SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS

Apresentação em tema: "SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS"— Transcrição da apresentação:

1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS
SÓLIDOS GEOMETRICOS POLIEDROS REGULARES OU PLATÔNICOS POLIEDROS ATIVIDADES RELAÇÃO DE EULER SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO

2 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Introdução
Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas definidas; são denominados sólidos geométricos. São objetos que lembram sólidos geométricos:

3 São objetos que lembram corpos redondos:

4 POLIEDRO Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. Elementos de um poliedro: Vértice Face Aresta Face: Região poligonal que limita o poliedro. Aresta: Interseção de duas faces. Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas. Obs: Um poliedro possui no mínimo 4 faces.

5 Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado Poliedro Convexo. De acordo com o número de faces , os poliedros convexos possuem nomes especiais. Veja a tabela a seguir: x1 x2

6 Observe alguns poliedros:
NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO 6 HEXAEDRO 7 HEPTAEDRO 8 OCTAEDRO 12 DODECAEDRO 20 ICOSAEDRO

7 Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo:
Nela vemos que existem pontos X1 e X2 do poliedro tais que o segmento de reta X1X2 não está contido no poliedro, ou seja, uma parte do segmento “esta fora” do poliedro. De acordo com o seu n. de faces um poliedro pode ser classificado em Tetraedro(4 faces), Pentaedro(5 faces), Hexaedro(6 faces) e assim por diante. A relação que veremos a seguir estabelece correspondência entre o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo. x1 x2

8 Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande matemático suíço ( ), que produziu trabalhos em diversos ramos da ciência, como física, astronomia, biologia, matemática etc. Tinha uma memória inigualável e uma incrível destreza com a matemática. Euler escrevia seus trabalhos com a mesma facilidade com que um escritor redige uma carta. Nem a cegueira total que o afligiu durante os últimos dezessete anos de vida modificou isso; parece até que a cegueira o ajudou a desvendar mais ainda o seu mundo interior. Em qualquer poliedro convexo vale a seguinte relação: V-A+F = 2 Onde V= nº de vértices A= nº de arestas F= nº de faces Faremos apenas a verificação dessa relação através de um exemplo, no qual contaremos os vértices, as arestas e as faces de um poliedro. V=8 F =6 A = 12 V – A + F = – = 2

9 SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V-2).360º onde V é o número de vértices. Demonstração: V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Sejam n1, n2, n3, ...,nF os números de lados das faces 1,2,3,...,F, ordenadamente. A soma dos ângulos de uma face é (n-2).180º Para toda as faces temos: S = (n1-2).180º + (n2-2).180º + (n3-2).180º (nF-2).180º S = n1180º - 360º + n2180º - 360º + n3180º - 360º nF180º - 360º S = (n1 + n2 + n nF).180º - F.360º mas n1 + n2 + n nF = 2A, logo S = 2A.180º - F. 360º S = 360º.A – F.360º S = (A – F).360º Da relação de Euler, temos V-A+F = 2  V-2 = A – F S = (V – 2).360º

10 Poliedros Regulares ou Platônicos
Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro, o hexaedro ou cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Ë muito interessante observarmos a presença desses poliedros, ou formas poliédricas derivadas, na natureza e na infinita capacidade do engenho humano de copiá-los em estruturas arquitetônicas belíssimas, em objetos, em moléculas e até mesmo na lapidação de pedras preciosas. Na verdade até podemos dizer que o estudo dos poliedros sempre foi um esforço que os os matemáticos, arquitetos, artesões e artistas fizeram no sentido de dominar as relações entre suas formas para poder reproduzi-las e recriar sua estética. Observe a seguir algumas formas que encontramos na natureza e uma geodésica. Investigue a semelhança entre elas e as formas que estudaremos a seguir

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12   DEFINIÇÃO Denomina-se poliedro regular ou de de Platão[1] ao poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições: as faces são polígonos regulares; seus ângulos poliédricos congruentes; -     todas as faces têm o mesmo número de arestas; -     de cada vértice parte o mesmo número de arestas. 1 PLATÃO(427ac). Filósofo e matemático grego. Ficou conhecido não como matemático, mas como “O Criador de Matemáticos”. Os poliedros regulares foram chamados de “Sólidos Platônicos” devido a maneira pela qual Platão os aplicou para explicar fenômenos científicos.   Vejamos a seguir os cinco poliedros regulares

13 Observe a seguir as planificações dos poliedros acima:
TETRAEDRO REGULAR V=4; F=4 e A = 6 FACES TRIANGULARES HEXAEDRO REGULAR V=8; F=6 e A = 12 FACES QUADRANGULARES OCTAEDRO REGULAR V=6; F=8 e A = 12 FACES TRIANGULARES ICOSAEDRO REGULAR V=12; F=20 e A = 30 FACES TRIANGULARES DODECAEDRO REGULAR V=20; F=12 e A = 30 FACES PENTAGONAIS Observe a seguir as planificações dos poliedros acima:

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15 ATIVIDADES 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Resp: V= 8 2) Determinar o número de faces de um poliedro convexo com 9 vértices. Sabe-se que de 4 vértices partem 3 arestas e dos outros 5 vértices partem 4 arestas. Resp: F = 9 3) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar: a) o número de vértices desse poliedro, Resp: b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro. Resp: 2880º 4) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro ? Resp: 11 faces 5) ( FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de aresta excede o número de vértices em 6 unidades Calcule o número de faces. Resp: 8 faces

16 ATIVIDADES 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º. Determine o número de faces, sabendo que o poliedro tem 8 arestas. Resp: 5 faces 7) Calcule a soma dos ângulos das faces do: a) tetraedro regular Resp: 720º b) octraedro regular Resp: 1440º c) icosaedro regular Resp: 3600º 8) Qual a área da superfície de: a) tetraedro regular de aresta 6m,Resp: 72 m b) icosaedro regular de aresta 5cm Resp: 125 cm2 9) (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices é: a) b) c) d) e) 31 Resp: d 10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas b)12 vértices e 11 arestas c)22 vértices e 11 arestas d)11 vértices e 22 arestas e)12 vértices e 22 arestas Resp: e

17 AULA ELABORADA PELO: PROF. LUIZ CARLOS S0UZA SANTOS É SHOW