Strings, Linguagens, Autômatos

Apresentação em tema: "Strings, Linguagens, Autômatos"— Transcrição da apresentação:

1 Strings, Linguagens, Autômatos
BCC244 Strings, Linguagens, Autômatos

2 Agenda Hoje Para a próxima aula: Strings Linguagens
Autômato Finito Determinista Para a próxima aula: Leia até antes do Cap. 1.2 (Sipser)

3 Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: Um alfabeto S é um conjunto finito de símbolos (caracteres, letras). Um string (ou palavra) sobre S é uma sequência finita de símbolos. O string vazio é um string que não contém nenhum símbolo, e é denotado por e.

4 Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: O comprimento de um string é o número de símbolos que ele contém (repetições são permitidas). EX: Os comprimentos dos strings (QDD, DQD, DDQ, QQQQDD) são: 3, 3, 3, 6 Q: Qual é o comprimento de e ?

5 Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: Dados os strings u e v, denotamos sua concatenação por uv, ou simplesmente uv. EX: aba  cate = abacate, QQDD = QQDD, Q1: Defina concatenação recursivamente. Q2: Obtenha uma fórmula para |u v |.

6 Alfabetos, Strings, Linguagens
R1: ev = v a:u v = a:(u v) R2: |u v | = |u |+|v |

7 Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: reverso de um string u é denotado por u R. EX: (banana)R = ananab DEF: S* denota o conjunto de todos os strings sobre o alfabeto S. Uma linguagem sobre S é um subconjunto de S*, i.e. um conjunto de strings, sendo cada um uma sequência de símbolos de S.

8 Alfabetos, Strings, Linguagens
EX: S = { D, Q } S* = {e, D, Q, DD, DQ, QD, QQ, DDD, DDQ, DQD, DQQ, QDD, QDQ, QQD, QQQ, DDDD, DDDQ, … }

9 Operações Regulares – Tabela Resumo
Operação Simbolo Versão UNIX Significado União  | casa um dos padrões Concatenação  implicito em UNIX casa os padrões em sequencia Kleene-star * casa o padrão 0 ou mais vezes Kleene-plus + casa o padrão 1 ou mais vezes

10 Operações Regulares - Concatenação
Seja: L = {aardvark, bobcat, chimpanzee} Q: Qual é a linguagem resultante de concatenar L com ela própria: LL ?

11 Operações Regulares - Concatenação
A: LL = {aardvark, bobcat, chimpanzee}{aardvark, bobcat, chimpanzee} = {aardvarkaardvark, aardvarkbobcat, aardvarkchimpanzee, bobcataardvark, bobcatbobcat, bobcatchimpanzee, chimpanzeeaardvark, chimpanzeebobcat, chimpanzeechimpanzee} Q1: O que é L{e} ? Q2: O que é LØ ?

12 Algebra de Linguagens A1: L{e} = L.
De modo geral, {e} é a identidade da “algebra” de linguagens. I.e., se pensarmos na concatenação como sendo multiplicação, {e} age como o número 1. A2: LØ = Ø. Dualmente a {e}, Ø age como o número zero, obliterando qq string com o qual é concatenado. Nota: Na analogia entre números e linguagens, a adição corresponde à união e a multiplicação corresponde à concatenação, formando assim uma “algebra”.

13 Operações Regulares – Kleene-*
Computabilidade: Considere a linguagem B = { ba, na } Q: Qual é a linguagem B * ?

14 Operações Regulares – Kleene-*
B * = { ba, na }*= { e, ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }

15 Operações Regulares – Kleene-+
Kleene-+ é tal como Kleene-* exceto que o padrão deve ocorrer pelo menos uma vez. B+ = { ba, na }+= { ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }

16 Linguagens Regulares DEF: Linguagens regulares são aquelas que podem ser geradas a partir de linguagens finitas pela aplicação de operações regulares. Q: Podemos começar a partir de linguagens ainda mais básicas que linguagens finitas arbitrárias?

17 L = (B A N A N A)  (N A B )
Linguagens Regulares R: Sim. Podemos começar com linguagens que consistem de um único string, os quais consistem de um único caractere. Essas são chamadas linguagens regulares “atômicas”. EX: Para gerar a linguagem finita L = { banana, nab } Podemos começar com as linguagens atômicas A = {a}, B = {b}, N = {n}. Então podemos expressar L como: L = (B A N A N A)  (N A B )

18 Exemplos de Linguagens
Números primos unários: { 11, 111, 11111, , , … } = {12, 13, 15, 17, 111, 113, … } = { 1p | p é um número primo } Quadrados unários: {, 1, 14, 19, 116, 125, 136, … } = { 1n | n é um quadrado perfeito } Strings de bits que são palíndromos: {, 0, 1, 00, 11, 000, 010, 101, 111, …} = {x  {0,1}* | x = xR } Veremos mais adiante de que classe são essas linguagens.

19 Exercícios Recomendados
Sipser pag. 26: 2, 3

20 Autômato Finito Determinista
círculo duplo denota aceita esta seta denota inicio 1 1 1 entrada em fita lida da esquerda p/ direita 1

21 Autômato Finito Determinista
1 1 1 1

22 Autômato Finito Determinista
1 1 1 1

23 Autômato Finito Determinista
1 1 1 1

24 Autômato Finito Determinista
1 1 1 1

25 Autômato Finito Determinista
1 1 1 1

26 Autômato Finito Determinista
1 1 1 1 REJEITA!

27 Autômato Finito Determinista
1 1 1 Q: Que tipos de bitstrings são aceitos?

28 Autômato Finito Determinista
1 1 1 R: Bitstrings que representam números binários pares.

29 Autômato Finito Determinista
Exercicio: Projete uma máquina que determina quando um string de entrada é um número na base-10 divisível por 3 Qual deve ser o alfabeto? Como você pode determinar se um número é divisível por 3?

30 Autômato Finito Determinista
0,3,6,9 Solução: 1 mod 3 1,4,7 0 mod 3 2,5,8 1,4,7 2,5,8 2,5,8 0,3,6,9 2 mod 3 1,4,7 0,3,6,9

31 Definição Formal de FA DEF: Um autômato finito (determinista) (FA) consiste de um conjunto de estados Q, um alfabeto S, transições rotuladas entre estados d, um estado inicial q0 Q, e um conjunto de estados de aceitação F. M = (Q, S, d, q0, F ) É necessária explicação adicional para entender como um FA interage com a sua entrada.

32 Porque Determinista? Determinista significa que existe informação suficiente para sempre determinar qual é o próximo estado para o qual vai o autômato, ao ler um dado símbolo.

33 0,3,6,9 0 mod 3 1,4,7 1 mod 3 2,5,8 0,3,6,9 2,5,8 2,5,8 1,4,7 1,4,7 Exercicio: Obtenha a descrição formal deste autômato. 2 mod 3 0,3,6,9

34 Definição de FA, exemplo
Q = { 0 mod 3, 1 mod 3, 2 mod 3 } ( renomeie: {q0, q1, q2} ) S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } q0 = 0 mod 3 F = { 0 mod 3 } d – requer explicação adicional

35 A função de transição d Determina o estado para o qual vai o autômato, dado o estado corrente e o símbolo corrente na entrada. I.e., dado um estado q Q e um símbolo a  S, d define um único estado alvo q’Q. Em outras palavras, d é uma função do produto Cartesiano Q x S em Q :

36 A função de transição d

37 A função de transição d Usualmente a função de transição não
tem uma definição tal como nesse caso, dada por uma fórmula simples.

38 Definição Formal de FA: Dinâmica
Como um FA opera sobre um string? Existe implicitamente a noção de uma fita que contém o string. O FA lê a fita da esquerda para a direita e cada caractere faz com que o autômato vá para um novo estado, definido pela função d. Quando o string é lido completamente, ele é aceito ou não, conforme o estado final do FA seja ou não um estado de aceitação.

39 Definição Formal de FA: Dinâmica
DEF: Um string u é aceito por um autômato se o caminho rotulado por u, a partir do estado inicial q0, termina em um estado de aceitação. Nota: Para definir precisamente o que significa um caminho rotulado por um string, aplicamos d repetidamente à sequência de caracteres de u, guardando a sequência de estados correspondente. Veja Sipser para maiores detalhes.

40 Linguagem aceita por um FA
DEF: A linguagem aceita por um FA M é o conjunto de todos os strings que são aceitos por M e é denotada por L (M ). Intuitivamente, pense em todos os possíveis caminhos que levam do estado inicial a um estado de aceitação do autômato. Então pense em todas as possíveis maneiras de rotular esses caminhos (caso existam múltiplos rótulos em algumas setas).

41 Linguagens Regulares Veremos mais adiante que nem toda linguagem pode ser descrita como uma linguagem aceita por um FA. Uma linguagem que é aceita por algum FA exibe um alto grau de regularidade. THM: Toda linguagem L para a qual existe um FA M tal que L = L (M ) é uma linguagem regular

42 Exercício Defina um FA que aceita a linguagem L sobre o alfabeto {0,1} cujos strings começam com 0 e terminam com 10 ou com 11 Exercícios para a próxima aula: Sipser 1, 2, 4

43 Exercícios Recomendados
Sipser pags 83, 84: 1, 2, 3 e 4