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Estado Final Único para NFAs e DFAs
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Observação Todo Autômato Finito (NFA ou DFA)
pode ser convertido em um NFA equivalente com um único estado final
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Exemplo NFA NFA Equivalente
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Em Geral NFA NFA Equivalente Estado final único
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Caso Extremo NFA sem estado final Adicione um estado
final sem transições
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Algumas Propriedades de Linguagens Regulares
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Propriedades Para linguagens regulares e vamos provar que: União:
São Linguagens Regulares Concatenação: Star:
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Dizemos: Linguagens Regulares são fechadas sob União: Concatenação:
Star:
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Linguagem Regular Estado final único Linguagem Regular NFA Estado final único NFA
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Exemplo
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União NFA para
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Exemplo NFA para
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Concatenação NFA para
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Exemplo NFA for
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Operação Star NFA para
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Exemplo NFA para
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Expressões Regulares
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Expressões Regulares Expressões Regulares
descrevem linguagens regulares Exemplo: descreve a linguagem
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Definição Recursiva Expressões regulares primitivas :
Dadas expressões regulares e São expressões regulares precedência dos operadores maior menor
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Exemplos Uma expressão regular: Não é uma expressão regular :
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Linguagem de uma Expressão Regular
: linguagem da expressão regular Exemplo
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Definição Para expressões regulares primitivas:
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Definição (continuação)
Para expressões regulares e
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Exemplo Expressão Regular
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Exemplo Expressão Regular
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Exemplo Expressão Regular
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Exemplo Expressão Regular = { todos os strings com pelo menos
dois 0s consecutivos }
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Exemplo Expressão Regular = {todos os strings sem
dois 0s consecutivos }
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Expressões Regulares Equivalentes
Definição: Expressões regulares e são equivalentes se
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Exemplo = { todos os strings sem dois 0s consecutivos } e
são expr. regulares equivalentes
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Expressões Regulares e Linguagens Regulares
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Teorema Linguagens Geradas por Expr. Regulares Linguagens Regulares
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1. Para cada expressão regular
Teorema – Parte 1 Linguagens Geradas por Expr. Regulares Linguagens Regulares 1. Para cada expressão regular a linguagem é regular
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2. Para cada linguagem regular existe
Teorema - Parte 2 Linguagens Geradas por Expr. Regulares Linguagens Regulares 2. Para cada linguagem regular existe uma expressão regular com
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1. Para cada expressão regular
Prova - Parte 1 1. Para cada expressão regular a linguagem é regular Prova por indução no comprimento de
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Base da Indução Expressões Regulares Primitivas: NFAs linguagens
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Hipótese de Indução Suponha para expressões regulares e que
e são linguagens regulares
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Passo Inductivo Vamos provar: São linguagens regulares
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Pela definição de expressões regulares :
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Pela hipótese de indução temos:
e são linguagens regulares Linguagens regulares são fechadas sob união concatenação star Também sabemos:
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Portanto: São linguagens regulares
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E trivialmente: é uma linguagem regular
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2. Para cada linguagem regular existe
Prova – Parte 2 2. Para cada linguagem regular existe uma expressão regular com Prova por construção da expressão regular
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Como é regular, considere um
NFA que a aceita Estado final único
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De construímos o equivalente Grafo de Transição Generalizado GNFA
rótulos de transições são expressões regulares Exemplo:
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Outro Exemplo:
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Reduzindo os estados:
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Expressão Regular resultante :
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Em Geral Removendo estados:
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Obtendo a expressão regular final:
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