30 Novembro 2007Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 1º Semestre 2007/2008.

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1 30 Novembro 2007Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 1º Semestre 2007/2008

2 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 2 Listas - Criação Uma lista é uma sequência de dados do mesmo tipo, simples ou complexo, para as quais estão definidas (em Octave) as operações básicas ed criação, adição, acesso e alteração. Criação: list(elem_1, elem_2,..., elem_k) Cria uma lista, com os elementos de 1 a k. Nota 1: A lista pode ser vazia ! Nota 2: Geralmente, pretende-se que todos os elementos tenham o mesmo tipo. No entanto, uma lista pode conter elementos de qualquer tipo, ou mesmo ser heterogénea, como indicado >> emps = list() emps = () emp.cod = 25, emp.venc = 1025.7; emps = list(1, ‘estranho’, emp)

3 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 3 Listas – Adição e Acesso A uma lista podem ser adicionados, no seu final, mais elementos, com a instrução Adição: append(nome_lista, elem_1, elem_2,..., elem_k) Exemplo: A lista nums é inicialmente criada com os números 1, 2 e 3, sendo posteriormente acrescentados os números 4 e 5. O acesso ao k-ésimo elemento de uma lista pode ser feito através da instrução Acesso: nth(nome_lista, k) Exemplo: Obter a diferença entre o 3º e o 5º elemento da lista nums, criada anteriormente. dif = nth(nums,3) – nth(nums,5) nums = list(1,2,3); nums = append(nums, 4, 5)

4 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 4 Listas – Alteração A alteração de elementos de uma lista pode ser feita por alteração directa dos seus elementos identificados pelos seus índices. Exemplo 1: Substituir na lista nums, com os números de 0 a 6, os seu 6º elemento (inicialmente com o valor 5) pelo valor 7. Neste caso, a lista nums que se obtem, contem os números (0,1,2,3,4,7,6). Exemplo 2: Substituir na lista nums, anterior, os seus primeiros 2 elementos pelos números 9 e 8. passando, a lista nums, a conter os números (9,8,2,3,4,7,6). nums(6) = 7 nums(1:2) = list(9,8)

5 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 5 Listas – Substituição Em alguns casos, nomeadamente em operações de ordenação, interessa trocar a posição de dois elementos de uma lista. Esta operação pode ser implementada por uma função, troca, que inclui operações de acesso e alteração de uma lista. Mais especificamente, Função troca: A troca dos i-ésimo e j-ésimo elementos de uma lista pode ser feita com a função abaixo.. function lista = troca(lista, i, j); x = nth(lista,i); % guarda o elemento 1 lista(i) = nth(lista,j); % substitui i por j lista(j) = x;% repõe o elemento j em i endfunction

6 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 6 Leitura de Listas Para ilustrar o conceito de lista, vamos considerar o anterior ficheiro com informação sobre empregados e criar uma lista com essa informação. Nota: Assume-se que no ficheiro (‘empresa_aux.txt’) os campos são separados por tabs horizontais e que os espaços dentro dos nomes já forma fobstituidos por espaços especiais (non-break spaces). Como anteriormente, a cada linha do ficheiro corresponde uma estrutura, emp, com os campos cod, nome, venc e data. Por exemplo,

7 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 7 Listas – Substituição A leitura dos vários campos de uma estrutura pode ser feita como anteriormente. Um programa, que cria uma lista, lista_emps, com a informação sobre os empregados do ficheiro “empresa_aux.txt”, é o seguinte: [f_aux, msg] = fopen("empresa_aux.txt", "r"); lista_emps = list(); n = 0; [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); while !feof(f_aux) n = n+1; lista_emps = append(lista_emps, emp); [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); endwhile; fclose(f_aux);

8 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 8 Estruturas e Listas em Funções Estruturas e listas podem ser retornadas como resultado de uma função. Por exemplo, a função abaixo retorna a lista anterior e o número dos seus elementos, (se chamada com o ficheiro de nome “empresa_aux.txt”) function [lista_emps, n] = ler_lista_emps(fname); [f_aux, msg] = fopen(fname, "r"); lista_emps = list(); n = 0; [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); while !feof(f_aux) n = n+1; lista_emps = append(lista_emps, emp); [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); endwhile; fclose(f_aux); endfunction;

9 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 9 Processamento de Listas A partir deste momento, todo o processamento da informação sobre os empregados pode ser feito sem leitura do ficheiro, mas apenas por acesso à lista lista_emps. Vamos ilustrar esta situação em 3 problemas: –Cálculo da média dos vencimentos dos empregados. –Selecção dos empregados com o nome Paulo –Ordenação dos empregados por ordem crescente de antiguidade

10 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 10 Cálculo de Médias em Listas Uma vez lida a informação dos empregados para a lista lista_emps, ela pode ser acedida directamente e passada como parâmetros de entrada em funções. Assim o cálculo do total e da média dos vencimentos é feito pela chamada da função vencimentos, definida abaixo e chamada com o parâmetro lista_emps. Por exemplo, na instrução [m,t] = vencimentos(lista_emps) function [media, total] = vencimentos(lista); total = 0; n = length(lista) for i = 1:n total = total + nth(lista,i).venc; endfor; media = total / n; % printf("o total de vencimentos é %7.2f \n“, total); % printf(“ e a sua média é %7.2f \n", total/n); endfunction;

11 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 11 Selecção de Elementos em Listas Igualmente se podem seleccionar os elementos de uma lista que satisfazem um certo critério. No exemplo abaixo os empregados cujo vencimento é superior a um dado valor são seleccionados e organizados numa lista, emps, que é o resultado da função vencimento_maior. Estes empregados podem ser obtidos pela chamada da função emps_mais_de_1000 = vencimento_maior(lista_emps, 1000) function emps = vencimento_maior(lista, valor); emps = list(); for i = 1:length(lista) emp = nth(lista,i); if emp.venc > valor emps = append(emps, emp); endif; endfor; endfunction;

12 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 12 Selecção de Elementos em Listas O critério utilizado para seleccionar os elementos de uma lista é arbitrário, podendo ser naturalmente outro. No exemplo abaixo são seleccionados, e retornados como resultado da função emps_com_nome, os empregados que têm uma dada palavra no seu nome. Por exemplo, os empregados cujo nome inclui a palavra “Paulo” são retornados pela chamada da função paulos = emps_com_nome(lista_emps, ‘Paulo’) function emps = emps_com_nome(lista, nome); emps = list(); for i = 1:length(lista) emp = nth(lista,i); if index(toupper(emp.nome),toupper(nome))> 0 emps = append(emps, emp); endif; endfor; endfunction;

13 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 13 Ordenação de Listas e Vectores As estruturas de dados lineares (nomeadamente listas e vectores) são frequentemente armazenadas de uma forma ordenada. A ordenação facilita, a pesquisa de informação. Como veremos, numa lista ordenada com n elementos a procura de um elemento pode ser feito com log 2 (n) acessos em vez de n/2 operações (em média). Por exemplo, se uma lista tiver 10 7 = 10 000 000 elementos (por exemplo, o número de portugueses na base de dados do BI), em vez de 5 000 000 de acessos à lista (para encontrar um #BI), são necessários apenas cerca de log 2 (10 7 ) ≈ 23.25, em média. Evidentemente a ordenação tem custos. Mas, como é frequentemente o caso, a ordenação é feita 1 vez, e os acessos muitas vezes, compensa manter as estruturas de dados ordenadas.

14 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 14 Ordenação de Listas e Vectores Analisemos primeiro a ordenação de vectores (ou listas), para o que existem vários algoritmos (de ordenação) com vantagens e desvantagens em diferentes contextos. Uma característica importante dos algoritmos é o espaço de memória utilizado, que não consideraremos neste caso, já que apenas se utiliza o espaço ocupado pelo vector. Outra característica importante é a sua complexidade, medida em número de acessos ao vector. Este número depende naturalmente do número n de elementos da estrutura de dados utilizada. Embora existam algoritmos (quicksort) mais rápidos (necessitam de cerca de n  log 2 n acessos), o que apresentamos (bubblesort) é mais simples de descrever (e implementar?).

15 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 15 Ordenação por Bubble Sort A ideia do algoritmo é comparar dois elementos consecutivos do vector, e trocá- los se tiverem na ordem “errada”. A comparação é feita entre os n-1 pares do vector, por uma determinada ordem, por exemplo (1,2), (2,3),..., (n-1,n). No final deste processo, o último elemento já está bem posicionado. Sem qualquer optimização, pode fazer-se outro varrimento, em que ficará bem colocado o penúltimo elemento. Desta forma, e no pior caso, bastará fazer n-1 varrimentos para garantir que o vector ficou ordenado. No total, e para o pior caso, são feitas (n-1)  comparações em cada um dos (n-1) varrimentos, em que algumas comparações resultam em trocas. Desta forma serão feitas (n-1) 2 comparações, pelo que a complexidade será quadrática no número de elementos do vector, isto é lim (n-1) 2  n 2 (para valores de n “grandes”).

16 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 16 Ordenação por Bubble Sort Podemos observar o comportamento deste algoritmo no (pior) caso abaixo, com um vector de 4 elementos, em ordem decrescente que se pretende ordenar de forma crescente!

17 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 17 Bubble Sort (Não Optimizado) A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort com dois ciclos para encadeados. No final destes ciclos o vector está ordenado. function V = bubble_1(V); % bubble sort n = length(V); for k = 1:n-1 % n-1 varrimentos for i = 1:n-1 if V(i) > V(i+1) x=V(i); V(i)=V(i+1); %troca V(i) com V(i+1) V(i+1)=x; endif; endfor; endfunction;

18 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 18 Optimização do Bubble Sort O algoritmo pode ser optimizado de duas formas complementares. Diminuição dos ciclos Por um lado, em cada iteração o último valor a ser considerado vai decrescendo de n para n-1, para n-2,.... Desta forma o ciclo interno pode ser parametrizado por um valor k que vai decrescendo em cada ciclo externo. Interrupção dos varrimentos Se um varrimento termina sem trocas, o vector já está ordenado, e não é necessário fazer mais varrimentos. Assim há que identificar numa variável, troca, se houve trocas durante um varrimento. Caso contrário, terminar imediatamente a ordenação.

19 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 19 Bubble Sort (Optimizado) As duas optimizações descritas estão implementadas no algoritmo abaixo. Se ao fim de um varrimento não tiver havido trocas, o vector já está ordenado e a função termina sem iniciar mais varrimentos!. function V = bubble_2(V); % bubble sort n = length(V); for k = n-1:-1:1 % k = n-1, n-2, n-3,... troca = 0; for i = 1:k if V(i) > V(i+1) troca = 1; x=V(i); V(i)=V(i+1); %troca V(i) com V(i+1) V(i+1)=x; endif; endfor; if troca == 0 return endif; endfor; endfunction;

20 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 20 Bubble Sort (Optimizado) Como a unica operação a fazer sobre vectores é trocar dois elementos, o mesmo algoritmos pode servir para ordenar listas de estruturas. Por exemplo, a função abaixo ordena a lista por ordem crescente do campo venc. function Lista = bubble_3(Lista); % bubble sort n = length(Lista)-1; for k = n-1:-1:1 troca = FALSE; for i = 1:k if nth(lista,i).venc > nth(lista,i+1).venc troca = TRUE; troca(Lista,i, i+1); endif; endfor; if !troca then return; endfor:; endfunction;

21 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 21 Pesquisa Linear em Vectores Consideremos um vector V, numérico e não ordenado, onde queremos encontrar o número x. O algoritmo abaixo determina se o número x está ou não incluído no vector, comparando x com todos os valores da lista. A função retorna o (primeiro) índice i onde se encontra x (ou seja, V(i) = x), ou retorna 0 se x não estiver incluído no vector A função pode ser facilmente adaptada para uma lista e um campo substituindo- se a comparação para if nth(Lista,i).campo == x function i = procura_linear_1(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; endif endfor; i = 0; endfunction;

22 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 22 Pesquisa em Vectores A complexidade do algoritmo, em termos do número de acessos ao vector, pode ser analisado da seguinte forma: –Se x não pertence ao vector, então terão de ser feitas n leituras. –Se x pertencer ao vector, o número de leituras é variável. Assumindo que x pode estar em qualquer posição, deverão ser lidos, em média, n/2 valores. Assumindo que x pode estar em V com uma probabilidade p (e, portanto, não estar no vector com uma probabilidade q = 1-p), o número médio de acessos será de aproximadamente p  n/2 + q  n Se p = q = ½ teremos uma complexidade média de ½  ½ n + ½ n = ¾ n o que indica uma complexidade assintótica linear, O(n).

23 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 23 Pesquisa Linear em Vectores (Optimizada) A pesquisa pode ser mais rápida se o vector estiver ordenado. Assumindo uma ordenação crescente, a pesquisa pode terminar se o valor V(i) já exceder o valor de x, porque nesse caso, os valores de V(j) com j > i serão ainda maiores! function i = procura_linear_2(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; elseif V(i) > x i = 0; return; endif endfor; endfunction;

24 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 24 Pesquisa Linear em Vectores (Optimizada) A complexidade, em termos do número de acessos ao vector, pode ser analisado de uma forma semelhante à anterior : –Se x pertencer ao vector V, o número de leituras é variável, sendo em média lidos n/2 valores. –Se x não pertencer ao vector V, esse facto será descoberto mais cedo ou mais tarde consoante o valor de x (e os valores em V). Em média, podemos assumir igualmente que apenas metade dos valores são testados Como x está em V com uma probabilidade p, e não está com probabilidade 1-p, o número médio de acessos será de p  n/2 + (1-p)  n/2 = n/2 O número de acessos baixa assim de ¾ n para ½ n, mas mantém a mesma complexidade assintótica linear, O(n).

25 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 25 Pesquisa Bipartida Se o vector V estiver ordenado, podemos sempre determinar se x, a existir no vector V, está à frente ou atrás de um elemento testado. Assim, em vez de testar sequencialmente os valores de V, podemos testá-los “em saltos”, delimitando em cada teste a zona do vector onde valerá a pena pesquisar. Esquemáticamente, podemos considerar um esquema de bipartição O algoritmo pode pois considerar um intervalo de pesquisa cada vez menor, como exemplificado de seguida. x > V(i) x < V(i) i

26 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 26 Pesquisa Bipartida Consideremos um vector V, ordenado por ordem crescente, com 31 números, onde queremos encontrar o número x. Inicialmente os índices onde se faz a pesquisa estão no intervalo (1,31). Podemos comparar x com o número intermédio entre 1 e 31 = 16 = (1+31)/2). –Se V(16) = x, este está encontrado. –Se V(16) < x, este deverá ser procurado no intervalo (17,31). –Se V(16) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,15). Neste último caso, podemos comparar x com o número intermédio 8 = (1+15)/2 –Se V(8) = x, este está encontrado. –Se V(8) < x, este deverá ser procurado no intervalo (9,15). –Se V(8) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,7).

27 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 27 Pesquisa Bipartida No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 12 = 9+15/2. –Se V(12) = x, este está encontrado. –Se V(12) < x, este deverá ser procurado no intervalo (13,15). –Se V(12) > x, este deverá ser procurado no intervalo (9,11). No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 14 = (13+15)/2. –Se V(14) = x, este está encontrado. –Se V(14) < x, este deverá ser procurado no intervalo (15,15). –Se V(14) > x, este deverá ser procurado no intervalo (13,13). Nestes últimos casos, são feitas comparações com um só elemento, V(13) ou V(15), que garantem a verificação sobre se x está ou não no vector V.

28 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 28 Pesquisa Bipartida No máximo, são feitas 5 comparações, com V(16), V(8), V(12), V(14) e V(15), o que confirma que o número máximo de acessos é da ordem de log 2 (n), já que log 2 (31) = 4.95 ≈ 5. Em geral, o intervalo inicial, de largura n, é reduzido para metade em cada um de p passos, sendo feita uma comparação em cada passo, e terminando o processo quando o intervalo tiver largura 1. Assim, temos n  ½  ½ ...  ½ = 1, donde n / 2 p = 1 e portanto n = 2 p ou p = log 2 (n). Como p é o número de comparações, a pesquisa bipartida tem, como visto atrás, complexidade assintótica logaritmica O( log 2 (n)). Assim para vectores (ou listas) com 10 9 valores, uma pesquisa requer em média log 2 (10 9 ) ≈ 29.9, e não 500*10 6 acessos. Se cada acesso demorar 1  s, a pesquisa bipartida demora cerac de 30  s, em comparação com 500 seg = 10 min!

29 30 Novembro 2007 Listas e Vectores: Pesquisa e Ordenação 29 Pesquisa Bipartida Dadas as vantagens, vale a pena utilizar a pesquisa bipartida. Eis uma possível implementação, recursiva, em que se pretende determinar se o número x está no vector V, entre as posições i e j. Naturalmente, a função será chamada como k = procura_bipartida(x,V,1,length(V)). function k = procura_bipartida(x,V,i,j); if i > j k = 0 % x não pertence a V else m = round((i+j)/2) if V(m) == x k = m; return; elseif V(m) < x i = m+1; % o j mantem-se else j = m-1; % o i mantem-se endif; k = procura_bipartida(x,V,i,j); endif endfunction;