Por: Thais Lima Machado.

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1 Por: Thais Lima Machado.
LÓGICA LÓGICA BÁSICA Por: Thais Lima Machado.

2 Lógica Cálculo Proposicional Cálculo de Predicados Prova de Teoremas

3 Lógica Cálculo Proposicional

4 Lógica - Cálculo Proposicional
Cálculo interessado pelas sentenças declarativas (proposições). Proposições podem ser verdadeiras ou falsas.

5 Lógica - Cálculo Proposicional
Vocabulário: Operadores lógicos: Negação: ~(Não é o caso que) Conjunção: &(e) Disjunção: v (ou) Condicional: -> (se..então) Bicondicional:  (se e somente se)

6 Lógica - Cálculo Proposicional
Vocabulário: Letras Sentenciais: Letras maiúsculas seguidas ou não de números. Parênteses: ( , )

7 Lógica - Cálculo Proposicional
Regras de Formação: Qualquer letra sentencial é uma fbf. Se x é uma fbf, então ~x também o é. Se x e y são fbfs, então (x & y), (x v y), (x  y) e (x  y) também são. fbf: Fórmula bem formada.

8 Lógica - Cálculo Proposicional
Definições: Fórmula Válida: Se e somente se for verdadeira para todas as interpretações possíveis. Fórmula Inválida: Caso existir alguma interpretação em que for falsa. Fórmula Inconsistente (Insatisfatível): Se e somente se for falsa para todas as suas interpretações. Fórmula Consistente: Se existir alguma interpretação onde ela for verdadeira. Tautologia: Proposição que é sempre verdade, independente dos valores de seus componentes.

9 Lógica - Cálculo Proposicional
Regras de Inferências: São regras hipotéticas ou não que geram as formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio, chamadas de derivação ou prova.

10 Lógica - Cálculo Proposicional
Regras de Inferências: Regras Básicas: Modus Poneuns (MP): De um condicional e seu antecedente podemos inferir o seu conseqüente. Eliminação de Negação (~E): De um fbf da forma ~~x, podemos inferir x. Introdução de Conjunção (&I): De quaisquer fbfs x e y, podemos inferir a conjunção x & y.

11 Lógica - Cálculo Proposicional
Regras de Inferências: Regras Básicas: Eliminação de Conjunção (&E): De um conjunção podemos inferir qualquer um dos seus conjuntos (são cada uma das sentenças ligadas pela conjunção). Introdução de Disjunção (vI): De uma fbf x, podemos inferir a disjunção de x com qualquer fbf. Eliminação de Disjunção (vE): De fbfs da forma xvy, x z e yz, podemos inferir a fbf z.

12 Lógica - Cálculo Proposicional
Regras de Inferências: Regras Básicas: Introdução do Bicondicional ( I): De quaisquer fbfs de formas (xy) e (yx) podemos inferir xy. Eliminação do Bicondicional ( E): De quaisquer fbfs de formas (xy), podemos inferir (xy) ou (yx).

13 Lógica - Cálculo Proposicional
Regras de Inferências: Regras Básicas: Prova do Condicional (PC): Dada uma derivação de uma fbf x a partir de uma hipótese y, podemos descartar a hipótese e inferir yx. Redução ao Absurdo (RAA): Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma hipótese x, podemos descartar a hipótese e inferir ~x.

14 Lógica - Cálculo Proposicional
Tabela Verdade Negação x ~x V F F V

15 Lógica - Cálculo Proposicional
Tabela Verdade Conjunção x y x & y V V V V F F F V F F F F

16 Lógica - Cálculo Proposicional
Tabela Verdade Disjunção x y x v y V V V V F V F V V F F F

17 Lógica - Cálculo Proposicional
Tabela Verdade Condicional ‘P  Q = ~(P & Q)’ x y x  y V V V V F F F V V F F V

18 Lógica - Cálculo Proposicional
Tabela Verdade Bicondicional P  Q = (P  Q) & (Q  P) x y x  y V V V V F F F V F F F V

19 Lógica Cálculo dos Predicados

20 Lógica- Cálculo dos Predicados
Introduz noções lógicas para expressar qualquer conjunto. Expressa através de três tipos de expressões: termos, predicados, quantificadores.

21 Lógica- Cálculo dos Predicados
Definições: Classe de Atributo: São representadas pelos substantivos comuns, locuções nominais, adjetivos, locuções adjetivas, verbos, e locuções verbais. Quantificadores: São operadores lógicosque expressam relações entre os conjuntos designados pelas classes de atributos lógicos. Eles são classificados de universais e existenciais.

22 Lógica- Cálculo dos Predicados
Definições: Quantificador Universal (): Esse tipo de quantificador é formado pelas expressões “todo” e “nenhum”. Quantificador Existencial (): Esse tipo de quantificador é formado pela expressão “algum”. Predicados: Serão denotados por letras maiúsculas.

23 Lógica- Cálculo dos Predicados
Vocabulário Símbolos lógicos: Operadores lógicos: ~, &, v, , . Quantificadores: , . Parênteses: ( , ).

24 Lógica- Cálculo dos Predicados
Vocabulário Símbolos não-lógicos: Letras Normais: letras minúsculas de “a” a “t”. Variaveis: letras minúsculas de “u” a “z”. Letras Predicativas: letras minúsculas.

25 Lógica- Cálculo dos Predicados
Regras de Formação: Toda fórmula atômica é uma fbf. Se x é uma fbf, então ~x também o é. Se x e y são fbfs, então (x & y), (x v y), (x  y) e (x  y) também o são.

26 Lógica- Cálculo dos Predicados
Regras de Inferência: Todas as regras definidas na lógica proposicional são utilizadas para o cálculo de predicados, apenas referenciando-se para os quantificadores.

27 Lógica- Cálculo dos Predicados
Regras de Inferência: Regras Básicas: Eliminação Universal (EU): De uma fbf quantificadora universalmente, x, infere-se qualquer fbf da forma x/, a qual resulta de se substituir cada ocorrência da variável  em x por uma letra nominal .

28 Lógica- Cálculo dos Predicados
Regras de Inferência: Regras Básicas: Introdução Universal (IU): De uma fbf x contendo uma letra nominal , que não corre em qualquer premissa ou em qualquer hipótese vigente na linha em que x ocorre, infere-se uma fbf da forma x/, onde x/ é resultado de se substituir todas as ocorrências de  em x por uma variável  que não ocorra em x.

29 Lógica- Cálculo dos Predicados
Regras de Inferência: Regras Básicas: Introdução Existencial (IE): Dada um fbf x contendo uma letra nominal , infere-se uma fbf da forma x/, onde x/ é resultado de se substituir uma ou mais ocorrências de  em x por uma variável  que não ocorra em x.

30 Lógica- Cálculo dos Predicados
Regras de Inferência: Regras Básicas: Eliminação Existencial (EE): Dada uma fbf quantificada existencialmente, x e uma derivação de uma conclusão y a partir da hipótese do tipo x/ (o resultado de se substituir cada ocorrência da variável  em x por uma letra nominal  que não ocorra em x), descarta-se x/ e afirma-se y.

31 Lógica Prova de Teoremas

32 Lógica- Prova de Teoremas
Provar teoremas faz parte da inteligência humana. Técnica levada para a IA. Na IA, a área que mais utiliza é SE’s Objetivo: provar que uma forma é conseqüência lógica de outras formulas.

33 Lógica- Prova de Teoremas
Definições: Prova: É a demonstração que um teorema (ou formula) é verdadeiro. Forma Normal Conjuntiva: É quando uma formula F for composta de umas conjunções de outras formulas.

34 Lógica- Prova de Teoremas
Definições: Forma Normal Disjuntivas: É quando uma formula F for composta de umas disjunções de outras formulas. Forma Normal Prenex: É quando uma formula F, na lógica da primeira ordem, são retirados todos os quantificadores existentes que prefixem a fórmula.

35 Lógica- Prova de Teoremas
Universo de Herbrand Serve para demostrar que um conjunto de cláusulas S é insatisfatível. Conjunto de cláusulas é dito insatisfatível quando for falsa para todas as interpretações em todos os domínios.

36 Lógica- Prova de Teoremas
Principio da Resolução: Nesse princípio usamos um mecanismo de substituição que permite a verificação da validade de um fórmula, além de empregar uma única regra de inferência e não necessitar de axiomas lógicos. Definição:É um método algorítmico que permite verificar a insatisfatibilidade de qualquer conjunto de cláusulas.

37 Lógica- Prova de Teoremas
Termos importantes para o uso do Princípio da Resolução: Profundidade: Se a cláusulas vazia sempre é produzida, o conjunto original deve Ter sido insatisfatível. Completude: Se o conjunto original é insatisfatível, a cláusulas vazia eventualmente será produzida.