Distribuição Binomial

Apresentação em tema: "Distribuição Binomial"— Transcrição da apresentação:

1 Distribuição Binomial
Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp

2 Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:
O Teorema Binomial Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:

3 O Teorema Binomial

4 Os Coeficientes Binomiais
Para n e k inteiros não-negativos com Com frequência é lido como “n escolhe k”.

5 Exemplos: Cálculo dos Coeficientes
Observe que Lembre que o 1º e o último termo na expansão têm um coeficiente igual a 1:

6 A soma dos exponentes é sempre n.
Observação A soma dos exponentes é sempre n.

7 Exemplo

8 Expandindo uma Binomial
Uma binomial é da forma a+b. Expandindo uma binomial…

9 Números Fatoriais

10 Exemplos

11 Exemplos

12 Exemplos

13 Exemplos

14 Exemplos

15 Exemplos

16 Observações Sempre um inteiro positivo.
Representa o número de modos de escolher k items de um grupo de n items. Pode ser generalizado para valores de n que não são inteiros.

17 Fórmula de Bernoulli Se a probabilidade de sucessos em um ensaio é p e a probabilidade de fracasso é q = 1-p, então p e q são constantes de ensaio a ensaio. Bernoulli mostrou que a probabilidade de observar exatamente r sucessos em n ensaios é expressa pelo r º termo da expansão para (p+ q)r: Pr[r sucessos e n-r fracassos] = (nCr) pr qn-r

18 A probabilidade de r sucessos é:
Coeficiente Binomial n ( ) = n!/r!(n-r)! r A probabilidade de r sucessos é: n ( ) pr qn-r , r onde q = 1 - p

19 Observação Os coeficientes binomiais desta fórmula são os números da nª linha do triângulo de Pascal.

20 Cada número é a soma dos números da esquerda superior e direita superior:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … … … … …

21 Triângulo de Pascal

22 k = 0 diagonal k = 1 diagonal k = 2 diagonal Linha 0 Linha 1 Linha 2

23 1 2 3 6 4 5 10 15 20 7 8 9 21 35 28 56 70 36 84 126 45 120 210 252 linha 10

24 Triângulo de Pascal 1 1 2 1

25 Teorema Binomial. Para cada termo,
Obtemos os coeficientes do Triângulo de Pascal

26 As linhas são os coeficientes da expansão binomial
Triângulo de Pascal As linhas são os coeficientes da expansão binomial Row # 1 2 3 4 6 5 10

27 Distribuição Binomial
Termos que devem ser familiares Distribuição Binomial de probabilidades Provas de Bernoulli Triângulo de Pascal