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Strings, Linguagens, Autômatos
BCC244 Strings, Linguagens, Autômatos
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Agenda Hoje Para a próxima aula: Strings Linguagens
Autômato Finito Determinista Para a próxima aula: Leia até antes do Cap. 1.2 (Sipser)
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Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: Um alfabeto S é um conjunto finito de símbolos (caracteres, letras). Um string (ou palavra) sobre S é uma sequência finita de símbolos. O string vazio é um string que não contém nenhum símbolo, e é denotado por e.
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Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: O comprimento de um string é o número de símbolos que ele contém (repetições são permitidas). EX: Os comprimentos dos strings (QDD, DQD, DDQ, QQQQDD) são: 3, 3, 3, 6 Q: Qual é o comprimento de e ?
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Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: Dados os strings u e v, denotamos sua concatenação por uv, ou simplesmente uv. EX: aba cate = abacate, QQDD = QQDD, Q1: Defina concatenação recursivamente. Q2: Obtenha uma fórmula para |u v |.
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Alfabetos, Strings, Linguagens
R1: ev = v a:u v = a:(u v) R2: |u v | = |u |+|v |
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Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: reverso de um string u é denotado por u R. EX: (banana)R = ananab DEF: S* denota o conjunto de todos os strings sobre o alfabeto S. Uma linguagem sobre S é um subconjunto de S*, i.e. um conjunto de strings, sendo cada um uma sequência de símbolos de S.
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Alfabetos, Strings, Linguagens
EX: S = { D, Q } S* = {e, D, Q, DD, DQ, QD, QQ, DDD, DDQ, DQD, DQQ, QDD, QDQ, QQD, QQQ, DDDD, DDDQ, … }
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Operações Regulares – Tabela Resumo
Operação Simbolo Versão UNIX Significado União | casa um dos padrões Concatenação implicito em UNIX casa os padrões em sequencia Kleene-star * casa o padrão 0 ou mais vezes Kleene-plus + casa o padrão 1 ou mais vezes
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Operações Regulares - Concatenação
Seja: L = {aardvark, bobcat, chimpanzee} Q: Qual é a linguagem resultante de concatenar L com ela própria: LL ?
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Operações Regulares - Concatenação
A: LL = {aardvark, bobcat, chimpanzee}{aardvark, bobcat, chimpanzee} = {aardvarkaardvark, aardvarkbobcat, aardvarkchimpanzee, bobcataardvark, bobcatbobcat, bobcatchimpanzee, chimpanzeeaardvark, chimpanzeebobcat, chimpanzeechimpanzee} Q1: O que é L{e} ? Q2: O que é LØ ?
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Algebra de Linguagens A1: L{e} = L.
De modo geral, {e} é a identidade da “algebra” de linguagens. I.e., se pensarmos na concatenação como sendo multiplicação, {e} age como o número 1. A2: LØ = Ø. Dualmente a {e}, Ø age como o número zero, obliterando qq string com o qual é concatenado. Nota: Na analogia entre números e linguagens, a adição corresponde à união e a multiplicação corresponde à concatenação, formando assim uma “algebra”.
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Operações Regulares – Kleene-*
Computabilidade: Considere a linguagem B = { ba, na } Q: Qual é a linguagem B * ?
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Operações Regulares – Kleene-*
B * = { ba, na }*= { e, ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }
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Operações Regulares – Kleene-+
Kleene-+ é tal como Kleene-* exceto que o padrão deve ocorrer pelo menos uma vez. B+ = { ba, na }+= { ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }
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Linguagens Regulares DEF: Linguagens regulares são aquelas que podem ser geradas a partir de linguagens finitas pela aplicação de operações regulares. Q: Podemos começar a partir de linguagens ainda mais básicas que linguagens finitas arbitrárias?
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L = (B A N A N A) (N A B )
Linguagens Regulares R: Sim. Podemos começar com linguagens que consistem de um único string, os quais consistem de um único caractere. Essas são chamadas linguagens regulares “atômicas”. EX: Para gerar a linguagem finita L = { banana, nab } Podemos começar com as linguagens atômicas A = {a}, B = {b}, N = {n}. Então podemos expressar L como: L = (B A N A N A) (N A B )
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Exemplos de Linguagens
Números primos unários: { 11, 111, 11111, , , … } = {12, 13, 15, 17, 111, 113, … } = { 1p | p é um número primo } Quadrados unários: {, 1, 14, 19, 116, 125, 136, … } = { 1n | n é um quadrado perfeito } Strings de bits que são palíndromos: {, 0, 1, 00, 11, 000, 010, 101, 111, …} = {x {0,1}* | x = xR } Veremos mais adiante de que classe são essas linguagens.
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Exercícios Recomendados
Sipser pag. 26: 2, 3
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Autômato Finito Determinista
círculo duplo denota aceita esta seta denota inicio 1 1 1 entrada em fita lida da esquerda p/ direita 1
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 1
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 1
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 1
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 1
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 1
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 1 REJEITA!
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 Q: Que tipos de bitstrings são aceitos?
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Autômato Finito Determinista
1 1 1 R: Bitstrings que representam números binários pares.
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Autômato Finito Determinista
Exercicio: Projete uma máquina que determina quando um string de entrada é um número na base-10 divisível por 3 Qual deve ser o alfabeto? Como você pode determinar se um número é divisível por 3?
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Autômato Finito Determinista
0,3,6,9 Solução: 1 mod 3 1,4,7 0 mod 3 2,5,8 1,4,7 2,5,8 2,5,8 0,3,6,9 2 mod 3 1,4,7 0,3,6,9
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Definição Formal de FA DEF: Um autômato finito (determinista) (FA) consiste de um conjunto de estados Q, um alfabeto S, transições rotuladas entre estados d, um estado inicial q0 Q, e um conjunto de estados de aceitação F. M = (Q, S, d, q0, F ) É necessária explicação adicional para entender como um FA interage com a sua entrada.
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Porque Determinista? Determinista significa que existe informação suficiente para sempre determinar qual é o próximo estado para o qual vai o autômato, ao ler um dado símbolo.
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0,3,6,9 0 mod 3 1,4,7 1 mod 3 2,5,8 0,3,6,9 2,5,8 2,5,8 1,4,7 1,4,7 Exercicio: Obtenha a descrição formal deste autômato. 2 mod 3 0,3,6,9
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Definição de FA, exemplo
Q = { 0 mod 3, 1 mod 3, 2 mod 3 } ( renomeie: {q0, q1, q2} ) S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } q0 = 0 mod 3 F = { 0 mod 3 } d – requer explicação adicional
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A função de transição d Determina o estado para o qual vai o autômato, dado o estado corrente e o símbolo corrente na entrada. I.e., dado um estado q Q e um símbolo a S, d define um único estado alvo q’Q. Em outras palavras, d é uma função do produto Cartesiano Q x S em Q :
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A função de transição d
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A função de transição d Usualmente a função de transição não
tem uma definição tal como nesse caso, dada por uma fórmula simples.
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Definição Formal de FA: Dinâmica
Como um FA opera sobre um string? Existe implicitamente a noção de uma fita que contém o string. O FA lê a fita da esquerda para a direita e cada caractere faz com que o autômato vá para um novo estado, definido pela função d. Quando o string é lido completamente, ele é aceito ou não, conforme o estado final do FA seja ou não um estado de aceitação.
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Definição Formal de FA: Dinâmica
DEF: Um string u é aceito por um autômato se o caminho rotulado por u, a partir do estado inicial q0, termina em um estado de aceitação. Nota: Para definir precisamente o que significa um caminho rotulado por um string, aplicamos d repetidamente à sequência de caracteres de u, guardando a sequência de estados correspondente. Veja Sipser para maiores detalhes.
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Linguagem aceita por um FA
DEF: A linguagem aceita por um FA M é o conjunto de todos os strings que são aceitos por M e é denotada por L (M ). Intuitivamente, pense em todos os possíveis caminhos que levam do estado inicial a um estado de aceitação do autômato. Então pense em todas as possíveis maneiras de rotular esses caminhos (caso existam múltiplos rótulos em algumas setas).
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Linguagens Regulares Veremos mais adiante que nem toda linguagem pode ser descrita como uma linguagem aceita por um FA. Uma linguagem que é aceita por algum FA exibe um alto grau de regularidade. THM: Toda linguagem L para a qual existe um FA M tal que L = L (M ) é uma linguagem regular
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Exercício Defina um FA que aceita a linguagem L sobre o alfabeto {0,1} cujos strings começam com 0 e terminam com 10 ou com 11 Exercícios para a próxima aula: Sipser 1, 2, 4
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Exercícios Recomendados
Sipser pags 83, 84: 1, 2, 3 e 4
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