AULA 6 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II Mudança de Coordenadas

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1 AULA 6 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II Mudança de Coordenadas
Fonte: Anton, Stewart, Thomas, Buske Prof. Guilherme J. Weymar CENG - UFPel

2 Tópicos: 2D: Coordenadas polares 3D: Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas

3 Introdução: No monitoramento por radar, um operador está interessado na posição ou no ângulo que o objeto rastreado forma com algum raio fixo (por exemplo, uma semi-reta direcionada para leste) e a que distância o objeto está localizado no momento. Nesta aula estudaremos um sistema de coordenadas inventado por Newton, chamado de sistema de coordenadas polares, o qual é prático de usar para tais propósitos. Estudaremos as coordenadas polares e sua relação com as coordenadas cartesianas. Enquanto que um ponto no plano tem apenas um par de coordenadas cartesianas, ele tem infinitos pares de coordenadas polares. Isso tem características interessantes no esboço de gráficos.

4 Definição de coordenadas polares:

5 OBS.: Como em trigonometria, θ é positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo quando medido no sentido horário. O ângulo associado a dado ponto não é único. Por exemplo, o ponto a 2 unidades da origem, na semi-reta θ = π /6 tem coordenadas polares r = 2, θ = π /6, mas também tem coordenadas r = 2, θ = -11π /6 (ver figura). As coordenadas polares não são únicas.

6 Há ocasiões em que desejamos permitir que r seja negativo
Há ocasiões em que desejamos permitir que r seja negativo. Essa é a razão de usarmos a distância orientada na definição de P(r,θ). O ponto P(2,7π/6) pode ser alcançado rodando 7π/6 radianos no sentido anti-horário a partir do raio inicial e indo 2 unidades em frente (ver figura). Ou ainda rodando π/6 radianos no sentido anti-horário e voltando 2 unidades e o ponto tem coordenadas polares r = -2, θ = π/6.

7 EXEMPLO 1. Determinando coordenadas polares
Determine todas as coordenadas polares do ponto P(2,π/6). Resolução ... Completar!

8 Gráficos polares:

9 EXEMPLO 2. Determinando equações polares para gráficos
r = 1 e r = -1 são equações para o círculo de raio 1 centrado em O θ = π/6, θ = 7π/6 e θ = -5π/6 são equações da reta da figura do exemplo 1:

10 EXEMPLO 3. Identificando gráficos
Desenhe os conjuntos de pontos cujas coordenadas polares satisfazem:

11 Relacionando coordenadas polares e cartesianas:

12 EXEMPLO 4. Equações equivalentes
Algumas curvas são mais tratáveis em coordenadas polares; outras não.

13 EXEMPLO 5. Convertendo coordenadas cartesianas a polares

14 EXEMPLO 6. Convertendo coordenadas polares a cartesianas
(b) Exercício Resposta: y = 2x – 4 reta, coeficiente angular m = 2, intersecção com o eixo y em b = -4

15 Desenhando gráficos em coordenadas polares

16 EXEMPLO 7. Uma cardióide

17 A seta indica a direção de crescimento de θ.

18 EXEMPLO 8. Desenhe a curva r2 = 4cosθ

19 As setas indicam a direção de crescimento de θ.

20 Uma técnica para desenhar gráficos:
Um modo de desenhar o gráfico de uma equação polar r = f(θ) é fazer uma tabela de valores (r,θ), depois marcar os pontos correspondentes e conectá-los na ordem de crescimento de θ. Isso pode funcionar bem se for marcado um nº suficiente de pontos para revelar todos os laços e reentrâncias do gráfico.

21 Outro método de desenhar o gráfico, que é geralmente mais rápido e confiável, é:
Primeiro esboçar o gráfico de r = f(θ) no plano cartesiano r θ, usar então o gráfico cartesiano como uma “tabela” para guiar o esboço do gráfico em coordenadas polares. Esse método é melhor do que simplesmente marcar pontos, pois o primeiro gráfico cartesiano, mesmo quando desenhado apressadamente, mostra em um relance onde r é positivo, negativo, onde não está definido e também onde r é crescente e decrescente.

22 EXEMPLO 9. Uma lemniscata.
Desenhe a curva r2 = sen2θ

23 Determinando interseções de gráficos polares:

24 EXEMPLO 10. Coordenadas polares enganosas.
Mostre que o ponto (2,π/2) está na curva r = 2cos2θ

25 EXEMPLO 11. Pontos de intersecção enganosos.
Determine os pontos de intersecção das curvas r2 = 4cosθ e r = 1 - cos θ

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29 Quando um cálculo em física, engenharia ou geometria envolve um cilindro, um cone ou uma esfera, freqüentemente podemos simplificar nosso trabalho usando coordenadas cilíndricas ou esféricas. O procedimento de transformação para essas coordenadas é semelhante à transformação para coordenadas polares no plano.

30 Coordenadas cilíndricas:
Obtemos coordenadas cilíndricas para o espaço combinando coordenadas polares no plano xy com o eixo z usual. Isso associa a cada ponto no espaço uma ou mais ternas ordenadas da forma (r,θ,z) como mostra a figura.

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32 Em coordenadas cilíndricas, a equação r = a não descreve apenas uma circunferência no plano xy, mas um cilindro inteiro em relação ao eixo z (figura). * O eixo z é dado por r = 0. * A eq. θ = θo descreve o plano que contém z e forma um ângulo θo com o eixo x positivo. * Como nas coord. cartesianas, a equação z = zo descreve um plano perpendicular ao eixo z.

33 OBS.: Coordenadas cilíndricas são boas para descrever cilindros cujos eixos coincidem com o eixo z e planos que contêm o eixo z ou são perpendiculares a ele. Superfícies como essas tem equações de coordenadas constantes: r = cilindro, raio 4, eixo coincide com o eixo z. θ = π/3 plano contendo o eixo z. z = plano perpendicular ao eixo z.

34 Coordenadas esféricas:
Coordenadas esféricas posicionam pontos no espaço com dois ângulos e uma distância (figura). A 1ª coordenada, ρ = |OP|, é a distância do ponto à origem. Diferentemente de r, a variável ρ nunca é negativa. A 2ª coordenada, φ, é o ângulo que OP forma com o eixo z positivo. É necessário que esteja no intervalo [0,π]. A 3ª coordenada é o ângulo θ como medido nas coordenadas cilíndricas.

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36 Nos mapas da Terra, θ está relacionada ao meridiano de um ponto na Terra, φ corresponde a sua latitude e ρ está relacionada à elevação acima da superfície terrestre. * A eq. ρ = a descreve a esfera de raio a centrada na origem (figura). * A eq. φ = φo descreve um cone simples cujo vértice está na origem e cujo eixo é o eixo z. * A eq. θ = θo descreve o semiplano que contém o eixo z e forma um ângulo θo com o eixo x positivo.

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38 OBS.: Coordenadas esféricas são boas para descrever esferas centradas na origem, semiplanos com fronteira no eixo z e cones de uma folha cujos vértices estão na origem e cujos eixos se encontram ao longo do eixo z. Superfícies como essas tem equações de coordenadas constantes: ρ = esfera, raio 4, centro na origem. φ = π/3 cone abrindo-se da origem, formado com um ângulo de π/3 radianos com o eixo z positivo. θ = π/3 semiplano, com fronteira igual ao eixo z, formando um ângulo de π/3 radianos com o eixo x positivo.