Campus de Caraguatatuba Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7)

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1 Campus de Caraguatatuba Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7)

2 Método Iterativo de Gauss-Seidel (1)
No método de Gauss-Seidel, o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. O processo iterativo consiste em sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(0), x(1), x(2), ...,x(k), ... por:

3 Método Iterativo de Gauss-Seidel (2)

4 Método Iterativo de Gauss-Seidel (3)
Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir, Resolver pelo Método Gauss-Seidel com

5 Método Iterativo de Gauss-Seidel (4)
O processo iterativo é: Como

6 Método Iterativo de Gauss-Seidel (5)
Tem-se:

7 Método Iterativo de Gauss-Seidel (6)

8 Método Iterativo de Gauss-Seidel (7)
Continuando com as iterações, tem-se

9 Método Iterativo de Gauss-Seidel (8)
Passos do Método de Gauss-Sedel:

10 Método Iterativo de Gauss-Seidel (9)

11 Método Iterativo de Gauss-Seidel (10)

12 Método Iterativo de Gauss-Seidel (11)

13 Critério de Sassenfeld (1)
Como acontece em todo processo iterativo, deve haver critérios que forneçam uma garantia de convergência. No método de Gauss-Seidel, os seguintes critérios estabelecem condições de convergência: Critério de Sassenfeld; e Critério das Linhas.

14 Critério de Sassenfeld (2)

15 Critério de Sassenfeld (3)
Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se

16 Critério de Sassenfeld (4)
Portanto, E tem-se a garantia de que o Método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente.

17 Critério de Sassenfeld (5)
Exemplo 3: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se

18 Critério de Sassenfeld (6)
Trocando-se a 1ª equação pela 3ª equação tem-se Onde

19 Critério de Sassenfeld (7)
Trocando-se a 1ª coluna pela 3ª coluna tem-se, Onde Logo, a sequência é convergente

20 Critério das Linhas (1) Critério das Linhas
Esse critério, já estudado no Método de Gauss-Jacobi, pode ser aplicado como critério de convergência no Método de Gauss-Seidel. Então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente. Obs.: O Critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o Critério das Linhas não o seja.

21 Critério das Linhas (2) Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, Tem-se,

22 Critério das Linhas (3) Entretanto,
Logo, o Critério de Sassenfeld é satisfeito.