolveu sistema que controla suspensão, tração, transmissção e ar = Hitachi usa 150 regras para negociar bonds e mercados futuros = Yamaichi usa sistema com centenas de regras para negociar ações

24 Conjuntos Nebulosos - Introdução Se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego.

25 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 25 Conjuntos Clássicos = Universo de Discurso –Corresponde ao espaço onde estão definidos os elementos do conjunto –Por exemplo: •alturas de seres humanos: 0 <= alt <= 2.5m •temperatura ambiente: -70 o <=temp<=70 o •notas de alunos: 0 <= notas <= 10

26 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 26 Conjuntos Clássicos = Função de Inclusão –Define se um elemento pertence ou não a um conjunto 1 0 1,70altura

27 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 27 Problemas/Conjuntos Clássicos = Apresentam problemas quando aplicados à uma enorme classe de problemas do mundo real. = O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto/não alto) é denominado de paradoxo de Sorites, atribuído ao dialético, Eubulides de Mileto, adversário de Aristóteles = O paradoxo se enuncia com os seguintes termos “Quando um monte de areia deixa de ser um monte de areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?”

28 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 28 Operações com conjuntos clássicos

29 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 29 Leis de Aristóteles “ Tudo deve ser ou não ser, seja no presente ou no futuro.” = A União de um conjunto com seu complemento forma o conjunto Universo. = Esta é chamada de lei da exclusão do meio

30 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 30 Leis de Aristóteles = A Intercessão de um conjunto com seu complemento é vazia. = Esta é chamada de lei da não contradição

31 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 31 Conjuntos Nebulosos = And now for something completely different.

32 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 32 Conjuntos Nebulosos = A função de inclusão de elementos em um conjunto nebuloso A é caracterizada por que mapeia cada elemento do conjunto X em um número real no intervalo [0,1] 1.0 0 1,70 altura 0.5 1,80

33 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 33 Conjuntos Nebulosos - definição = Um conjunto nebuloso pode ser expresso por um conjunto ordenado de pares: Universo de Discurso Conjunto Nebuloso Função de Inclusão Valor

34 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 34 Tipos de Inclusão = Inclusão com grau: um elemento pertence a um conjunto com um determinado grau de certeza. Alguns elementos são mais representativos da idéia central do conjunto que outros –alunos excelentes={(Pedro,0.8), (Ana,0.9), (Paulo,0.9), (Marta,1.0)} –muito altos = {(Oscar,0.95), (Michael Jordan, 0.95), (Junior Baiano,0.8)}

35 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 35 Tipos de Inclusão = Inclusão em diversos conjuntos: um elemento pode ser membro parcial de mais de um conjunto –crianças={(Pedro,0.2), (Ana,1.0), (Paulo,0.75), (Marta,0.2)} –adolescentes = {(Pedro,0.8), (Mateus,0.3), (Joaquim,0.6)} –crianças(Pedro)=0.2 –adolescentes(Pedro)=0.8

36 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 36 Não é probabilidade! = Pertencer ao conjunto das pessoas altas, com um grau de inclusão de 0.25, indica afastamento da definição ideal de uma pessoa alta por uma distância de 0.75 = O grau 0.25 não significa que uma pessoa com esta altura possa ser encontrada com probabilidade 0.25 no conjunto das pessoas altas

37 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 37 Não é probabilidade! = Um líquido em uma garrafa tem 95% de probabilidade de ser veneno puro. = Se a garrafa escolhida for veneno …

38 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 38 Não é probabilidade! = Um líquido em uma garrafa pertence a conjunto das garrafas com água pura com grau 0.95, por exemplo, 5% de veneno na água = Veneno nesta concentração não mata, mas você irá passar muito mal. De qual garrafa você beberia?

39 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 39 Representando conjuntos nebulosos = Pares ordenados: um conjunto nebuloso pode ser representado por um par ordenado de pares, sendo que o primeiro elemento denota o elemento do conjunto e o segundo o seu grau de inclusão no conjunto Altos={(João=1.6, 0.0), (Ana=1.7,0.5), (Oscar=1.8,1.0)}

40 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 40 Representando Conjuntos Nebulosos = Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

41 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 41 Representando Conjuntos Nebulosos = Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1] 1.71.51.9 µ(x) altura Alturas médias 1.0

42 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 42 Função Singular = Função singular (singleton) quando 1

43 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 43 Função Clássica = Funções clássicas são empregadas para definição de conjuntos clássicos 1

44 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 44 Função Linear = Conjunto nebuloso dos mais simples

45 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 45 Função Trapezoidal e Triangular = Fáceis de implementar e permitem representar conjuntos complexos. Podem ser representadas por 4 valores (a, b, c, d) cbad

46 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 46 Função Trapezoidal e Triangular = Uma função trapezoidal pode ser especificada por 4 parâmetros (a, b, c, d). Triângulos, b=c

47 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 47 Função Sigmóide É definida usando-se três parâmetros: seu valor 0 de inclusão ( ), seu valor 1 de inclusão ( ) e o ponto de inflexão ( ), que é o ponto onde o valor da função de inclusão vale 0.5

48 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 48 Função Sigmóide 0 1

49 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 49 Função Beta É definida com dois parâmetros, o valor em torno do qual a curva é construída ( ) e um valor que indica a metade da largura da curva no ponto de inflexão ( )

50 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 50 Altura de conjunto nebuloso = A altura de um conjunto nebuloso A é definida como = Um conjunto é definido como normal se H A =1 e subnormal no caso contrário

51 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 51 Exemplo de Conjuntos

52 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 52 Exemplo de Conjuntos

53 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 53 Exemplo de Conjuntos

54 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 54 Exemplo de Conjuntos

55 Operações com Conjuntos Nebulosos

56 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 56 Sumário = Operações de Zadeh = Normas T = Normas S = Propriedades de Conjuntos Nebulosos = Entropia Nebulosa

57 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 57 Operacões de Zadeh = Lotfi Zadeh definiu funções para as operações básicas entre conjuntos nebulosos = Estas operações reduzem-se as operações booleanas quando utilizamos conjuntos nitidamente definidos.

58 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 58 Operação de União União: a função de inclusão U (x) da união dos conjuntos A e B (A B) é definida como

59 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 59 Operação de Interseção Interseção: a função de inclusão (x) da interseção dos conjuntos A e B (A B) é definida como

60 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 60 Operação de Complemento Complemento: a função de inclusão C (x) do complemento de um conjunto A é definida como

61 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 61 Leis de Aristóteles = Lei da não contradição: Estabelece que um elemento ou pertence a um conjunto ou ao seu complemento. = Como a interseção entre um conjunto e seu complemento pode não ser vazia temos o seguinte resultado

62 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 62 Interseção entre conjuntos adultosNão adultos

63 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 63 Leis de Aristóteles = Lei da exclusão do meio: Estabelece que a união de um conjunto ao seu complemento fornece o conjunto Universo = O resultado pode não ser o universo domínio

64 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 64 União entre conjuntos adultosNão adultos adultosNão adultos

65 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 65 Por que estes operadores? = Para conjuntos nitidamente definidos as operações básicas estão bem definidas, mas para conjuntos nebulosos esta definição é nebulosa = As operações com conjuntos nebulosos devem obedecer a um conjunto de regras que as generalizam e são chamadas de normas T e normas S = Normas T generalizam a operação de Interseção e Normas S as de união

66 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 66 Operação de Interseção = Qualquer função que seja empregada para representar interseção deve respeitar as Normas T = Normas T mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir = Sejam A (x), B (x), C (x) e D (x) quatro funções. Para facilitar vamos representá-las por a, b, c e d.

67 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 67 Normas T

68 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 68 Normas T - comentários = Pode ser provado que a operação de mínimo é uma norma T = A operação de produto também é uma norma T = Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas = Pode ser provado que para qualquer norma T temos

69 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 69 Operação de União = Qualquer função que seja empregada para representar união deve respeitar as Normas S = Normas S mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir = Sejam A (x), B (x), C (x) e D (x) quatro conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos chamá-los de a,b,c e d.

70 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 70 Normas S

71 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 71 Normas S - comentários = Pode ser provado que a operação de máximo é uma norma S = Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas = A operação de soma não satisfaz a norma S.1 e não pode ser usada = Pode ser provado que para qualquer norma S temos

72 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 72 Outro exemplo = T-norm – Algebraic Product: = S-norm - Algebraic Sum:

73 Regras Nebulosas

74 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 74 Regras Nebulosas = Incondicionais –x is A i –Economize Energia = Conditionais –If x is A i then y is C k –If x is A i and y is B k then z is C m –If x is A i or y is B k then z is C m •if x is A i then z is C m •if y is B k then z is C m

75 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 75 Base de Regras Nebulosas = If x is A 1 and y is B 1 then z is C u : R 11 = If x is A 1 and y is B 2 then z is C v : R 12 =... = If x is A 1 and y is B n then z is C x : R 1n = If x is A 2 and y is B 1 then z is C x : R 21 = If x is A 2 and y is B 2 then z is C y : R 22 =... = If x is A 2 and y is B n then z is C 1 : R 1n = If x is A m and y is B 1 then z is C x : R m1 =...

76 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 76 Consistência = Uma base é inconsistente se existem duas regras com os mesmos antecedentes e consequentes diferentes. = If x is A 1 and y is B 1 then z is C r : R 11 = If x is A 1 and y is B 1 then z is C v : R 12

77 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 77 Fuzificando

78 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 78 Avaliação dos Antecedentes (1) = If temp is hot (0.35) and humidity is humid (0.62) then time is medium : R 1 = If temp is hot (0.35) and humidity is normal (0.28) then time is long : R 2 = Usar um operador norma-t (p. ex. and) para avaliar os antecedentes = R1: 0.35 and 0.62 resulta 0.35 = R2: 0.35 and 0.28 resulta 0.28

79 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 79 Avaliação dos Antecedentes (2) = É possível que mais de uma regra aponte para o mesmo consequente com valores diferentes. = O valor calculado nos antecedentes é chamado de força da regra. = Pode-se usar a regra com força máxima (sobrevive o mais forte). = Ou somar as forças das regras (acumula evidências)

80 Inferência

81 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 81 Inferência = Inferência nebulosa é o processo de avaliar uma regra nebulosa da forma if x is A then y is B = Há dois métodos importantes de inferência –Modus ponens (MP) –Modo que afirma –Modus tollens (MT) – Modo que nega

82 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 82 Modus Ponens = If x is A then y is B = Sabemos que se x é A então podemos inferir que y is B = Todos os homens são mortais. = Todos os homens são mortais. (regra) = Socrates é um homem (isto é verdade) = Portanto Socrates é mortal (como conseqüência)

83 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 83 Modus Ponens Nebuloso = If x is A then y is B = Sabemos que x é A parcialmente verdade então podemos inferir que y is B parcialmente = Homens altos são pesados (regra) = João é alto (isto é parcialmente verdade) = Portanto João é parcialmente pesado (como conseqüência)

84 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 84 Como encontrar a resposta? = If x is A then y is B = If x is A, queremos saber como calcular se y is B = E quanto y é B

85 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 85 Métodos de Inferência

86 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 86 Resultado da Inferência

87 Defuzificação

88 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 88 Defuzificação = Inferência significa obter através de algum método conjuntos nebulosos para cada variável de saída. = Cada região de saída deve ser defuzificada para que tenhamos valores definidos. = Usar um valor definido para representar uma resposta nebulosa siginifica perder informação.

89 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 89 Métodos de Defuzificação A = Há vários métodos para defuzificar um conjunto nebuloso A. = A = A representa um agregado de conjuntos = Nos próximos exemplos vamos considerar que o método de corte foi usado.

90 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 90 Centróide da Area (1) = O ponto usado para representar a área é o centróide

91 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 91 Centróide da Area (2) = Os resultados tendem a se mover suavemente entre cálculos. = É relativamente simples. = Pode ser facilmente aplicado em conjuntos discretos.

92 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 92 Centroid Area (3)

93 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 93 Bissetor a Área (BOA) = Um linha vertical no ponto z separa a área de saída em duas regiões com a mesma área. = A coordenada de z é definida por = Onde =min{x | x A} e =min{x | x A}

94 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 94 Média dos Máximos (MOM) = O ponto z é a média dos pontos que em que a função é o máximo * = A coordenada da função é definida por = A={ z | A (z) = *}

95 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 95 Outras estratégias = Menor dos máximos = Maior dos máximos = Simples de usar = Introduzem erros.

96 Sistemas Nebulosos

97 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 97 Sistema Nebuloso Máquina de Inferência Gerenciamento dos Dados RegrasConjuntosOperadores Fuzificador Defuzificador

98 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 98 Passos = Defina entradas e saídas (variáveis) = Construa uma base de regras = Simule = Teste = Valide

99 Estacionando um Caminhão

100 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 100 Diagrama do problema Ponto Final(x f, y f ) x,y 0 <= x,y <= 100 -90 <= <= 270 -30 <= <= 30

101 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 101 Estacionar um caminhão = Variáveis de entrada –x,y: coordenadas do centro da trazeira do caminhão ângulo do caminhão com a horizontal = Variável de Saída : ângulo da roda com a reta que passa pelo meio do caminhão

102 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 102 Conjuntos Nebulosos - rótulos X RB R Below LE Left NB Neg Big RU R Upper LC L Center NM Neg Med RV Right Vert CE Center NS N Small VE Vertical RC R Center ZE Zero LV Left Vert RI Right PS P Small LU L Upper PM Pos Med LB L Below PB Pos Big

103 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 103 Funções de Inclusão - Entradas x x LELCCERIRC RBRUZELBLURVLV

104 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 104 Funções de Inclusão - Saídas NSZEPBPS NBPM

105 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 105 Mapa de Regras / x LELCCERCRI RBPSPM PB RUNSPSPMPB RVNMNSPSPMPB VENM ZEPM LVNBNMNSPSPM LUNB NMNSPS LBNB NM NS

106 SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 106 Equações do Movimento x = x + r cos( ) y = y + r sen( ) = + = r é a distância fixa que o caminhão anda a cada movimento x,y