Operações com Conjuntos Nebulosos

Apresentação em tema: "Operações com Conjuntos Nebulosos"— Transcrição da apresentação:

1 Operações com Conjuntos Nebulosos
Adriano Cruz ©2002 NCE e IM/UFRJ Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique, simplifique. Henry Thoureau

2 Sumário Operações de Zadeh Normas T Normas S
Propriedades de Conjuntos Nebulosos Entropia Nebulosa @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

3 Operacões de Zadeh Lofty Zadeh definiu funções para as operações básicas entre conjuntos nebulosos Estas operações reduzem-se as operações booleanas quando utilizamos conjuntos nitidamente definidos. @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

4 Operação de União União: a função de inclusão mU(x) da união dos conjuntos A e B (AB) é definida como @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

5 Operação de Interseção
Interseção: a função de inclusão m(x) da interseção dos conjuntos A e B (AB) é definida como @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

6 Operação de Complemento
Complemento: a função de inclusão mC(x) do complemento de um conjunto A é definida como @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

7 Por que estes operadores?
Para conjuntos nitidamente definidos as operações básicas estão bem definidas, mas para conjuntos nebulosos esta definição é nebulosa As operações com conjuntos nebulosos devem obedecer a um conjunto de regras que as generalizam e são chamadas de normas T e normas S Normas T generalizam a operação de Interseção e Normas S as de união @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

8 Operação de Interseção
Qualquer função que seja empregada para representar interseção deve respeitar as Normas T Normas T mapeiam [0,1]x[0,1]  [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro funções. Para facilitar vamos representá-las por a, b, c e d. @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

9 Normas T @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

10 Normas T - comentários Pode ser provado que a operação de mínimo é uma norma T A operação de produto também é uma norma T Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas Pode ser provado que para qualquer norma T temos @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

11 Mínimo, norma T? @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

12 Operação de União Qualquer função que seja empregada para representar união deve respeitar as Normas S Normas S mapeiam [0,1]x[0,1]  [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos chamá-los de a,b,c e d. @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

13 Normas S @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

14 Normas S - comentários Pode ser provado que a operação de máximo é uma norma S Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas A operação de soma não satisfaz a norma S.1 e não pode ser usada Pode ser provado que para qualquer norma S temos @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

15 Máximo, norma S? @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

16 Operação de soma limitada, norma S?
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17 Operação de soma limitada, norma S?
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18 Provar que T(a,b)<= min(a,b)
Outros testes Provar que T(a,b)<= min(a,b) @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

19 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm - Drastic Product: S-norm - Drastic Sum: @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

20 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm - Bounded Difference: S-norm - Drastic Sum: @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

21 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Einstein Product: S-norm - Einstein Sum: @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

22 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Algebraic Product: S-norm - Algebraic Sum: @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

23 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Hamacher Product: S-norm - Hamacher Sum: @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

24 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Dubois-Prade: S-norm – Dubois-Prade: Obs. p is a parameter that ranges from 0 to 1. @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

25 Dubois-Prade Operators
When p=1 Dubois-Prade T-norm becomes the Algebraic Product (xy) Dubois-Prade S-norm becomes the Algebraic Sum (x+y-xy) When p=0 Dubois-Prade T-norm becomes the min(xy) Dubois-Prade S-norm becomes the max(xy) @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

26 Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Yager: S-norm – Yager: Obs. p is a parameter that ranges from 0 to . @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

27 Yager Operators When p=1.0 When p->
Yager T-norm becomes the bounded difference (max(0,x+y-1)) Yager S-norm becomes the bounded sum (min(1,x+y)) When p-> Yager T-norm converges to min(x,y) Yager S-norm converges to max(x,y) @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

28 Propriedades de Conjuntos Nebulosos
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29 Propriedades de Conjuntos Nebulosos
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30 Verificando propriedades
Lembrar que e @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

31 Verificando propriedades
Vamos verificar a propriedade de Absorção @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

32 Verificando propriedades
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33 Verificando propriedades
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34 Leis de Aristóteles Lei da não contradição: Estabelece que um elemento ou pertence a um conjunto ou ao seu complemento. Como a interseção entre um conjunto e seu complemento pode não ser vazia temos o seguinte resultado @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

35 Leis de Aristóteles Lei da exclusão do meio: Estabelece que a união de um conjunto ao seu complemento fornece o conjunto Universo O resultado pode não ser o universo domínio @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

36 Interseção entre conjuntos
Não adultos adultos @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

37 Entropia Nebulosa A entropia de um conjunto é definida pela fórmula
c refere-se a uma contagem (adição ou integração) sobre o suporte do conjunto. Observar que para um conjunto nítido o numerador é sempre 0 e a entropia de um conjunto nítido é sempre igual a 0. @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

38 Entropia Nebulosa A entropia dos conjunto dos adultos é igual a
Não adultos 1 10 20 30 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ