PROBABILIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE

Apresentação em tema: "PROBABILIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE"— Transcrição da apresentação:

1 PROBABILIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Disciplina: ESTATÍSTICA APLICADA AO TURISMO E HOTELARIA ET-652 Curso: TURISMO Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR PROBABILIDADE

2 Experimento: é o ato de observar uma ação
Determinístico: quando sabemos o resultado do experimento antes mesmo de sua realização. Experimento: é o ato de observar uma ação Aleatório: quando o resultado do experimento é incerto, não previsível.

3 Exemplo: Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Exemplo: Soltar um objeto de uma altura de 1m e medir o tempo de queda. Determinístico Exemplo: Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima Aleatório

4 Espaço Amostral: é o conjunto formado pelos possíveis resultados de um experimento aleatório.
Geralmente representado pela letra Ω No exemplo anterior temos Ω={cara; coroa}

5 Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: joga-se um dado e observa-se a face voltada para cima Espaço amostral Ω={1,2,3,4,5,6} Considere o evento A: “a face do dado é par” A={2,4,6} Considere o evento B: “a face do dado é maior que 3” B={4,5,6}

6 Exemplo: Lançamento de dois dados
(1,1) 1 2 3 4 5 6 (1,2) 1 (1,3) 2 1 2 3 4 5 6 3 Ω= 4 5 6

7 Exemplo: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6 D2 D1 Ω=

8 Exemplo: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω=

9 Considere o evento A: soma dos dados é seis
1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω=

10 Considere o evento A: soma dos dados é seis
1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω= A={(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5)}

11 Ω= Considere o evento B: soma dos dados é menor que seis 1 2 3 4 5 6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω=

12 Ω= Considere o evento B: soma dos dados é menor que seis 1 2 3 4 5 6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω=

13 Considere o evento C: o segundo dado é dois
1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω=

14 Considere o evento C: o segundo dado é dois
1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) D2 D1 Ω=

15 Probabilidade: Seja Ω o espaço amostral de um experimento aleatório, então, probabilidade é uma função real tal que para qual quer subconjunto A de Ω, as propriedades seguintes são satisfeitas: 1) 0≤P(A)≤1, para todo A є Ω. 2) P(Ω)=1. 3) Se A1, A2, ..., são eventos, tais que, Ai ∩ Aj={ }, para todo i≠j, então,

16 O exemplo mais clássico de uma função de probabilidade é a frequência relativa, ou seja,
Obs: Usamos esta função de probabilidade quando cada elemento do espaço amostral tem a mesma probabilidade de acontecer.

17 Observe que de fato a frequência relativa é uma medida de probabilidade, pois,
1) 2) O evento Ω é o evento sempre acontece, então, 3) Se A ∩ B={ }, então,

18 Exemplo: No lançamento de dois dados qual a probabilidade da soma dos dados ser menor que seis?
1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

19 Teoremas: Teorema 1: P({ }) = 0 Dem. P(A)=P(A U { })=P(A)+P({ })→ P({})=0 Teorema 2: P(A) + P(Ac) = 1 Dem. Ω = A U Ac logo pela proposição 3 temos que P(Ω)=P(A)+P(Ac), ou seja, 1 = P(A) + P(Ac) Teorema 3: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Dem. A U B = A U (B ∩ Ac) e B = (A ∩ B) U ( Ac ∩ B), portanto, P(A U B) = P(A) + P(B ∩ Ac)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

20 Exemplo: Considere o experimento de jogar dois dados e observar as faces voltadas para cima.
a) Enumere o espaço amostral b) Enumere os eventos: A - a soma dos dois dados é seis; B - a soma dos dois dados é oito; C - os dois dados têm faces iguais. c) Calcule as probabilidades: P(A); P(B);P(C); d) Calcule as probabilidades dos eventos: a soma dos dois dados é seis ou oito; a soma dos dois dados é seis ou eles têm faces iguais; a soma dos dois dados é seis e oito.