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PublicouVagner Coimbra Farias Alterado mais de 9 anos atrás
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1 Teoria de 1ª Ordem Def. 18 Dado um conjunto A, dizemos que um subconjunto A’ de A é decidível se e somente se existir um procedimento efetivo (um algoritmo) tal que, dado qualquer a A, pare com SIM se a A’ e pare com NÃO se a A’. Def. 19 Uma Teoria de 1ª Ordem (ou simples- mente uma Teoria) é um par T =, onde S é um alfabeto de 1ª ordem e é um conjunto de sentenças de L(S) fechado por consequência lógica.
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2 Teoria de 1ª Ordem Def.20 Uma teoria T = é axiomatizável se e somente se existe um subconjunto decidível ’ de tal que se e somente se ’ |= . As sentenças em ’ são os axiomas de T. Def.21 Uma teoria T é finitamente axiomatizável se e somente se T for axiomatizável por um conjunto finito de sentenças (axiomas). Def.22 Um modelo para uma teoria T = é um modelo para .
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3 Teoria de 1ª Ordem Podemos expandir uma teoria com novos símbolos predicativos ou funcionais. Exemplo: Suponha uma teoria sobre os naturais onde “=“ e “>“ são símbolos predicativos binários do alfabeto definido.O que fazer para usar o símbolo “ ”? Solução 1: “ ” significa “t = u t > u”. Solução 2: Expandir a teoria incluindo o predicado “ ” no alfabeto e acrescentando o axioma de definição de “ ” x y(x y x = y x > y)
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4 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema Descrição do Problema considere um dicionário contendo os programas e os arquivos usados em um determinado sistema. cada programa possui como atributo apenas a linguagem em que foi escrito. cada arquivo possui como atributo apenas o tipo de organização física. o dicionário mantém os arquivos usados e os programas chamados por cada programa.
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5 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Formalização do Problema T = como descrever a organização lógica do dicionário (o alfabeto - S) como descrever um estado consistente do dicionário em um determinado instante (as sentenças sobre a teoria - )
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6 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Alfabeto do dicionário (AD): constantes: letras minúsculas do alfabeto da Língua Portuguesa símbolos predicativos binários: “programa”, “arquivo”, “chama”, “usa”, “depende”
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7 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Significados pretendido em AD : constantes : nomes de programas, arquivos, linguagens de programação e tipos de organização de arquivos. programa(n, m): o programa n é escrito na linguagem m. arquivo(n, m) : o arquivo n tem organização m. chama(n, m) : o programa n chama o programa m. usa(n, m) : o programa n usa o arquivo m. depende(n, m) : o programa n usa ou chama direta ou indiretamente m.
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8 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Definição da teoria do Dicionário (restrições): 1. As únicas Linguagens permitidas são Fortran, Java ou Pascal 2. Todo programa é escrito em uma única linguagem 3. As únicas organizações de arquivos permitidas são Sequencial, Direta ou Indexada
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9 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Definição da teoria do Dicionário (restrições): 4. Todo arquivo possui uma única organização física 5. Se x chama y então x e y são programas no dicionário 6. Se x usa y então x é um programa e y é um arquivo no dicionário
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10 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Definição da teoria do Dicionário (restrições): 7. Se x chama y então x depende de y 8. Se x usa y então x depende y 9. Se x depende de z e z depende de y então x depende de y
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11 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Escrevendo a teoria no alfabeto de 1a Ordem 1. As únicas Linguagens permitidas são Fortran, Java ou Pascal x y( programa(x, y) (y = fortran y = Java y = pascal) ) 2. Todo programa é escrito em uma única linguagem x y z( (programa(x, y) & programa(x, z)) (y = z))
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12 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Escrevendo a teoria no alfabeto de 1a Ordem 5. Se x chama y então x e y são programas x y(chama(x, y) ( z(programa(x, z))& w(programa(y, w)))) 9. Se x depende de z e z depende de y então x depende de de y x y z( x y z((depende(x, z) & depende(z, y)) depende(x, y))
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13 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem 1. x y(programa(x, y) (y = fortran y = java y = pascal)) 2. x y z((programa(x, y) & programa(x, z)) (y = z)) 3. x y(arquivo(x, y) (y = sequencial y = direto y = indexado))
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14 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem 4. x y z ((arquivo(x, y) & arquivo(x, z)) (y = z)) 5. x y(chama(x, y) ( z(programa(x, z))& w(programa(y, w)))) 6. x y(usa(x, y) ( z(programa(x, z))& w(arquivo(y, w))))
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15 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem 7. x y(chama(x, y) depende(x, y)) 8. x y(usa(x, y) depende(x, y)) 9. x y z((depende(x, z) & depende(z, y)) depende(x, y))
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16 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Segue exemplo de uma interpretação I que satisfaz as restrições desse dicionário, ou seja, que é um modelo para ou ainda, que é um estado consistente para esse dicionário
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17 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) programa I (A, FORTRAN)usa I (A, D) programa I (B, PASCAL)usa I (B, E) programa I (C, FORTRAN) depende I (A, B) arquivo I (D, SEQUENCIAL) depende I (A, C) arquivo I (E, DIRETO)depende I (A, D) depende I (B, E) chama I (A, B)depende I (A, E) chama I (A, C)
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18 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) É interessante observar que um determinado estado consistente, como a interpretação I, também pode ser escrito por uma teoria cujos axiomas representam: os dados (fatos) armazenados no Dicionário, através de fórmulas atômicas as propriedades desejadas de “depende”
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19 Teoria equivalente a Interpretação I 1.programa(a, fortran) 2.programa(b, pascal) 3.programa(c, fortran)F 4.arquivo(d, sequencial)A 5.arquivo(e, direto)T 6.chama(a, b)O 7.chama(a, c)S 8.usa(a, d) 9. usa(b, e) R 10. x y(chama(x, y) depende(x, y))E 11. x y(usa(x, y) depende(x, y))G 12. x y z((depende(x, z) & depende(z, y)) R depende(x, y))A S
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20 Um Sistema Formal Axiomático (SFA) Apresentação de um “cálculo” permitindo verificar se uma fórmula de 1ª ordem é consequência lógica de um conjunto de fórmulas.
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21 Um SFA Def.23 é uma generalização de se e somente se for da forma x 1... x n ( ), para n > 0 e variáveis x 1,...,x n. Def.24 Uma fórmula de 1ª Ordem é uma tautologia se ela puder ser mapeada em uma tautologia da Lógica Proposicional.
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22 Um SFA Def.25 Um Sistema Formal Axiomático é uma tripla S =, onde: L : uma linguagem de 1ª ordem A : um conjunto de sentenças chamadas axiomas lógicos R : um conjunto de regras de inferência
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23 Um SFA Exemplo:Um SFA denominado S. S =, onde: L : uma linguagem de 1ª ordem R: uma regra de inferência Modus Ponens: { → } ├ A: um conjunto de axiomas classificados em 5 Grupos:
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24 Um SFA A : todas as generalizações de fórmulas da forma: Grupo 0: traduz a Lóg. Proposicional p/ S (A v B) (~A B) (A ^ B) ~(A ~B) (A B) (A B)^(B A) Grupo 1: traduz em ~ x( ) → x(~ ) x( ) ~ x(~ )
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25 Um SFA Os três grupos que seguem dizem respeito às propriedades do Grupo 2: x 1... x n ( ) [x 1 /t 1,...,x n /t n ] (se x i for substituível por t i em Grupo 3: x( ) ( x( ) x( )) Grupo 4: x( ) (se x não ocorre livre em
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26 Um SFA: Exemplo de uma derivação (prova) em S { x(P(x) Q(x)), x(P(x))} |- x(Q(x)) 1. x(P(x) Q(x))P ( ) 2. x(P(x))P ( ) 3. x(P(x) Q(x)) ( x(P(x)) x(Q(x))) Grp. 3 4. x(P(x)) x(Q(x)) 1, 3 MP 5. x(Q(x)) 2, 4 MP
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27 Um SFA: Um outro Exemplo de derivação (prova) em S Seja a formalização de um estado do “Dicionário” como uma teoria e a fórmula : depende(a, e). A derivação de a partir de no sistema S, — é dada a seguir:
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28 — depende (a,e) 1. chama(a, b) 2. usa(b, e) 3. x y(chama(x, y) depende(x, y)) 4. x y(usa(x, y) depende(x, y)) 5. x y z((depende(x, z) (depende(z, y) depende(x, y))) 6. x y (chama(x, y) depende(x, y)) (chama(a, b) depende(a, b))Grupo 2 7. chama(a, b) depende(a, b)3, 6 MP 8. depende(a, b)1, 7 MP 9. x y(usa(x, y) depende(x, y)) (usa(b, e) depende(b, e))Grupo 2 10. usa(b, e) depende(b, e)4, 9 MP 11. depende(b, e)2, 10MP 12. x y z((depende(x, z) (depende(z, y) depende(x, y))) (depende(a, b) (depende(b, e) depende(a, e))) Grupo 2 13. depende(a, b) (depende(b, e) depende(a, e)) 5, 12 MP 14. depende(b, e) depende(a, e) 8, 13 MP 15. depende(a, e) MP 11c/14
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