Generalidades sobre funções

Apresentação em tema: "Generalidades sobre funções"— Transcrição da apresentação:

1 Generalidades sobre funções
Matemática A – 10º Ano Tema II Com este conjunto de slides pretende-se introduzir o estudo de funções reais de variável real, a partir da sua representação gráfica. Como pensamos que é importante que os alunos tomem contacto com a linguagem simbólica matemática, introduzimos desde já as definições de cada um dos conceitos. Pensamos que, na explicação das visualizações no gráfico, se pode utilizar uma linguagem metafórica, que auxilie os alunos na sua compreensão: por exemplo, no estudo das monotonias utilizar “o homem sobe ou desce”. Porto Editora - NetProf

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Noção de função A C B f Uma função é uma relação unívoca entre dois conjuntos, A e B, isto é, a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B. xA 1 y B : y=f(x) A chama-se Domínio da função  Df Os elementos de A chamam-se Objectos B chama-se Conjunto de chegada da função C chama-se Contradomínio da função  D’f Os elementos de C chamam-se Imagens Porto Editora - NetProf

3 Função real de variável real
Seja f uma função. Se o domínio de f é um subconjunto de IR (A) e o conjunto de chegada é IR, então f diz-se uma função real de variável real. Porto Editora - NetProf

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Função: sim ou não? NÃO Referir que para verificar se se trata do gráfico de uma função, “passamos” uma recta vertical pelo gráfico. Se existir algum momento em que a recta corta o gráfico em mais do que um ponto, então não teremos uma função. Por exemplo Porto Editora - NetProf

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Função: sim ou não? SIM Verifica-se que a recta corta o gráfico apenas num ponto, em qualquer momento. A recta pára com um clique do rato. Porto Editora - NetProf

6 Estudo de uma função: Domínio
Domínio de uma função, real de variável real, é o conjunto dos números reais para os quais têm significado as operações na expressão algébrica que a define. Porto Editora - NetProf

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“Passando” uma recta vertical pelo gráfico, que representa a função, fazem parte do domínio da função os valores de x (objectos) para os quais a recta corta o gráfico em algum ponto. Porto Editora - NetProf

8 Estudo de uma função: Contradomínio
Contradomínio de uma função, real de variável real, é o conjunto de todos os números reais que são imagens de algum elemento do domínio (objecto). Porto Editora - NetProf

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“Passando” uma recta horizontal pelo gráfico, que representa a função, fazem parte do contra-domínio da função os valores de y para os quais a recta corta o gráfico em algum ponto. Porto Editora - NetProf

10 Estudo de uma função: Zeros e Sinal
Zero de uma função é um objecto (x) cuja imagem é nula. Uma função diz-se positiva, quando a sua imagem é positiva: f(x) > 0 Uma função diz-se negativa, quando a sua imagem é negativa: f(x) < 0 Porto Editora - NetProf

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Função Positiva: x  ]-8,-4[  ]-4,2[  ]4,6[ Zeros: -8 e 6 Começamos pelos zeros: valores de x (objectos) para os quais o gráfico corta o eixo dos xx`s. No caso do sinal da função são apresentados: os valores de x para os quais a função é negativa, a azul. Ao “passar” a recta vertical, pintam-se a azul os valores de x para os quais o gráfico está acima dos eixo das abcissas. os valores de x para os quais a função é positiva, a verde. Ao “passar” a recta vertical, pintam-se a verde os valores de x para os quais o gráfico está acima dos eixo das abcissas. Se necessário repetir a animação para uma melhor vizualização. Função Negativa: x  ]-,-8[  ]2,4]  ]6,+ [ Porto Editora - NetProf

12 Estudo de uma função: Monotonia e extremos
Função crescente em sentido lato x1,x2Df : x1x2  f(x1)f(x2) em sentido estrito x1,x2Df : x1>x2  f(x1)>f(x2) Função decrescente x1,x2Df : x1x2  f(x1)f(x2) x1,x2Df : x1>x2  f(x1)<f(x2) Máximo Absoluto - max xDf,f(x)  max Mínimo Absoluto - min xDf,f(x)  min Máximo Relativo - maxr I Df xI,f(x)  maxr Mínimo Relativo - minr I Df xI,f(x)  minr Porto Editora - NetProf

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Máximos Locais: 2; 2,5; 7 Maximizantes: ]-4,2[; 5; -6 Máximo Absoluto: 7 Mínimos Locais: -4, 2 Minimizantes: 3; ]-4,2[ Função crescente para: x  ]-∞,-6] e x  [3,5] Começamos por colocar um homem a “passear no gráfico”. O objectivo é que os alunos compreendam que uma função é crescente quando “ao caminhar no gráfico”, da esquerda para a direita, o “homem sobe” e que quando o “homem desce” a função é decrescente. Também se considera o caso da função ser constante, quando o homem “caminha a direito”. Chamamos a atenção para o facto de a função ser decrescente em sentido lato em [-6,-4[ e ]-4,2[ e ]2,3], mas não em sentido estrito, dado que é constante em ]-4,2[. Devemos, especificar este aspecto. Atenção, pois a função não é crescente em ]-,-6]  [3,5], mas unicamente em cada um dos intervalos. Apresente-se um exemplo: -8 < 3 mas f(-8) > f(3)! Só depois consideramos os extremos. Atenção ao 2, que é máximo local e mínimo local. Pode ser interessante alterar a função, atribuindo valores a f(-4) e/ou f(2) e verificar as alterações. Por exemplo, f(-4) = f(2) = 2 Função decrescente para: x  [-6,-4[, x  ]2,3] e x  [5,+∞ [ Função Constante para: x  ]-4,2[ Porto Editora - NetProf

14 Estudo de uma função: Paridade
Uma função f, real de variável real, diz-se par se e só se: xDf: f(-x) = f(x) Uma função f, real de variável real, diz-se ímpar se e só se: xDf: f(-x) = -f(x) Alertar para a importância do domínio. Por exemplo, uma função com domínio R\{-1}, não pode, à partida, ser par nem ímpar. Porto Editora - NetProf

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Simetria em relação ao eixo dos yy`s Função PAR Verifica-se que efectuando simetrias do gráfico, em relação ao eixo dos yy`s, o gráfico é o mesmo  função par. Porto Editora - NetProf

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Simetria em relação à origem Função ÍMPAR Verifica-se que efectuando simetrias do gráfico, em relação à origem do referencial, o gráfico é o mesmo  função ímpar. Porto Editora - NetProf

17 Estudo de uma função: Injectividade
Uma função f, real de variável real, diz-se injectiva se e só se: x1, x2Df : x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) ou, de forma equivalente: x1, x2Df : f(x1) = f(x2)  x1 = x2 Porto Editora - NetProf

18 Função Injectiva: sim ou não?
Referir que para verificar se se trata do gráfico de uma função injectiva, “passamos” uma recta horizontal pelo gráfico. Se existir algum momento em que a recta corta o gráfico em mais do que um ponto, então não teremos uma função Injectiva. Verifica-se que a recta corta o gráfico apenas num ponto, em qualquer momento. Porto Editora - NetProf

19 Função Injectiva: sim ou não?
Por exemplo NÃO Verifica-se que existem momentos em que a recta corta o gráfico em mais do que um ponto, então não temos uma função Injectiva. Porto Editora - NetProf