Sistemas Lineares.

Apresentação em tema: "Sistemas Lineares."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas Lineares

2 Equação linear Equação linear é toda equação da forma:
a11x1 + a12x2+ a13x a1nxn = b1 em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1, x2,x3, ... , xn, são as incógnitas; e b1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

3 Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,...,rn) é solução da equação linear a11x1 + a12x2+ a13x a1nxn = b1 se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é: a11r1 + a12r2+ a13r a1nrn = b1

4 Sistema linear Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.  A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

5 Matrizes associadas a um sistema linear
matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema

6 Matrizes associadas a um sistema linear
matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.

7 Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
SPD: sistema possível e determinado (solução única) SPI: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) SI: sistema impossível (não tem solução)

8 Sistema normal Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é normal.

9 Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

10 Regra de Cramer Exemplo:

11 Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: SPD SPI SI

12 Discussão de um sistema linear
a) possível e determinado, se D = det A≠ 0; caso em que a solução é única.

13 Discussão de um sistema linear
b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n ≥3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

14 Discussão de um sistema linear
Exemplo: D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

15 Discussão de um sistema linear
c) impossível, se D=0 e existe Dxi ≠ 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em que o sistema não tem solução. Como D=0 e Dx ≠ 0,  o sistema é impossível e não apresenta solução

16 Referências Bibliográficas