Artigo: The dynamic berth allocation problem for a container port Akio Imai, Etsuko Nishimura, Stratos Papadimitriou, 1.999 Analisando a formulação relaxada.

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1 Artigo: The dynamic berth allocation problem for a container port Akio Imai, Etsuko Nishimura, Stratos Papadimitriou, 1.999 Analisando a formulação relaxada para o sistema dinâmico de alocação de berços

2 A formulação do DBAP é do tipo MIP e não pode ser resolvida em tempo polinomial. Assim, poderia ser resolvida pela técnica branch-and-bound (uma das mais utilizadas para encontrar a solução ótima de problemas de otimização NP-difíceis), porém consome muito tempo computacional; Assim, os autores deste artigo desenvolveram uma heurística utilizando a Relaxação Lagrangeana, com o método de otimização do subgradiente; Cujo ganho no tempo computacional para grandes escalas é notável (LORENA et. al).

3 Condições de Otimalidade Relaxações podem ser obtidas por meio: da desconsideração de algumas restrições; da desconsideração das das restrições de integralidade e da, da simplificação do problema.

4 Relaxação Lagrangeana Held & Karp em 1970 utilizaram um método Lagrangeano para resolver o problema do caixeiro viajante, foram precursores do uso deste método; Somente em 1974 Geoffrion firmou o nome perfeito para esta abordagem - Relaxação Lagrangeana (Fisher, 1981); O problema Lagrangeano consiste na dualização das restrições difíceis, com o acréscimo destas à função objetivo através de um vetor de multiplicadores, chamados de multiplicadores de Lagrange, sendo eliminadas em seguida do conjunto de restrições (www.deps.ufsc.br/~mayerle);www.deps.ufsc.br/~mayerle Uma relaxação Lagrangeana de um dado problema é obtida multiplicando o conjunto de restrições Ax b por um vetor u de multiplicadores de Lagrange de sinal apropriado, adicionando-se o produto à função objetivo (Espejo et. al.2002); A escolha das restrições a serem relaxadas pode afetar tanto o valor da solução ótima do dual da relaxação quanto o esforço computacional requerido para avaliar e atualizar a função dual durante o processo de solução do mesmo (Espejo, 2002).

5 Exemplificando: 1.Inicia-se com um problema de otimização combinatória formulado como um problema de programação inteira. Z= min cx Sujeito à: Ax = b,(1) Dx<=e(2) x>= 0 e inteiro,(3) 2.Relaxa-se a restrição (1) para tornar o problema mais fácil de ser resolvido. ZD(u) = min cx + u(Ax – b) Sujeito à: Dx<=e x>= 0 e inteiro Onde u = {u1,...,u m } é o vetor de multiplicadores de Lagrange (Fisher, 1981)

6 Se a restrição for do tipo Ax = 0; Se for do tipo Ax >= b, então u <= 0; POR QUÊ? Para garantir que ZD(u) <= Z, onde sua solução ótima será um limitante inferior do valor da solução também ótima, mas do problema original de minimização (Bramel et. al, 1997) Outro exemplo (Fisher, 1981)

7 O problema crítico no uso efetivo das relaxações é a derivação de um bom conjunto de multiplicadores para os problemas duais correspondentes (Espejo, 2002); Dentre várias maneiras de se buscar o melhor valor para o multiplicador, o que mais se destaca é o método do subgradiente, que é uma adaptação do método do gradiente, no qual os gradientes são substituídos por subgradientes; Dado um valor inicial u 0 uma sequência de {u k } é expressa por: u k+1 = u k + t k (Ax k – b) Onde x k é a solução ótima do problema ZD(u) e t k é um escalar positivo que indica o tamanho do passo.

8 Observa-se que a cada passo desloca-se na direção do gradiente, no entanto, somente o movimento na direção do subgradiente de u não assegura o aumento na função Z; Conforme sugere Polyak in Bramel (1997) é preciso dispor de passos com valores (tamanhos) pré-determinados tk que farão com que a sequência ZD(u)) venha a convergir para a solução ótima; De acordo com Fisher (1981), ZD(u) Z se t k 0 ; A escolha do passo tk mais utilizada é: Onde λ k é um escalar que satisfaz 0 < λ k <=2 e Z* é uma estimativa de limite superior por aproximação de ZD que corresponde a melhor solução obtida nos estágios iniciais de computação; Pode-se apontar que a escolha do tamanho do passo é uma área que não é perfeitamente compreendida na atualidade (www.deps.ufsc.br/~mayerle).www.deps.ufsc.br/~mayerle

9 Relaxação Lagrangeana para o DBAP

10 Sujeito à: Cada navio deve ser atendido por um berço em uma seqüência de atendimento. Cada berço atende um navio por vez.

11 Referências Bibliográficas BRAMEL, J. & SIMCHI-LEVI, D. in The Logic of logistics: theory, algorithms, and applications for logistics management, Ed. Springer-Verlag, Nova Iorque, 1997. ESPEJO, L. G. A., GALVÃO R. D. O uso das relaxações Lagrangeana e Surrogate em problemas de programação inteira. Pesquisa Operacional, v.22, n.3, p.387-402, julho a dezembro de 2002; FISHER, M. L. The Lagrangian relaxation method for solving integer programming problems. Management Science 27, 1-18, 1.981; LORENA, L. A. N., SENNE, E. L. F. Improving traditional subgradient scheme for Lagrangean relaxation: an application to location problems; Relaxação Lagrangeana, em www.deps.ufsc.br/~mayerle, acesso em 19/10/2006;www.deps.ufsc.br/~mayerle