Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados

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1 Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados
Raimundo Rocha dos Santos Apoio: Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”

2 Esquema do mini-curso Introdução MC para Sistemas Clássicos
QMC a T finita: Preliminares QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com Determinante Fermiônico Instabilidade a Baixas Temperaturas O Problema do Sinal Negativo Exemplos Supercondutividade O Modelo de Hubbard Atrativo Metais, Isolantes ou Supercondutores? Efeitos de Desordem Conclusões e Perspectivas

3 Introdução A aproximação de elétrons indepen-dentes com o modelo de bandas expli-ca boa parte dos comportamentos observados: metais isolantes semicondutores

4 elétrons quase-livres
Elétrons (independentes) em sólidos: potencial cristalino periódico a a a  elétrons quase-livres [menos localizados] limite atômico [mais localizados] dE dE Pergunta: quantos estados quânticos há num intervalo de energia dE ?

5 Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)
Metal Isolante ou Semicondutor Depende da magnitude do gap: isolante se  eV semicondutor se  0.1 eV

6 tem maior chance de encontrar outro elétron no mesmo núcleo
Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ): maior tendência à localização  elétron passa mais tempo perto do núcleo  tem maior chance de encontrar outro elétron no mesmo núcleo  interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons não pode mais ser desprezada  os e se movimentam solidariamente, para minimizar a energia fortemente correlacionados

7 Supercondutores de Alta Temperatura

8 Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):
Metal ???? Incluindo correlação, o comportamento isolante (correto!) é obtido

9 Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar
propriedades coletivas  Mecânica Estatística Perguntas típicas que se quer responder sobre um determinado sistema: ele pode ser magnético? qual o arranjo? é metálico? é isolante? pode ser supercondutor? como a carga está distribuída espacialmente? estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?

10 Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais, os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo fundamental Espectro:  Pelo menos duas escalas de energia: kBT e : se kBT >> , o fato dos níveis serem discretos não importa sistema “clássico” se kBT  , a ausência de estados acessíveis pode ser crucial (e.g., gap supercondutor) sistema quântico fenômenos temporais inseparáveis:   h/2  dimensões extras

11 Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p. ex
Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p.ex., elétrons, buracos, etc.) em cristais: interplay entre graus de liberdade de carga e de spin i.e., distribuição espacial de carga, propriedades de transporte (condutividade) Ordenamento magnético Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado

12 Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes (spins localizados serão pensados como um caso limite) Modelos: através de modelos (essencialmente de uma Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento observado Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”, ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que permitam caracterizar as propriedades físicas. As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a extrema importância da análise de dados.

13 Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg
j 1os. viz. apenas Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo  Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo  N.B.: Os mágnons são as excitações de mais baixa energia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0 em d  2. O que ocorre no estado fundamental? Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d E os AFM’s ?????

14  ???? Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numa
rede bipartite:  (i.e., que pode ser de-composta em duas sub-redes,  e , equivalentes, como as redes quadrada, cúbica simples, etc) Flutuações quânticas  efeitos não-triviais no estado fundamental (T = 0) de antiferromagnetos P.ex., ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de comutação não são preservadas se S < : ???? d = 1  quase-ordem (correlações decaem com lei de potên- cia, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato). d = 2  há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]

15 Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard
Favorece o salto dos férmions entre sítios (termo de banda) Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital  termo de correlação† Competição entre graus de liberdade de carga e de spin Hubbard  Heisenberg AFM para um e por sítio (banda semi-cheia) quando U  t † para uma apresentação .ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc.”

16 O papel da dimensão espacial:
em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance  quase-ordem itinerância  onda de densidade de spin (SDW)

17 Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s
Brown and Grüner (1994)

18 Se período da CDW incomen-surável com a rede
[i.e.,   r a; r racional e a parâmetro de rede]  transporte de corrente é não-ômico ômico não-ômico Explicação: analogia mecânica Brown and Grüner (1994) Importante determinar o período da CDW

19 Acredita-se que nos su-percondutores de alta tem-peratura haja um equilí-brio entre o ordenamento de spin (AFM, não SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.): As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM

20 Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores
Formação de CDW [onda de densidade de carga] novo ingrediente: ordenamento direcional dos orbitais d do Mn

21 Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para
sistemas de tamanhos finitos? P.ex., comportamento magnético (FM de Ising) magnetização:    (não há quebra de simetria)   suscetibilidade:  tem máximo na transição  OK função de correlação: (r) decai com a distância com lei de potência (se crítica)

22 Magnetização e suscetibilidade:
Como o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos aspectos quânticos (i.e., não-comutação) : evolução “temporal”

23 MC para sistemas clássicos
Modelo de Ising (spin-½): S  S z  S =  1 N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois estados  Espaço de fases tem 2N configurações: Para modelos clássicos, cada configuração corresponde a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a ela uma energia E ({S}).

24 Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma soma sobre todas as configurações.
Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é algumas configurações são menos prováveis que outras por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as configurações como se fossem igualmente importantes?

25 Amostragem por importância: um exemplo simples
Aproximemos a integral por uma soma discreta: se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no intervalo [0,1]: fi  f (xi), i = 1,...M são variáveis aleatórias independentes dois modos de se diminuir o erro: M  diminuir f

26 Amostragem de f/w sobre pontos y distribuídos uniformente
Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que Definindo a integral I pode ser escrita como Amostragem de f/w sobre pontos y distribuídos uniformente

27 Escolhendo w t.q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um erro pequeno
y dx=dy/w x Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior Amostragem por importância

28 O algoritmo de Metropolis et al
O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por importância do espaço de fases: as configurações vão sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior {S} {S}’ A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma propriedade local; i.e., depende apenas dos spins em torno daquele que se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J

29 A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é:
Se W > 1, a nova configuração é aceita. Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W N.B.: A possibilidade de aceitar uma configuração menos provável simula o efeito das flutuações térmicas! Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o spin e verifique se a nova configuração é aceita. Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule grandezas de interesse A({S}). A pode ser, p.ex., magnetização, energia, suscetibilidades, calor específico, etc.

30 Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e uma
estimativa para a média no ensemble é dada por Alguns comentários técnicos, mas muito importantes: Cada varredura da rede é considerada como um passo de MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de “tempo”. Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo número de passos até que o sistema termalize e as médias passem a flutuar pouco; este número de passos depende da temperatura e de características do próprio sistema, como, p.ex., interações e/ou desordem.

31 Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por construção, as configurações mantêm uma certa correlação entre si. Solução: promediar diferentes Ā  M .... Ā1 Ā2 ĀG barra de erro 

32 Efeitos de tamanho finito.
Quais as escalas de comprimento importantes? o tamanho linear, L; o comprimento de correlação,   |T – Tc|  Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duas escalas: L /  Segue daí a teoria de finite-size scaling [prevê como os máximos nas diferentes grandezas (p.ex., suscetibilidade, calor específico,, etc.) se tornam singularidades ao nos aproximarmos do limite termodinâmico]: X é qq grandeza TD FSS auxilia nas determinações de Tc , da natureza das fases e dos expoentes críticos.

33 QMC a T finita: Preliminares
Discutiremos agora apenas sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior abrangência modelo de Hubbard, por ser o mais simples K gran-canônico! V Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada partícula (a rigor, sítio), mas [dos Santos (2003) e refs. lá contidas]

34 Solução: fórmula de Trotter
(1/) termos

35 ... Interpretação de  : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos
Para uma dada temperatura T,  = ( kBT )-1 temos então M fatias “temporais” , M =    ... i1  i2  i3  iM  i1 

36 O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na
direção temporal dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 ) M   quando T  0 Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função de partição, Z  , a qual deve, em princípio, ser extrapolada para   0 Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os estados de cada sítio individualmente, mas  precisamos de uma nova aproximação

37  x 2a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez
Exemplo em d = 1: H = HA + HB HA = H12 + H34 + H56 +  HB = H01 + H23 + H45 +  2  x 1 2 3 4 

38 Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas:
H = HA + HB Resumindo as 2 aproximações: Trotter para introduzir dimensão temporal introduz erros sistemáticos da ordem de 2 Decomposição em tabuleiro de xadrez introduz erros sistemáticos também da ordem de 2 Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases

39 QMC a T finita : Amostrando o Espaço de Fases com determinante fermiônico
A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação sob a forma cc cccc   não-integrável façamos uma transformação que o leve a cc bilinear “integrável” (e.g., livre)

40 Inspirada na identidade
A transformação de Hubbard-Stratonovich: Inspirada na identidade (A é um operador) A forma quadrática em A é transformada em linear! Custo: introdução de um “campo auxiliar” x. 1a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação Lembrando que, para férmions, n2 = n = 0, 1 temos  m (magnetização) n (carga)

41 Usando a forma em que aparece m2 temos
x se acopla com m U > 0 !!!! m ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n2: x se acopla com n U < 0 !!!! n

42 Para simulações, é mais conveniente que a transformação de Hubbard-Stratonovich seja discreta:
Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são equivalentes a férmions livres em um campo magnético flutuante Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo flutuante acoplando-se com a carga

43 Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo), podemos escrever a gran-função de partição como onde Dℓ () e Os expoentes que aparecem em Dℓ () são bilineares nos operadores fermiônicos...

44 ...e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas.
Demonstração [2 estágios; ver dS (2003) p/ detalhes]: 1. Demonstra-se a identidade onde são os autovalores da matriz 2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante: No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobre os spins fermiônicos...

45 ...isto é, O traço fermiônico pode então ser efetuado: Matrizes Ns  Ns Fator de Boltzmann? Cuidado! O det · det não é necessariamente > 0 Se não for, tome |det · det| (mais sobre isto depois)

46 A simulação: Tomando det O ·det O  como fator de Boltzmann, fazemos a simulação nos {s} Escrevamos O passo de QMC: Estamos no sítio da fatia Obs: det não se altera p/ perm. cíclica dos B’s Todos os elementos são nulos, menos o da posição i da diagonal

47 Este passo de QMC é aceito com probabilidade
Cálculo de R : Necessitamos da função de Green instantânea, i.e., calcu-lada na fatia ℓ, 1  ℓ  M , para uma dada configuração {s}: A razão entre det’s fica trivial se pudermos calcular as g’s instantâneas

48 Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal
Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O , ou, equivalentemen-te, as funções de Green: Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada:  Ns 2 operações! Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna  Ns 2 operações! OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma; periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição

49 A manipulação através de funções de Green é uma das grandes vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já que os valores médios de interesse também podem ser expressos em termos das g’s: O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}: expressos em termos das g’s

50 Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes problemas que discutiremos em seqüência :
instabilidade a baixas temperaturas; sinal negativo do determinante fermiônico.

51 Instabilidade a Baixas Temperaturas
Durante a simulação fazemos o produto de muitas matrizes, como, p.ex., no cálculo de Z ou no cálculo da própria função de Green a partir da definição O Problema: B mal condicionada autovalores que crescem exponencialmente com o inverso da temperatura  níveis de energia negativa (quase sempre ocupados) autovalores ~ 1  níveis de (alta) energia positiva, raramente ocupados (mas Gran-Canônico!)  mistura de escalas difícil de acompanhar numericamente

52 Este problema se manifesta mais gravemente no update das g:
à medida em que T diminui, inicialmente aumenta a freqüência com que g tem que ser calculada a partir da definição à medida em que T diminui ainda mais, o cálculo de g fica impraticável, mesmo a partir da definição Como é baixa a escala de temperaturas de interesse, tem-se que resolver este problema

53 1a Solução Possível: Formulação espaço-tempo [Hirsch 88]
Na formulação “espacial” original, Matrizes NxN N2 ops. por update de g N3 por fatia N3L por rede xt ( M  L ) Um outro extremo é a formulação espaço-temporal: Matrizes NL x NL (NL)2 ops. por update N3L2 por fatia (NL)3 por rede xt A razão entre os maiores e os menores autovalores desta matriz cresce algebricamente com L  melhor comportada para inversão

54 Esta formulação espaço-temporal é inviável: fator L2 sobre a espacial
O melhor mesmo é um procedimento intermediário: agrupe apenas uma fração p das fatias temporais, de modo que L0=L/p fatias sejam colapsadas Matriz Np x Np cujo maior autovalor é da ordem de exp(0), onde  é uma escala típica de energias de 1 partícula, e 0 = L0

55 Vantagem adicional: a inversa de OLo fornece diretamente um conjunto de g’s:
OLo (ℓ) é definida, de modo semelhante, aumentando-se cada indice da matriz anterior de ℓ-1; analogamente para g A escala de updates agora fica (NL)3/L02 por rede xt, e pode-se atingir  ~ 20

56 Matriz diagonal com gran-de variação no espectro
2a Solução Possível: Fatorização de matrizes [White et al 89] Suponha que m matrizes possam ser multiplicadas sem deterioração: Usa-se ortogonalização de Gram-Schmidt para escrever o produto como Matriz ortogonal bem condicionada Matriz triangular bem condicionada Matriz diagonal com gran-de variação no espectro Multiplica-se à esquerda por mais m matrizes e assim sucessivamente, agrupando-se M/m multiplicações:

57 Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20
Para calcular g, devemos isolar D, devido à sua grande variação espectral Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20

58 O Problema do Sinal Negativo
Para o modelo de Hubbard repulsivo, na banda semi-cheia, n = 1, det  det > 0, devido à simetria partícula-buraco Demonstração: Transformação partícula-buraco

59 A Hamiltoniana fica invariante pela simetria partícula-buraco se
 condição para banda semi-cheia Obs.: No caso de hopping entre 2os. vizinhos, p.ex., não há simetria partícula-buraco, de modo que a condição para banda semi-cheia não é conhecida a priori. “Det” sob transformação partícula-buraco

60 Logo, não há problema de sinal para Hubbard repulsivo (hopping de 1os vizinhos apenas) com n =1
Para o modelo atrativo, pode-se mostrar que, para qualquer n , como resultado do campo auxiliar se acoplar com a carga.

61 Vejamos agora o que acontece quando o produto dos det’s é < 0
soma sobre configurações c OK enquanto  s ’ 1

62 2D 3D

63 Fora da banda semi-cheia, desde que trabalhemos na região em que s  0.6, pagando o preço de realizar amostragens mais longas, as médias ainda têm algum sentido. Tamanho da amostragem (independente de s ) determina os erros estatísticos O “problema do sinal negativo” ainda não foi resolvido; veja discussão sobre problemas correntes

64 Exemplos 1. O diagrama de fases do modelo de Hubbard 2-D, a T = 0
Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)

65 Propriedades magnéticas:
operador magnetização: operador momento local: fator de estrutura: suscetibilidade:

66 n = ½, L = 8 n = 1, L = 10 U = 4, β = 10 U = 4, β = 10
Função de correlação: n = 1, L = 10 U = 4, β = 10 n = ½, L = 8 U = 4, β = 10 ··· ··· Correlações AFM’s enfraquecem ao nos afastarmos da banda semi-cheia [White et al 89]

67 Fator de estrutura magnético
S (q) tem pico em (,) S (qx, qy) qx S (, ) Pico em S (,) a T = 0 cresce com L β [White et al 89]

68 Aproximação de onda de spin:
Extrapola para um valor finito  ordem de longo alcance S/N 1/L [White et al 89] Erros sistemáticos não são muito dependentes de β [Hirsch & Tang (89)]

69 Fator de Estrutura para outras densidades:
S (,) só cresce significativamen-te com  para n = 1 Logo, para n  1 o sistema é PM [Hirsch (85); Hirsch & Tang (89)]

70 Pico incomensurável para <n>  1; c.f. espalhamento
[Moreo et al. (90)] Pico incomensurável para <n>  1; c.f. espalhamento de neutrons para LSCO

71 Transição Metal-isolante:
[Moreo et al. (90)] Compressibilidade: Isolante: não se consegue adicionar partículas através de pequenas variações do potencial químico (nível de Fermi)   0   U/2   U/2 Mais tarde: outros critérios para M ou I

72 2. CDW no modelo de Hubbard 1-D, a T = 0
Previsão da teoria de líquidos de Luttinger: [Voit(1994)] kF -kF   k   2kF   n; n é a densidade eletrônica K caracteriza a intensidade da interação r p K F x x) k A n 4 2 / 3 1 cos( ln ) ( + = ñ á Para o modelo de Hubbard prevê-se que K  1/2  2kF mais importante que 4kF

73 Distribuição de carga:
operador densidade de carga: fator de estrutura: suscetibilidade:

74 Sem efeitos de tamanho finito ou temperatura finita: simulações
U crescente: 4kF ainda cresce para T 0, 2kF estabiliza (Ns  36 sites) Sem efeitos de tamanho finito ou temperatura finita: simulações com   Ns  96  N(4kF)  ln  [Paiva & dS (00a)]

75 Logo, o modo de carga com 4kF de fato predomina sobre o com 2kF,
ao menos para valores de U suficientemente grandes. Acordo com descrição de LL : amplitude A1(n,U) de 2kF  0 para U  U  (n) Esquematicamente: n 1 2kF U  (n) 4kF U [Paiva & dS (00a)]

76 3. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 1-D
Diagrama de fases para U=0 t2 Simetria partícula-buraco: n  1- n e t2  - t2 Questões de interesse: (1. Supercondutividade/ Gap de Spin?) 2. Rota para o Ferromagnetismo?

77 Compostos do tipo “escadas” (ladder)
SrCu2O3 Sr2Cu3O5 t1 SrCuO2 t2

78 Ferromagnetismo [Ghosh e RRdS, 99]
U = 2t

79 A presença de t2 estabiliza a fase FM em uma região de parâmetros
U = 2t A presença de t2 estabiliza a fase FM em uma região de parâmetros O pico FM já aparece para U  6t quando t2 = 0.15 a região FM do diagrama acima move-se para baixo quando U aumenta “Problemas de sinal negativo” não permitem verificar a SUC para valores maiores de t2

80 Supercondutividade 1. Fenomenologia Resistência nula Metal normal

81 Efeito Meissner

82 2. Condução em Metais Considere cargas negativas em um potencial periódico momento energia momento energia E  dens. de corrente Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis

83 Como evitar dissipação?
Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi

84 3. Interação elétron-elétron
A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons; pode chegar a ser atrativa em alguns casos. constante dielétrica 

85 4. A Teoria BCS: termo livre (banda) Solução variacional:

86 A equação do gap: SUC’s convencionais

87 F A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinte forma:
Estados desocupados F 2 Estados ocupados Gás de e `s + interação atrativa

88  E Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2): todos têm KCM = 0
energia momento energia momento E  todos têm KCM = 0 Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado: KCM  KCM dos demais pares   alto custo energético (gap!) Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência

89 5. Supercondutividade no modelo de Hubbard repulsivo 2D?
Por quê [Anderson, 87] ? O estado fundamental do modelo de Hubbard, fora da banda semi-cheia, seria o de fortes correlações AFM’s de curto alcance. Os férmions (buracos no contexto da maioria dos SUC’s de alta T) formariam pares singletes ressonantes [RVB] pares de Cooper?

90 Propriedades supercondutoras:
operador de emparelhamento: fr (k) = pares no estado s fr (k) = cos kx  cos ky pares no estado d fr (k) = cos kx + cos ky pares no estado s* (estendido) suscetibilidade uniforme (q=0):

91 Pr 1os resultados de QMC [Hirsch & Lin ’88]
Ao ligar a interação, as suscetibilidades de pares ficam menores que as do caso livre. Sem tendência a emparelhamento

92 Outros resultados de QMC [White et al ’89]
Suscetibilidade total Parte descorrelacionada retirada Se o enhancement tivesse sido significativo (FSS, T mais baxas, etc), seria forte evidência para a formação de pares Logo não há, ainda, sérias evidências numéricas para SUC no modelo de Hubbard repulsivo

93 Singularidade de van Hove
6. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 2-D Densidades de estados (U=0) Singularidade de van Hove Há expectativas de que a presença da singularidade de van Hove favoreça um estado supercondutor [BCS: Tc~ exp[-1/(F)|V|] Só que quando t2=0, a singularidade ocorre no estado isolante; se t20, a singularidade fica deslocada para a região metálica.

94 Solução de campo médio (Hartree-Fock) a T = 0:

95 Sem evidência de FM nos intervalos estudados
[Huang et al. (01)] 88, n  = 42/64  0.66 t2<0 as correlações magnéticas na direção diagonal diminuem; aumentam na direção da face t2>0 comportamento oposto [c.f. espalhamento de nêutrons em cupratos] As correlações de carga têm comportamento com t2 oposto ao das correlações magnéticas. 1010, n =0.74 Sem evidência de FM nos intervalos estudados

96 Indicações de SUC: 4x4, t2 = 0.4 n = 1.1 U=0  U=4 A presença de U aumenta a suscetibilidade de pares (onda-d), quando comparada ao caso livre. Não foi possível à época realizar um estudo mais sistemático: FSS, <n>, etc.; probs: sinal negativo, tempo, etc. 6x6, t2 = 0.4 n = 1.5 U=0  U=4 [dos Santos, 89]

97 t/’ t\’ ty tx t’’ 12x12 <n>=0.82 t’=-0.43 t’’= 0.07 U=1 12x12
[Kuroki e Aoki (98)] t/’ t\’ ty tx t’’ Estendem o espaço de parâmetros para que o espectro fique com níveis pouco espaçados 12x12 <n>=0.82 t’=-0.43 t’’= 0.07 U=1 12x12 <n>=1.32 t’=-0.5 t’’= 0 U=1

98 O Modelo de Hubbard Atrativo
Características: Emparelhamento no espaço real, ao contrário de BCS. Equivale a BCS para |U| << t Apresenta gap (para excitações) de spin SUC’s de alta T Mais amigável para cálculos numéricos pode ser usado como modelo efetivo para entender diversas propriedades de supercondutores (p.ex., desordem) Tc T* (região de pares pré-formados; gap de spin) |U| [Micnas et al. (90)]

99 Algumas propriedades [Emery (76), dS(93)] :
1. Transformação partícula-buraco parcial: Interação Repulsiva acoplamento com campo magnético (z)

100 Ainda como conseqüência desta transformação,
U < 0 U > 0 correlações de pares  correlações antiferromagnéticas XX e YY correlações de carga  correlações antiferromagnéticas ZZ

101 2. Limite de acoplamento forte U >> t :
Façamos o limite de acoplamento forte em H ’ AFM de Heisenberg com campo uniforme na direção z: se h = 0, ordem tipo Heisenberg isotrópico se h  0, ordem tipo XY O que isto implica para nosso modelo atrativo original? se a banda é semi-cheia: coexistência CDW + SUC fora da banda semi-cheia: somente SUC a dimensão espacial define se a ordem é de longo alcance, e/ou se persiste a T > 0

102 Análise de QMC em 2D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, dS et al
Análise de QMC em 2D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, dS et al. (04)]: sem sinal negativo! Função de corelação de pares com Em 2D: banda semi-cheia: Heisenberg isotrópico  só há ordem de longo alcance a T=0 fora da banda semi-cheia: modelo XY  há quase-ordem a T < Tc  Kosterlitz-Thouless Finite-size scaling: K-T:  = ¼

103 Cruzamentos: estimativa de Tc para <n>
L=4 Cruzamentos: estimativa de Tc para <n> 18 Variando-se <n> obtém-se Tc (<n>) [Paiva, dS, et al. (04)]

104 Expansões em série para o modelo XY:  = 0 FSS:
Em 3D: Expansões em série para o modelo XY:  = 0 FSS: L = 3 ?? L = 4 L = 6 [dos Santos (94)]

105 Lz Ly Lx Qual a dimensão linear deste sistema?
Para 4x4x2, temos L1 = 2.83, L2 = 3, e L3 = 3.17 Escolhe-se a definição que aproxima os encontros no scaling plot [dos Santos (94)]

106 Suscetibiliade uniforme:
tipo Pauli (na rede) tipo spin gap pares pré-formados [dos Santos (94)]

107 O máximo de Tc não parece variar muito com U.
 QMC no mod repulsivo Sols. variacionais U O máximo de Tc não parece variar muito com U. [dos Santos (94)]

108 Metais, Isolantes ou Supercondutores?
Motivação: Como determinar, através de simulações, se o estado fundamental é SUC, sem supor qualquer simetria para o estado do par? (E, caso não seja, determinar se é isolante ou metal) Idéia básica: resposta do sistema (anel ou toróide) a um fluxo magnético [Scalapino et al. (93)] Considere a componente x do operador densidade de corrente e sua função de correlação espaço – i-temporal

109 Tomemos a transformada de Fourier (no espaço e no i-tempo) da função de correlação
Agora podemos definir os limites longitudinal transverso

110 Testes: Hubbard repulsivo e atrativo na rede quadrada com QMC
Definamos também a energia cinética associada aos links na direção x Regra de soma impõe que deve sempre ser veri-ficada através de cál-culos explícitos Testes: Hubbard repulsivo e atrativo na rede quadrada com QMC

111 Kx N.B.: Os q são discretos: limq0 sujeito a erros de extrapolação OK: L = Kx a cada temperatura Kx

112 Como resultado do Efeito Meissner, o parâmetro de ordem supercondutor (densidade superfluida) é dado por Fase SUC: s  0 como resultado da simetria L -T (ou Kx- T) ser quebrada

113 s = 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante
Kx Hubbard atrativo fora da banda semi-cheia Note efeito de temperatura: para  = 2, s = 0 para  = 6, 10 s  0 consistente com transição de K-T a T finita Kx

114 Cuidado com análise a T fixa: aparente fase SUC na banda semi-cheia.
Hubbard atrativo Cuidado com análise a T fixa: aparente fase SUC na banda semi-cheia. Kx Hubbard atrativo a  = 10: s extraída a partir de T calcu-lada no menor qy disponível

115 s = 0: não-SUC; mas cuidado com efeitos de tamanho finito
Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia (sinal negativo!): s = 0: não-SUC s = 0: não-SUC; mas cuidado com efeitos de tamanho finito

116 E quando o sistema não fôr SUC, podemos dizer se é M ou I?
Examinemos, então, a condutividade: D é o peso de Drude ( densidade de transportadores/massa); logo Isolante  D = 0 Metal  D  0 D pode ser calculado como O lim0 é mais eficientemente tomado numericamente em termos das freqüências de Matsubara

117 D  0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante; atenção para efeitos de tamanho
-Kx D  D0 : Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia é metálico. Cuidado: isto não quer dizer que o sistema seja metálico a T > 0. Isto é pq T <  para excitações de partícula-buraco; para T fixa e L , teríamos, necessariamente, D  0 -Kx

118 D  D0 (zero resistência)
Kx Hubbard atrativo a  = 10: D  D0 (zero resistência)

119 Efeitos de Desordem Motivação: Todos os sistemas estudados até agora eram puros. Quais são os efeitos de impurezas – isto é, componentes que se comportam de modo diferente da maioria – nas propriedades físicas dos materiais? Exemplos: átomos magnéticos diluídos em matrizes não-magnéticas; átomos de uma espécie diluídos em matrizes de outra; diferentes níveis atômicos ou integrais de hopping sítios com U = 0 diluídos em matriz de sítios com U < 0 etc.

120 2 tipos de desordem, caracterizadas pelas relações entre as escalas de tempo envolvidas: Sejam
 – tempos característicos da dinâmica das interações; p.ex.: tempos de flutuação dos spins; tempos de hopping de elétrons, pares de Cooper, etc.  i – tempos associados à difusão das impurezas pela matriz hospedeira Se  ~  i a configuração (posição, etc.) das impurezas é determinada pelas condições de equilíbrio  desordem recozida (annealed) P.ex., para um isolante magnético: Se  <<  i a configuração (posição, etc.) das impurezas é totalmente aleatória e congelada.  desordem temperada (quenched) P.ex., para um isolante magnético:

121 Consideraremos aqui apenas desordem temperada
No caso de simulações, gera-se uma configuração de desordem e executa-se os passos como antes: termalização, promediação, etc. Repete-se para um certo número de configurações de desordem, e faz-se a média das grandezas sobre as diferentes realizações de desordem.

122 Supercondutores desordenados
Quanto podemos dopar um supercondutor até que ele fique normal (isolante ou metal)? Questão ainda mais interessante em 2-D (filmes bem finos): supercondutividade é marginal transição de Kosterlitz-Thouless coomportamento metálico (e- livres) também marginal Localização para qq desordem (expts. recentes: MIT possível?)

123 t Mo77Ge23 film Desordem em escalas atômicas: filmes amorfos sputtered
Sheet resistance: R a uma temperatura fixa pode ser usada como medida de disordem t ℓ Mo77Ge23 film CRITICAL TEMPERATURE Tc (kelvin) independe do tamanho do quadrado SHEET RESISTANCE AT T = 300K (ohms) Tc decresce com a desordem: blindagem da repulsão coulombiana é enfraquecida [J Graybeal and M Beasley (1984)]

124 Modelo para estudo da desordem:
Ui = 0 com prob f Ui = U com prob 1-f Potencial químico: controla # de elétrons Inicialmente T  0: efeito da desordem no estado fundamental QMC  onde Aprox de onda de spin  gap supercondutor [Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]

125 Transição não-percolativa: fc < 0.41
aumento da ordem por desordem Impurezas inibem CDW  só resta parâmetro de ordem de 2 componentes (reflexo do que ocorre a T >0) Em andamento: T > 0 [D Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]

126 Conclusões e Perspectivas
QMC é um método poderoso para o estudo de sistemas fortemente correlacionados Deve ser acompanhado de uma análise de dados criteriosa O problema da instabilidade a baixas T foi contornado O problema do sinal ainda está aberto (veja próximo slide) Perspectivas: Adaptação para o estudo de modelos multi-orbitais deve ser buscada; e.g., Anderson Acoplamento de férmions com momentos localizados (tipo Kondo): propostas de THS já feitas em alguns trabalhos [Assaad (99)] Dissipação Quântica [Capriotti et al., (2002)]

127 O sinal negativo A origem do problema:
Façamos a THS nas ℓ primeiras fatias temporais P0 = Z > 0 2N valores de P1 emergem de P0 A amostragem é feita em ℓ=M; se considerássemos todas as possíveis configurações, PM teria # de valores positivos ligeiramente (exp a baixas T ’s!) maior que negativos. ℓ {SW Zhang [1999(a)(b)]}

128

129 Referências PW Anderson, Science 235, 1196 (1987).
FF Assaad, Phys Rev Lett 83, 796 (1999) S Brown and G Grüner, Sci Am 270 (4), 28 (1994) L Capriotti et al, Europhys Lett 58, 155 (2002) R R dos Santos, Phys Rev B 39, 7259 (1989) R R dos Santos, Phys Rev B 48, 3976 (1993) R R dos Santos, Phys Rev B 50, R635 (1994) R R dos Santos, Braz J Phys 33, 36 (2003) VJ Emery, Phys Rev B 14, 2989 (1976) H Ghosh and R R dos Santos, J.Phys.:Condens.Matt 11, 4499 (1999) J Graybeal and M Beasley, Phys Rev B 29, 4167 (1984) J E Hirsch, Phys.Rev.B 31, 4403 (1985) J E Hirsch, Phys.Rev.B 38, (1988) J E Hirsch and HQ Lin, Phys.Rev.B 37, 5070 (1988) J E Hirsch and S Tang, Phys.Rev.Lett. 62, 591 (1989) Z B Huang et al., Phys.Rev.B 64, (2001)

130 D Hurt, E Odabashian, W Pickett, RT Scalettar, F Mondaini, T Paiva e R R dos Santos, Phys Rev B 72, (2005). K Kuroki e H Aoki., J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1533 (1998) R Micnas et al., Rev Mod Phys 62, 113 (1990) A Moreo et al., Phys Rev B 41, 2313 (1990) A Moreo and DJ Scalapino, Phys.Rev.Lett. 66, 946 (1991) T Paiva and R R dos Santos, Phys.Rev.B 61, (2000) [a] T Paiva, R R dos Santos, RT Scalettar, e PJH Denteneer, Phys Rev B 69, (2004). J D Reger and A P Young, Phys.Rev.B 37, 5978 (1988) D J Scalapino et al. , Phys.Rev.B 47, 7995 (1993) J Voit, Rep.Prog.Phys. 57, 977 (1994) W von der Linden, Phys.Rep.220, 53 (1992) S Wessel et al., Phys Rev Lett 86, 1086 (2001) S R White et al., Phys.Rev.B 40, 506 (1989) Yokoyama and Shiba, J Phys Soc Jpn 56, 3582 (1987) S W Zhang, cond-mat/ [a] S W Zhang, Phys Rev Lett 83, 2777 (1999) [b]