Esperança Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número.

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1 Esperança Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

2 Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

3 Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25 -1 com probabilidade 24/25 Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

4 Esperança O valor esperado de uma v.a. discreta X é: EX = i x i. P(X=x i ) (ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade) EX pode ser um número real, +, –, ou não estar definida.

5 Exemplo X~Bernoulli(p)

6 Exemplo X ~ Geométrica(p)

7 Exemplo X ~ Poisson( )

8 Esperança finito EX R – finito EX = – finito + EX = + – + EX não definido

9 Paradoxo de S. Petersburgo Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1. Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta. Variáveis aleatórias de interesse: X = ganho quando se aposta 1. N = número de apostas até a saída. Y = ganho na saída.

10 Paradoxo de S. Petersburgo X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3 EX = –1/3. N é finito com prob. 1 Y = 1

11 Propriedades E(aX + b) = aEX + b Mas, em geral, E(g(X)) g(E(X)) Exemplo: Y = X 2 EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2 EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6 Note que EY = 0 2.P(X=0) + 1 2.P(X=1) + (–1) 2.P(X=–1) Xp –1–10,2 00,4 1 Yp 0 10,6

12 Propriedades Para X discreta: E(g(X)) = i g(x i ) P(X=x i ) (Law of the unconscious statistician)

13 Propriedades E(X+Y) = EX + EY (sempre!) E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

14 Exemplo Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas: a)com reposição? b)sem reposição?

15 Variância Var(X) = E(X–EX) 2 = E(X 2 ) –(EX) 2

16 Propriedades Var(aX+b) = a 2 Var(X) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

17 Propriedades Se X 1, X 2, …, X n são independentes, então Var(X 1 + X 2 +…+ X n ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + …+ Var(X n )

18 Exemplo X ~ binomial(p)