Resolução de equações não lineares

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1 Resolução de equações não lineares

2 Raiz de uma equação Raiz exata Raiz aproximada
Um número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(xr)=0 Raiz aproximada Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0 Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata

3 Calculando as raízes Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário: 1) delimitar, enumerar e separar as raízes 2) utilizar um método numérico para calculo de cada raiz

4 Equações algébricas polinomiais
A) toda equação do tipo anxn+an-1xn a1x1+a0 é algébrica e polinomial n é um número natural denominado grau da equação Os coeficientes ai, i=0...n são números reais

5 Equações algébricas polinomiais
Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

6 Multiplicidade de raizes
Uma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a função que origina a equação Anula as derivadas até a ordem m-1 Não anula a derivada de ordem m

7 Exemplo A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes x1=1 x2=2 e x3=2 f(2)=0
f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0 f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2

8 Equações algébricas polinomiais
As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi) Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real

9 Delimitação de raízes reais
Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 ≠ 0 Para limite superior de suas raízes positivas, caso existam pode ser tomado o número K= grau do 1º termo negativo M= módulo do menor coeficiente negativo

10 Exemplo Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

11 Exemplo Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16

12 Delimitação das raízes reais
Limite inferior negativo Obter a equação auxiliar f1(x)=f(-x)=0 usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas raízes positivas L1 O limite inferior das raízes negativas é dado por –L1

13 Exemplo Calcule o limite inferior para as raízes negativas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

14 an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1
Exemplo f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0 an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1 f1(x) = x5-x4-8x3+16x2+7x-14 =0 n=5,k=4,a5=1 e M=14 Logo –L1=-15

15 Enumeração das raízes Regra dos sinais de Descartes – O número de raízes positivas de equações polinomiais é igual ao número de variação de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um número par

16 Exemplo x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

17 Exemplo x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

18 Exemplo x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz

19 Exemplo x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?

20 Exemplo x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?
5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz

21 Exemplo 5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?

22 Exemplo 5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?
3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva

23 Enumeração de raízes Para determinar o número de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equação e aplicar a regra dos sinais

24 Exemplo x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0
3 raízes ou 1 raiz negativa

25 Exemplo x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0
Sem variação -> nenhuma raiz negativa

26 Sucessão de Sturm Dada a equação polinomial f(x)=0 a sucessão de Sturm a ela associada é o seguinte conjunto de polinômios: f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) f(x) é o polinômio que origina a equação f1(x) é a primeira derivada de f(x)

27 Sucessão de Sturm A partir de f2(x) cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos 2 termos anteriores f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x A sucessão procede até que seja obtido um resto constante

28 Propriedades Se a equação tiver raízes múltiplas então o último termo da sucessão é nulo Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucessão não se anulam Se, para algum x, um termo médio da sucessão se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos

29 Teorema de Sturm Seja N(alpha) o número de variações de sinal apresentado pela sucessão de sturm. Para x = alpha O número de raízes reais de uma equação polinomial, sem raízes múltiplas, situadas em um intervalo [a,b] é igual a N(a)-N(b)

30 Exemplo Determine o número de raízes reais da equação no intervalo (-15,5) f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88

31 Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1
-15 5 f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 - + f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88 N(x) 4 3 1 Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1 Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2 As outras duas raízes são complexas

32 Separação de Raízes reais
Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b] Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem um número impar de raízes no intervalo [a,b]

33 Exemplo

34 Exemplo

35 Separação de Raízes reais
Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

36 Exemplo

37 Exemplo

38 Exemplo

39 Exemplo

40 Exemplo Separe as raízes positivas da equação
f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Sabendo-se que estão situadas no intervalo (0,5) e que o número de raízes positivas é 2

41 f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

42 Equações não polinomiais
Duas possibilidades 1) Construir um esboço do gráfico da função com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)

43 Equações não polinomiais
Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam é uma raiz de f(x)

44 Exemplo Seja a equação f(x)=x =0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))

45 Metodo da Bisseção Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]
O intervalo contém uma única raiz da equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0 Este método consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até que seja obtido (b-a) <= precisão estabelecida

46 Graficamente - + a b

47 Graficamente - + + a b

48 Graficamente - + + a b’ b

49 Graficamente - + - + a b’ b

50 Graficamente - + - + a’ a b’ b

51 Critério de parada O processo para quando o intervalo [a,b] é suficientemente pequeno Assim qualquer ponto no intervalo é tomado como raiz Número máximo de passos – pré-estabelecido

52 Convergência Sendo f(x) contínua em [a,b] f(a).f(b)<0
O método da bisseção converge se as condições anteriores forem respeitadas

53 Exemplo Utilizando o método da bisseção calcule a maior raiz positiva da equação f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Precisão 0,025, máximo de 10 iterações, intervalo = [2,5;5] f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399

54 k xk f(xk) b-a 2,5 -56,781 - 5 2399 1 3,75 332,706 1,25 2 3,125 28,875 0,625 3 2,813 -32,239 0,312 4 2,969 -7,224 0,156 3,047 9,307 0,078 6 3,008 0,679 0,039 7 2,989 -3,26 0,019

55 Qualquer número no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz

56 Método da Falsa Posição
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém um e só uma raiz da equação f(x)=0 Este método consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas

57 Graficamente

58 Graficamente

59 Critério de parada O processo iterativo é interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual à precisão estabelecida e então xk é tomado como raiz

60 Critério de convergência
Se f(x) é contínua em [a,b] e f(a).f(b)<0, então o método da falsa posição converge

61 Calculando xk No método da bisseção x é dado pela média aritmética do intervalo x= (a+b)/2 No método da FP o x é dado pela média aritmética ponderada x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|) x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

62 O cálculo de xk Seja a matriz bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a)
x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

63 Generalizando xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
Desde que a cada passo seja atualizado a ou b O critério utilizado por este método para a divisão do intervalo [a,b] é o da média ponderada

64 Exemplo Utilizando o método da falsa posição com precisão e um máximo de 5 iterações encontrar a maior raiz positiva f(x)=x4-14x2+24x-10=0 A) delimitação das raízes reais LSP = = 4,7 = 5

65 LIN – equação auxiliar f(x) = x4 -14x2-24x-10 L1=6 Logo –L1=-6

66 Enumeração das raízes reais
Raízes positivas: 3 variações -> 3 ou 1 raiz positiva Raízes negativas: 1 variação -> 1 raiz negativa

67 Número de raízes positivas
Teorema de Sturm Sucessão de Sturm 5 f(x)=x4-14x2+24x-10 - + f1(x)=4x3-28x+24 f2(x)=7x2-18x+10 f3(x)=7,24x-9,3 f4(x)=1,5 N(x) 3

68 Número de raízes positivas
O número de raízes é dado por: N(0)-N(5)=3-0=3

69 Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção - + 5

70 Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção - + + 2,5 5

71 Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção - + + + + 1,25 3,75 2,5 5

72 Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção - - - + + + + 1,25 3,75 2,5 5 0,625 1,875

73 Calculando a maior raiz positiva
Reduzindo um pouco mais o intervalo f(1,875)<0, f(2,5)>0, f(2,188)<0 Aplicando o método da falsa posição xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

74 Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação
k a b f(a) f(b) xk f(xk) 1 2,188 2,5 -1,592 1,563 2,345 -0,467 2 2,381 -0,085 3 2,387 -0,016 4 2,388 -0,005 Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação

75 Método de Newton-Raphson
Também conhecido como método das tangentes Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma e só uma raiz da equação f(x)=0

76 Método de Newton-Raphson
Dada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk é a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das abscissas

77 Método de Newton-Raphson
Critério de parada: O processo é interrompido quando for obtido um |xk-xk-1| ou |f(xk)| menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida

78 Graficamente x0 x0 x1

79 Graficamente x0 x1

80 Graficamente x0 x1

81 Método de Newton-Raphson
Convergência: se f(a)f(b)<0 e f’(x) e f’’(x) forem não nulas e mantiverem o sinal em [a,b], então partindo-se de uma estimativa inicial x0 є[a,b] tal que f(x0)f’’(x)>0 é possível construir, pelo método de Newton-Raphson uma sequência {xk}, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0

82 Método de Newton-Raphson
Seja o cálculo de x1 Para x2

83 Método de Newton-Raphson
Generalizando

84 Exemplo Calcule a raiz negativa de f(x)=x4-14x2+24x-10=0 utilizando o método de newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 5 iterações. Sabe-se que esta raiz está situada no intervalo (-6,0)

85 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo + -
-6 f(0)=-10 f(-6)=638

86 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo + - -
-6 -3 f(0)=-10 f(-6)=638 f(-3)=-127

87 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo + - +
-4,5 -6 -3 f(-6)=638 f(-3)=-127 f(-4,5)=8,562

88 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo + - -
-4,5 -6 -3 -3, 75 f(-3)=-127 f(-4,5)=8,562 f(-3,75)=

89 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo + - -
-4,5 -6 -3 -3, 75

90 Exemplo f’(x)=4x3-28x+24 <0 no intervalo [-4,5;-3,75]
f’’(x)=12x2-28 >0 no intervalo [-4,5;-3,75] Como f(-4,5)f’’(-4,5)>0 então x0=-4,5

91 Exemplo k xk f(xk) f'(xk) |xk-xk-1| -4,5 8,562 -214,5 - 1 -4,460 0,153
-4,5 8,562 -214,5 - 1 -4,460 0,153 -205,986 0,040 2 -4,459  0,018 0,001

92 Notas Com relação à convergência o que se faz na prática é:
1) toma-se uma estimativa inicial próxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contém 2) toma-se x0 є [a,b] de forma que seja obtido x1 є [a,b]

93 Comparação - Bisseção Apesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergência Utilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raiz Normalmente é utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contém a raiz

94 Comparação – F.P. e N.R. Quando se deseja é um intervalo que contém a raiz o método da Falsa Posição não é adequado porquê não converge Quando não houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o método de Newton-Raphson; caso contrário deve-se usar o método da Falsa Posição

95 Exercício Determine os limites das raízes reais da equação f(x)=x3+4x2-10=0