Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier

Apresentação em tema: "Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier"— Transcrição da apresentação:

1 Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier
Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

2 Separabilidade Lembrando o par de Transformadas de Fourier

3 Separabilidade Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:

4 Separabilidade Expandindo e arrumando:

5 Separabilidade Da mesma forma, para a transformada inversa:

6 Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

7 Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

8 Translação Um “problema” para visualizar o espectro de Fourier de
Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0

9 Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização
Pode ficar comprometida f(x,y) |F(u,v)|

10 Translação No entanto, pode-se provar que, para constantes u0, v0, x0, y0: e

11 Translação Mas, quando M = N e u0 = v0 = N/2 :
Substituindo (2) em (1), concluímos que:

12 Translação Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11:
Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y

13 Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização
é melhor claramente melhor |F(u,v)| sem Shift f(x,y) |F(u,v)| com Shift

14 Periodicidade e Simetria Conjugada
A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:

15 Rotação Se introduzirmos coordenadas polares:
Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:

16 Rotação Exemplo de Rotação

17 Distributividade Uma vez que:
A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO Mas ... A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO

18 Escala Para dois escalares a e b

19 Valor Médio

20 Valor Médio

21 Resultados da Transformada de Fourier

22 Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x) a x b

23 Transformada da função box
f(x) a x b F(w)  1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w

24 Distribuição normal: Gaussiana

25 Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

26 Transformada do Delta de Dirac
f(x) (x) x || F(w) || w 1

27 Pares importantes

28 Propriedades da transformada

29 Descritores de Fourier

30 Descritores de Fourier

31 Descritores de Fourier