Tratamento de Infomações

Apresentação em tema: "Tratamento de Infomações"— Transcrição da apresentação:

1 Tratamento de Infomações
Econômico-Fiscais

2 Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. Destat Departamento de Estatística

3 15 154 Ramal: 217

4 Conceitos Básicos

5 Coleção de números = estatísticas
O número de carros vendidos no país aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 145 mortos, 2430 feridos.

6 Estatística: uma definição
A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.

7 Estatística (divisão)
Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos. Descritiva A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população. Indutiva

8 POPULAÇÃO Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.

9 CENSO Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.

10 AMOSTRA Uma porção ou parte de uma população de interesse.

11 AMOSTRAGEM O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.

12 Univariada Multivariada PROBABILIDADE (Matemática) ESTATÍSTICA
Trabalha com uma única característica dos dados PROBABILIDADE (Matemática) Univariada ESTATÍSTICA (Matemática Aplicada) Multivariada Trabalha com duas ou mais características dos dados

13 POPULAÇÃO (Censo) Erro Inferência
B A I L D E Inferência AMOSTRA (Amostragem)

14 Estatística Descritiva
Probabilidade Amostragem Estatística Indutiva

15 Estatística x Probabilidade
Faces Probabilidades Freqüências 1 1/6 15 2 18 3 23 4 25 5 22 6 17 Total 120

16 O erro deve ser evitado ou então minimizado.
Arredondamento Todo arredondamento é um erro. O erro deve ser evitado ou então minimizado.

17 Arredondar sempre para o mais próximo.
Arredondamento Regra básica: Arredondar sempre para o mais próximo.

18 Exemplos: 1,456 1,45 1,46 1,454 1,475 1,48 1,485 1,48 É ímpar Aumenta
Não aumenta

19 NOMINAL QUALITATIVAS ORDINAL DISCRETA QUANTITATIVAS CONTÍNUA
Á E S NOMINAL QUALITATIVAS ORDINAL DISCRETA QUANTITATIVAS CONTÍNUA

20 Variável Qualitativa NOMINAL ORDINAL Sexo Religião Estado civil Curso
Conceito Grau de Instrução Mês Dia da semana ORDINAL

21 Variável Quantitativa
Número de faltas Número de irmãos Número de acertos DISCRETA Altura Área Peso Volume CONTÍNUA

22 Estatística Descritiva

23 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Conjunto de dados: Amostra ou População Organização; Resumo; Apresentação.

24 Tendência ou posição central
Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características: Amostra ou População Tendência ou posição central Dispersão ou variabilidade Assimetria (distorção) Achatamento ou curtose

25 Tendência ou Posição Central
Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática Interna S i m p l e s As médias (a)

26 A média Aritmética

27 A média Geométrica

28 A média Harmônica

29 A média Quadrática

30 A média Interna É a mesma média aritmética só que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.

31 Exemplo Conjuntos mg mh 5 4,9 4,8 3 1,8 Médias

32 Relação entre as médias
Dado um conjunto de dados qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:

33 Tendência ou Posição Central
Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática P o n d e r a s As médias (a)

34 A média Aritmética Ponderada

35 A média Geométrica Ponderada

36 A média Harmônica Ponderada

37 A média Quadrática Ponderada

38 -- Exemplo Produtos 12 2 20 Carne Cana Ceva Pão Total p01 p02 q 4,80
5,52 5 Cana 5,20 4,94 1 Ceva 0,80 0,92 12 Pão 1,50 2,10 2 Total -- 20

39 -- Exemplo P 1 2 3 4 Total p01 p02  p(0,t) 4,80 5,52 0,57 1,15 5,20
4,94 0,12 0,95 3 0,80 0,92 0,23 4 1,50 2,10 0,07 1,40 Total -- 1,00

40 Exemplo Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 14,31%.

41 Exemplo Média geométrica ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,90%.

42 Exemplo Média harmônica ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,48%.

43 Tendência ou Posição Central
A mediana (median) (b) É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho. me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar

44 Tendência ou Posição Central
Separatrizes (b) A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.

45 Exemplo Considere o seguinte conjunto: 1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4 Ordenando o conjunto, tem-se: Então: me = x4 = 2

46 Exemplo Se o conjunto for: 1 -1 0 4 2 5 3 -2
Tem-se: n = 8 (par) Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2 Ordenando o conjunto, tem-se: me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50

47 Tendência ou Posição Central
A moda (mode) É o(s) valor(es) do conjunto que mais se repete(m).

48 Exemplo Considere o conjunto 0 1 1 2 2 2 3 5 Então: mo = 2
Então: mo = 2 Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).

49 Exemplo Considere o conjunto: 0 1 1 2 2 3 5 Então: mo = 1 e mo = 2
Então: mo = 1 e mo = 2 Conjunto bimodal

50 Exemplo Considere o conjunto: 0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.

51 Dispersão ou Variabilidade
(a) A amplitude (h) (b) O Desvio Médio (dma) (c) A Variância (s2) (d) O Desvio Padrão (s) (e) A Variância Relativa (g2) (f) O Coeficiente de Variação (s)

52 A Amplitude (range) h = xmáx - xmín Considere o conjunto: -2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7

53 O dma (average deviation)
Considere o conjunto: A média é:

54 Calculando os desvios:
Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3 d2 = -1 – 1 = -2 d3 = 0 – 1 = -1 d4 = 3 – 1 = 2 d5 = 5 – 1 = 4

55 Como pode ser visto a soma é igual a zero. Tomando o módulo vem:

56 A variância (variance)
Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:

57 A variância (variance)
A variância de um conjunto de dados será:

58 É a raiz quadrada da variância
O Desvio Padrão (standard deviation) É a raiz quadrada da variância

59 Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:

60 O Coeficiente de Variação
A Variância Relativa O Coeficiente de Variação

61 O coeficiente de variação do exemplo anterior, será:

62 Tratamento de Grandes Conjuntos de Dados

63 Grande Conjuntos de Dados
Organização; Resumo; Apresentação. Amostra ou População

64 Dados Brutos Variável qualitativa

65 Defeitos em uma linha de produção
Lascado Menor Desenho Maior Torto Esmalte

66 * Variável qualitativa *
Dados organizados em uma distribuição de freqüências * Variável qualitativa *

67 Distribuição de freqüências
Defeito Freqüência % Desenho 71 14,20 Esmalte 95 19,00 Lascado 97 19,40 Maior 70 14,00 Menor 83 16,60 Torto 57 11,40 Trincado 27 5,40 TOTAL 500 100

68 Freqüências (Tipos)

69 Absoluta SIMPLES Decimal Relativa Percentual Decimal Percentual
Apresentação Apresentação FREQÜÊNCIAS Absoluta SIMPLES Decimal Relativa Percentual Absoluta ACUMULADAS Decimal Relativa Percentual

70 Freqüências: representação
Valores fi Fi fri Fri 60 0,30 30 1 50 110 0,25 25 55 2 40 150 0,20 20 75 3 180 0,15 15 90 4 10 190 0,05 5 95 6 196 0,03 98 200 0,02 100 TOTAL — 1,00

71 Representação gráfica
Diagrama de torta ou pizza (Pie Chart)

72

73 Dados Brutos Variável discreta

74 Número de irmãos dos alunos da turma 450 - Estatística - PUCRS - 2002/02
1 6 3 4 5 2

75 Distribuição de freqüências por ponto ou valores

76 Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de irmãos dos alunos da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS /02.

77 N0 de irmãos N0 de alunos 7 1 21 2 8 3 5 4 6  50

78 * Diagrama de colunas simples *
Representação gráfica * Diagrama de colunas simples *

79 Diagrama de colunas simples da variável: Número de irmãos dos alunos da turma 450 Disciplina: Estatística, PUCRS /02

80

81 Resumo de uma Distribuição de freqüências por ponto ou valores

82 Medidas de tendência ou posição central

83 A média Aritmética Neste caso, a média a dada por:

84 Exemplo xi fi fixi 7 1 21 2 8 16 3 5 15 4 6 12  50 95

85 A média será, então:

86 A Mediana Como n = 50 é par, tem-se:

87 Exemplo Total de dados n = 50 (par) xi fi Fi 7 1 21 28 2 8 36 3 5 41 4
7 1 21 28 2 8 36 3 5 41 4 45 48 6 50  — Metade dos dados n/2 = 25

88 mo = valor(es) que mais se repete(m)
A Moda mo = valor(es) que mais se repete(m)

89 Pois ele se repete mais vezes
Exemplo xi fi 7 1 21 2 8 3 5 4 6  50 Pois ele se repete mais vezes A moda é igual a 1 (um)

90 Medidas de dispersão ou variabilidade

91 A Amplitude h = xmáx - xmín h = = 6 irmãos

92 O Desvio Médio Neste caso, o dma será dado por:

93 Exemplo xi fi fi|xi - | 7 7.|0 – 1,90| = 13,30 1 21
7 7.|0 – 1,90| = 13,30 1 21 21.|1 – 1,90| = 18,90 2 8 8.|2 – 1,90| = 0,80 3 5 5.|3 – 1,90| = 5,50 4 4.|4 – 1,90| = 8,40 3.|5 – 1,90| = 9,30 6 2.|6 – 1,90| = 8,20  50 64,40

94 O dma será, então:

95 A Variância Neste caso, a variância será:

96 Exemplo xi fi fixi2 7 02.7 = 0 1 21 12.21 = 21 2 8 22.8 = 32 3 5 32.5 = 45 4 42.4 = 64 52.3 = 75 6 62.2 = 72  50 299

97 A variância será, então:

98 O desvio padrão será dado por:

99 O Coeficiente de Variação
Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

100 Dados Brutos Variável contínua

101 Idade (em meses) dos alunos da turma 450 da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02

102

103 Distribuição de freqüências por classes ou intervalos

104 Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística da PUCRS /02

105 Idades Número de alunos 230 | 12 250 | 9 270 | 8 290 | 7 310 | 6 330 | 5 350 | 3 Total 50

106 Representação gráfica * Histograma *

107 Histograma de freqüências da variável “Idade dos alunos da turma 450” de Probabilidade e Estatística da PUCRS /02

108

109 Medidas

110 Antes de apresentar as medidas, i
Antes de apresentar as medidas, i. é, representantes do conjunto, é necessário estabelecer uma notação para alguns elementos da distribuição.

111 Simbologia

112 xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe; lii = limite inferior da classe; lsi = limite superior da classe; hi = amplitude da classe.

113 O Ponto Médio da Classe xi fi 230 |--- 250 12 240 250 |--- 270 9 260
230 | 12 240 250 | 9 260 270 | 8 280 290 | 7 300 310 | 6 320 330 | 5 340 350 | 3 360  50 —

114 Medidas de tendência ou posição central

115 A Média da Distribuição
xi fi fi. xi 240 12 2880 260 9 2340 280 8 2240 300 7 2100 320 6 1920 340 5 1700 360 3 1080  50 14260

116 Exemplo A média será:

117 A Mediana Neste caso, utilizam-se as freqüências acumuladas para identificar a classe mediana, i. é, a que contém o(s) valor(es) central(is).

118 Exemplo Total de dados n = 50 (par) xi fi Fi 230 |--- 250 12
230 | 12 250 | 9 21 270 | 8 29 290 | 7 36 310 | 6 42 330 | 5 47 350 | 3 50  — Metade dos dados n/2 = 25

119 Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i = 3
Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i = 3. A mediana será obtida através da seguinte expressão:

120

121 A Moda Neste caso é preciso inicialmente apontar a classe modal, i. é, a de maior freqüência. Neste exemplo é a primeira com fi = 12. Assim i = 1.

122 Exemplo i xi fi 1 230 |--- 250 12 2 250 |--- 270 9 3 270 |--- 290 8 4
230 | 12 2 250 | 9 3 270 | 8 4 290 | 7 5 310 | 6 330 | 350 | —  50 Classe modal, pois fi = 12.

123 Portanto a moda poderá ser obtida através de uma das seguintes expressões:

124 Critério de King:

125 Critério de Czuber:

126 Medidas de dispersão ou variabilidade

127 A Amplitude h = xmáx - xmín h = = 140 meses

128 O Desvio Médio Absoluto
Neste caso, o dma será dado por:

129 Exemplo xi fi fi.|xi - | 240 12 12.|240 – 285,20| = 542,40 260 9
9.|260 – 285,20| = 226,80 280 8 8.|280 – 285,20| = 41,60 300 7 7.|300 – 285,20| = 103,60 320 6 6.|320 – 285,20| = 208,80 340 5 5.|340 – 285,20| = 274,00 360 3 3.|360 – 285,20| = 224,40  50 1621,60

130 O dma será, então:

131 A Variancia Neste caso, a variância será:

132 Exemplo xi fi fi. xi2 240 12 = 260 9 = 280 8 = 300 7 = 320 6 = 340 5 = 360 3 =  50

133 A variância será, então:

134 O desvio padrão será dado por:

135 O Coeficiente de Variação
Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

136 Medidas de Assimetria (Distorção) Skewness

137 Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão Segundo Coeficiente ( de Pearson) a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão

138 CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente Quartílico CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1) Coeficiente do Momento a3 = m3/s3, onde m3 = S(X )3/n

139 Coeficiente = 0 Conjunto Simétrico Provão 2000 Curso: Odonto

140 Conjunto: Negativamente Assimétrico
Coeficiente < 0 Conjunto: Negativamente Assimétrico Provão 2000 Curso: Jornalismo

141 Conjunto: Positivamente Assimétrico
Coeficiente > 0 Conjunto: Positivamente Assimétrico Provão 2000 Curso: Eng. Elétrica

142 Medidas de Achatamento ou Curtose (Kurtosis)

143 Coeficiente de Curtose (momentos)
a4 = m4/s4, onde m4 = S(X )4/n

144 Conjunto: Mesocúrtico
Coeficiente = 3 ou 0 Conjunto: Mesocúrtico Provão 2000 Curso: Odonto

145 Coeficiente > 3 ou (> 0) Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000 Curso: Matemática

146 Coeficiente < 3 ou (< 0) Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999 Curso: Eng. Civil

147 Propriedades das Medidas

148 Suponha que o conjunto de dados “x” sofreu a seguinte transformação:
y = a.x + b Então:

149