Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1

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1 Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1

2 Sistemas não-lineares
Normalmente, em problemas aplicados temos que resolver sistemas de equações não-lineares de ordem

3 Sistemas não-lineares
Dada Procuramos a solução do sistema não-linear Em notação matricial:

4 EXEMPLO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
Exemplo1: Intersecção de círculo com hipérbole. Temos 4 soluções (intersecções)!!!!!!!!!!!!!!!!

5 EXEMPLO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
Exemplo2: Intersecção de duas parábolas. Não temos soluções!!!!!!!!!!!!!!!!

6 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
HIPÓTESES Seja onde é um aberto de Em , suponha que tenha derivadas contínuas. Suponha que exista pelo menos um tal que

7 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
HIPÓTESES Seja o vetor gradiente de dado por e a matriz Jacobiana de :

8 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
MÉTODO DE NEWTON O Método de Newton é método básico. Consiste na linearização local do sistema não-linear Seja a aproximação Para qualquer , existe , tal que: Aproximando, temos um modelo local linear

9 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
MÉTODO DE NEWTON O modelo local linear do sistema não-linear é Seja , então Passo 1: Dado , calcule e Passo 2: Resolve-se o sistema linear Neste ponto técnicas de fatoração, pivoteamento e métodos iterativos podem ser utilizadas para determinar O Método de Newton com resolução do sistema linear de modo iterativo é chamado de Método de Newton Inexato.

10 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
Comentário 1: Estudaremos os métodos para sistemas não-lineares são iterativos. Dado inicial, gera-se uma seqüência , de modo que Comentário 2: Critérios de parada norma dos vetores de . norma infinito. tolerância ou número máximo de iterações.

11 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON INEXATO
Algoritmo. Dados , , , faça: Passo1: Calcule e Passo 2: Se , faça e pare. Senão, Passo 3: Obtenha , solução de Passo 4: Faça Passo 5: Se faça e pare. Senão Passo 6: Faça e volte ao passo 1.

12 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
Resolva o sistema Sabemos que as soluções são Tomamos , e calculando o Jacobiano, obtemos

13 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
Iteração 1: continue! métodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!

14 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
Passo 1: Comentário: Note que no processo de resolução de sistemas não-lineares, devemos resolver um sistema linear a cada iteração. Métodos diretos: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial ou total, fatoração LU ou Cholesky..... Métodos iterativos: Método de Gauss-Jacobi o Gauss-Seidel

15 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
CONTINUANDO. Iteração 2: continue e continue!!!!!!

16 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
1-Continuar o processo até que um dos dois critérios de parada seja atingido, ou seja ou 2-Convergência do Método de Newton Inexato é Quadrática em condições adequadas. 3-Diferentes abordagens do Método de Newton Inexato geram algoritmos alternativos.

17 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
O Método de Newton Modificado consiste em tomar a cada iteração, sempre, , em vez de O método iterativo é dado pela seqüência Neste procedimento temos que resolver no passo o sistema linear:

18 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
O Método de Newton Modificado tem a vantagem de calcular uma única vez a matriz Jacobiana No caso de resolver por fatoração LU, os fatores L e U também serão calculados uma única vez.

19 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO– EXEMPLO
Resolva o sistema Sabemos que as soluções são Tomamos , e calculando o Jacobiano, obtemos Fixado!!!!

20 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
Iteração 1: continue! métodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!

21 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
Iteração 2: continue Diferença e continue!!!!!!

22 MÉTODO DE NEWTON CONVERGÊNCIA O Método de Newton Modificado, Inexato,
perde a propriedade de convergência quadrática, apesar que neste exemplo, aparentemente, o nível de convergência foi semelhante. Verifica-se que o Método de Newton Modificado converge linearmente.

23 MÉTODOS DE QUASE-NEWTON
Os Métodos de Quase-Newton, Inexatos, consistem em gerar seqüências , com Boas propriedades de convergência, sem ter que avaliar (calcular) a matriz Jacobiana a cada iteração.

24 MÉTODOS DE QUASE-NEWTON
No Método de Newton Inexato a seqüência é gerada por onde é a solução do sistema linear A idéia é impor condições sobre gerando a) algum princípio de variação mínima. b) preservar alguma estrutura (simetria, esparsidade,..) da matriz Jacobiana.