O Teorema de Pitágoras é de Pitágoras? Professor João Lucas M. Barbosa Sobre as origens da Geometria e suas aplicações mais antigas.

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1 O Teorema de Pitágoras é de Pitágoras? Professor João Lucas M. Barbosa Sobre as origens da Geometria e suas aplicações mais antigas

2 O homem no período Paleolítico 15000 ac –Comportamento nômade, vivendo da caça e pesca –Tecnologia - Produzia armas para a caça e pesca. –Arte – Pinturas rupestres, registrando o mundo ao seu redor –Grandes avanços – Desenvolvimento da linguagem

3 O homem no período Neolítico 10000 ac –Descoberta e prática da Agricultura com suas conseqüências: Criação da casa, vida cada vez menos gregária Criação dos povoados –Tecnologia Criação da carpintaria Trabalho em cerâmica Trabalho em metais Invenção da roda Culinária – pão e cerveja

4 O homem no período Neolítico Ciência –Criação da escrita dos números –Noção de reta e de ângulo reto, usados em construções e na expressão artística –Astronomia Arte –Desenhos geométricos abstratos Comercio entre as vilas

5 Evolução seguinte 5000 – 3000 ac – nas margens do delta de grandes rios: Nilo, Tigre, Eufrates, Indu-Ganges, Huang-Ho e Yang-Tse –Evolução das vilas em cidades e das comunidades em povos e civilizações –Estruturação das classes sociais – Fazendeiros, artesãos, escribas, militares, religiosos, escravos, aristocratas, família real. –Agricultura extensiva, administração da produção e dos estoques, –Administração dos recursos hídricos e das terras férteis. –Introdução do arado, demarcação de terras –Desenvolvimento do comercio entre vilas e cidades –Construção de palácios, templos, túmulos, monumentos, canais, e etc.

6 EGITO

7 Civilização Egípcia 5 o 4 o e 3 o milênios a.C. Conhecimento de fórmulas para calcular: Área de um triângulo, área do retângulo. de um círculo d d  diâmetro do círculo Área do círculo  (d - (d/9)) 2  Volumes de sólidos como o cubo, o paralelepípedo, o cilindro circular reto, a pirâmide e o tronco de pirâmide

8 a h Civilização Egípcia Volume da pirâmide de base quadrada

9 Civilização Egípcia Volume do tronco de pirâmide de base quadrada A B h a b Cálculo do Volume do tronco da pirâmide de base quadrada. Ab = Ba Ab 2 = Bab Ba 2 = Aab V = Aa 2 /3 – Bb 2 /3 = (h + B) a 2 /3 – (A - h)b 2 /3 = (ha 2 + hb 2 + Ba 2 – Ab 2 )/3 = (ha 2 + hb 2 + Aab – Bab)/3 = (ha 2 + hb 2 + (A – B)ab)/3 = (ha 2 + hb 2 + hab)/3

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12 Civilização Egípcia Conhecimento do Teorema de Pitágoras Conheciam um número razoável de triângulos retângulos de lados inteiros e os utilizavam para determinar ângulos retos 3 4 5

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14 Sobre a pirâmide de Quéops Mais de 2.300.000 blocos de granito Cada pedra pesa em média 2,5 toneladas Altura original 140m (49 andares) Base de 230m x 230m Originalmente coberta por placas de mármore trabalhadas e pintadas O erro entre as medidas dos lados e das arestas é de menos de 2cm O erro na medida dos ângulos da base é de menos de 0,1 de grau.

15 MESOPOTÂMIA SUMÉRIOS E BABILÔNIOS

16 Civilização Suméria 2 o milênio a.C. –Os Sumérios absorveram o conhecimento matemático dos egípcios. –Desenvolveram um sistema de numeração em que os algarismos têm um valor de posição. –A base desta numeração era 60. Exemplo: 563 = 5  60 2 + 6  60 + 3. –Criaram a unidade de medida de ângulos: o grau.

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18 Civilização Babilônica 2 o e 1 o milênio a.C. –Os babilônios absorveram o conhecimento matemático dos sumérios. –Desenvolveram fórmulas para áreas de polígonos regulares e para o volume de sólidos simples. –A fórmula do volume do tronco de pirâmide era desconhecida. –O Teorema de Pitágoras era conhecido em sua generalidade atual. Foi gerada uma longa lista de triângulos retângulos de lados inteiros.

19 Civilização Babilônica 2 o e 1 o milênio a.C. Os babilônios desenvolveram a Álgebra elementar utilizando a linguagem da Geometria. Exemplo: “Uma área A consistindo da soma de dois quadrados é 1000. O lado de um dos quadrados é 2/3 do lado do outro diminuído de 10. Quais são os lados dos quadrados? ” x 2 + y 2 = 1000 y = (2/3)x – 10 (13/9)x 2 – (40/3)x – 900 = 0 A resolução deste problema equivale a { ou seja: o que fornece x = 30. Segue-se que y=10.

20 Fotografia de um tablete de argila (AO 8862) que aparece no “Revue d´Assyriologie” (1932) cujo texto é um problema do tipo apresentado na transparência anterior.

21 Observação: Em nenhum registro da matemática oriental antiga foi encontrado qualquer indício de uma demonstração. A matemática dos egípcios, assírios e babilônios tinha origem em problemas práticos e respondia a questões do tipo “como....?”.

22 GRECIA Alexandria

23 Civilização Grega 900 a 300 a.C. Os gregos desenvolveram a matemática que responde a perguntas do tipo “por que...?” O objetivo era o entendimento do mundo e da posição do homem no universo.

24 Civilização Grega Informação da tradição grega: O pai da matemática grega foi Tales de Mileto. –Ele visitou a babilônia e o Egito e lá aprendeu os conhecimentos antigos. –Predisse o eclipse solar de 585 a.C., e –Provou um grande número de teoremas. Tales é uma figura lendária.

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26 Civilização Grega 500 a 400 a.C. Os sofistas Eles desenvolveram a geometria axiomática e já trataram dos três grandes problemas da antiguidade: a tri-secção do ângulo, a duplicação do cubo e a quadratura do círculo.

27 Civilização Grega 500 a 400 a.C. Pitágoras fundou um movimento político- religioso – o Pitagorismo. Morreu em 490 a.C. Os pitagóricos desenvolveram a Teoria dos Números e a Teoria Musical, e descobriram que  2 não é um número racional.

28 onde m e n representam números inteiros primos entre si. Prova de que  2 não é racional Suponha que sim, ou seja, que  2 = m n Segue-se que 2n 2 = m 2 Decorre daí que m 2 é par, e portanto m é par. Logo m = 2p onde p é um inteiro. Mas então 2n 2 = 4p 2 e, portanto, n 2 = 2p 2 Logo n 2 é par e, conseqüentemente, n é par. Mas então m e n não são primos entre si. Contradição!

29 Prova do Teorema de Pitágoras b b b b a a a a c c c c (b + c) 2 = 2bc + a 2 b 2 + 2bc + c 2 = 2bc + a 2 b 2 + c 2 = a 2

30 Civilização Grega –Ptolomeu I criou o Museo de Alexandria, com sua biblioteca – a primeira universidade – 306 a 283 a.C. –Ali surgiu a figura do cientista profissional. Euclides foi um dos primeiros. Sua principal obra intitula-se “Elementos”, composto de 13 livros, trabalho que se tornou um clássico. É o livro mais publicado depois da Bíblia. –Os Elementos apresentam 3 das grandes descobertas da Matemática Grega: a teoria das proporções de Eudoxio, a teoria dos irracionais, e a teoria dos 5 corpos regulares de Platão.

31 Acrópole, Atenas, Grécia Mas, afinal, o teorema de Pitágoras é mesmo de Pitágoras??

32 Biblioteca Alexandrina (Atual)

33 Reflexões No mundo atual ainda convivem as concepções de ciência dos povos orientais e dos gregos. O ensino da Matemática oscila entre tentar responder a questões do tipo “como?” e questões do tipo “por que?”. A cobrança sobre os que se dedicam à matemática também oscila de acordo com a concepção dos objetivos da ciência dos que nos governam.

34 f im Muito obrigado

35 Bibliografia Dirk J. Struik, A concise history of Mathematics, Dover Publications inc., 1967 G. Sarton, The study of the history of mathematics, MAA 1949, Dover 1936 L. Bunt, P. Jones, J. Bedient, The historical roots of elementary mathematics, Dover Publications, 1988

36 Civilização Grega 287-212 a.C. Arquimedes nasceu em Siracusa, na Sicília, onde foi íntimo do Rei. Cientista puro e aplicado, fez inúmeros inventos e profundas descobertas científicas.

37 Civilização Grega 287-212 a.C. Contribuições de Arquimedes: –O princípio da alavanca –O princípio básico da hidrostática –O parafuso de Arquimedes – destinado a elevação de água –Espelhos parabólicos com armas de guerra. –Determinação da área sob um arco de parábola –Desenvolvimento da mecânica teórica –Estimativa das dimensões do universo.