Ângulos opostos pelo vértice

Apresentação em tema: "Ângulos opostos pelo vértice"— Transcrição da apresentação:

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2 Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. Demonstração: a + x = 180º I b + x = 180º II I = II a + x = b + x a + x – x = b + x – x a + 0 = b + 0 a = b

3 Ângulos formados por duas retas concorrentes
r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , e de medidas a, b, c e d, respectivamente. e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º). e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).

4 Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal
a = e Ângulos correspondentes e b = f e c = g e d = h a + h = 180º e Ângulos colaterais externos b + g = 180º e Ângulos alternos externos Ângulos colaterais internos Ângulos alternos internos e e e e c + f = 180º a = g e b = h e d + e = 180º c = e d = f

5 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
x é a medida de ; y é a medida de , pois e são ângulos alternos internos, e a reta r é paralela à reta ; z é a medida de , pois as retas r e são paralelas, e e são ângulos alternos internos. Se x + y + z = 180º, então podemos concluir que: = 180º. +

6 Relação que envolve as medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo
+ = 180º + x = 180º onde x é a medida do ângulo externo, e e são ângulos internos não adjacentes a ele. x = + y = + z = + Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

7 Polígonos Polígonos convexos e polígonos não convexos
B P Q X Y M N A C S D E T R Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos: X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST O segmento de reta , independentemente das posições dos pontos, sempre estará contido dentro do polígono ABCDE. Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo. No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o segmento de reta não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.

8 Elementos de um polígono convexo
Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e ângulos externos é o mesmo.

9 Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)
B C Si = 180º = º Si = º = 360º Número de lados menos 2 (3 – 2) Número de lados menos 2 (4 – 2) Se o polígono convexo tem n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos (Si) é dada pela fórmula: Si = º = 540º Si = (n – 2) . 180º Número de lados menos 2 (5 – 2)

10 Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)
Exemplo: + = 180º + = 180º Si = (n – 2) . 180º Si = (5 – 2) . 180º Si = 540º + = 180º + = 180º + = 180º Si = Se 900º 540º + Se = 900º 540º – 540º + Se = 900º – 540º Se = 360º Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360º.

11 Ângulos internos e ângulos externos de polígonos regulares
Polígono regular é aquele que tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos internos com medidas iguais. Indicamos por: ai = = ai: medida de cada ângulo interno. ae: medida de cada ângulo externo. ae = =

12 contar cada diagonal 2 vezes.
Números de diagonais de um polígono convexo número de lados A diagonais que partem de 1 lado E B d = Dividimos por 2 para não contar cada diagonal 2 vezes. D C

13 Ampliando o estudo dos triângulos
Elementos de um triângulo Vértices: pontos A, B e C. Lados: segmentos de reta , e Ângulos internos: , e . Ângulos externos: , e . O lado oposto ao ângulo é o lado O ângulo é o ângulo oposto ao lado Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e . Os ângulos e são adjacentes suplementares

14 Condição de existência de um triângulo
Desigualdade triangular Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. a b c a < b + c b < a + c c < a + b 4 cm 2 cm 1,5 cm 3 cm 4 cm 2 cm

15 Relação entre lados e ângulos de um triângulo
B C 60º 30º > 90º > 60º 30º Lados opostos > > Observe que o maior ângulo opõe-se ao maior lado, e o menor ângulo opõe-se ao menor lado. Em todo triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado e, reciprocamente, o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Da mesma forma, o menor ângulo opõe-se ao menor lado e, reciprocamente, o menor lado opõe-se ao menor ângulo.

16 Figuras congruentes e congruência de triângulos
Q C 40º B D 40º A P Congruência de triângulos A congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos. C R A B P Q

17 Casos de congruência de triângulos
1o caso: LAL (lado, ângulo, lado) B F A C E G Então: Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes.

18 2o caso: LLL (lado, lado, lado)
B C E F G Então: Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

19 3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
B E F C G Então: Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado e os dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.

20 4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
E B F Então: Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

21 Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana de um triângulo A Mediana de um triângulo é o segmento que tem como extremidades um vértice do triângulo e o ponto médio do lado aposto a esse vértice. B C M Baricentro de um triângulo F Em todo triângulo, as três medianas cruzam-se em um mesmo ponto, chamado baricentro do triângulo. L N B O baricentro de qualquer triângulo divide a mediana na razão de 1 para 2. G H M

22 Bissetriz de um triângulo
A S Bissetriz de um triângulo é o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. B C Incentro de um triângulo P Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-se em um mesmo ponto, chamado incentro do triângulo. I Q R

23 Altura de um triângulo A P B C R H X Q E G F Altura de um triângulo é o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.

24 Ortocentro de um triângulo
A P R B C H Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.

25 Mediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo
P mediatriz de C B A B F M C mediatriz de mediatriz de m é a mediatriz de e é reto

26 Ampliando o estudo dos quadriláteros
B Paralelogramos todo quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. C D // e // Propriedades dos paralelogramos 1a propriedade Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes e dois ângulos não opostos são suplementares. + = 180º + = 180º + = 180º A B + = 180º = = D C

27 2a propriedade Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes. (ângulos alternos internos) = (ângulos alternos internos) = Pelo caso ALA, concluímos que: . Logo, e e . 3a propriedade Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. (caso ALA). Então: e Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais, é o ponto médio das duas diagonais.

28 Propriedade dos retângulos
As diagonais de um retângulo são congruentes. A B C D A D C B C D (lados opostos de um retângulo) (retos) (lado comum) Pelo caso LAL, temos que ∆ADC ∆BCD. Portanto, . Então podemos afirmar que as diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.

29 Propriedade dos losangos
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Pelo caso LLL, temos e daí temos = . Como então e + = 180º, = 90º. = 90º Logo, e são perpendiculares entre si. Pelo caso LLL, temos e daí temos e Então, está sobre as bissetrizes de e de .

30 apenas dois lados paralelos.
Trapézios A B quadriláteros que têm apenas dois lados paralelos. D C base menor // base maior Tipos de trapézio A B Trapézio retângulo é aquele que tem dois ângulos internos retos. D C P Q Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais. S R

31 Base média de um trapézio
Links para ambiente online A B M N D C Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritmética das medidas das bases maior e menor do trapézio. MN =

32 Expressão algébrica inteira
Chamamos expressões algébricas inteiras as que não têm letras (ou variáveis) em denominador nem dentro de radicais. Exemplos: 4x + 6 a2 – a + 4 8x2y 8x1 ab

33 Monômios ℓ A área do quadrado é: ℓ . ℓ ou ℓ2 ℓ ℓ
O perímetro do quadrado é: ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4ℓ ℓ Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica (coeficiente) e uma parte literal.

34 Grau de um monômio Exemplos: 3o grau referente a x 4o grau referente a y –5x3y4 O grau deste monômio é 7 (3 + 4 = 7). 12x5 5o grau referente a x O grau deste monômio é 5. Monômios semelhantes ou termos semelhantes Exemplo: O termo semelhante dos monômios x3, 8x3, 64x3 e 125x3 é a parte literal que eles apresentam: x3.

35 Operações com monômios
Adição e subtração de monômios semelhantes Exemplos: 2x + 3x = (2 + 3)x = 5 . x = 5x Portanto: 2x + 3x = 5x 7y2 – 5y2 = (7 – 5)y2 = 2y2 Portanto: 7y2 – 5y2 = 2y2

36 Multiplicação de monômios
Exemplos: propriedade do produto de potências de mesma base (9x2) . (5x3) = (9 . 5)(x2 . x3) = 45x2 + 3 = 45x5 propriedade comutativa e associativa da multiplicação 3 . (–4) (3a) . (–4b) = –12ab a . b

37 Divisão de monômios Exemplos: (12x6) : (3x2) = = 4x6 – 2 = 4x4
(5a) : (15b) = = 3 (10y2) : (2y3) = 5y2 – 3 = 5y –1 =

38 Potenciação de monômios
Exemplos: (5x3)2 = 52 . (x3)2 = 25x3 . 2 = 25x6 (4x2)–1 = 4 –1 . (x2)–1 = . x –2 = . = , com x ≠ 0 (5a3b2)4 = (a3)4 . (b2)4 = 625a12b8

39 Polinômio Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômios. Exemplos: Binômio (2 termos): Trinômio (3 termos): 5a2 – 3a 4x2 – 2xy + 3x x – y + 5 2x + 6 Polinômio (mais de um termo): a2 – 2ab + b2 – a2b2

40 Usando as propriedades comutativas e associativas da adição.
Redução de termos semelhantes Exemplo: 2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y ou Usando as propriedades comutativas e associativas da adição. (2x + 2x + 4x) + (y + 2y + 3y) ou Reduzindo os termos semelhantes. 8x 6y 8x + 6y

41 Grau de um polinômio O grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes. Exemplo: 4x3 – 3x2 + 5 Polinômio do 3o grau, 4x3 é seu termo de maior grau. 2x + xy – 6y Polinômio do 2o grau, xy é seu termo de maior grau.

42 Operações com polinômios
Adição e subtração de polinômios Exemplos: Sejam os polinômios: A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) = 3x2 + 2x – 2x2 – x = x2 + x Polinômios opostos ou simétricos Exemplo: 3x2 – 5x – 10 – 3x2 + 5x + 10 0x2 + 0x + 0

43 Multiplicação de polinômios
II A x E 5x + 1 B C F D 3x Exemplos: A área da parte I é: x . (3x) = 3x2 A área da parte II e I é: 3x . (x + 5x + 1) = 3x . (5x + 1) = 15x2 + 3x A área da região é: A B C D x + 5 x + 2 (x + 2) . (x + 5) = x . x + x x = = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

44 Multiplicação de polinômios
(3x – 2) . (x2 – 4x + 6) x – 4x X 3x – 2 3x3 – 12x2 + 18x – 2x2 + 8x – 12 3x3 – 14x2 + 26x – 12

45 Divisão de polinômios Exemplos: é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x) (6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4 ou − = = 2x2 – 4

46 Dividimos o 1o termo do dividendo pelo 1o termo do divisor:
Divisão de polinômios Exemplo: (15x2 + 2x – 8) : (5x + 4) 15x2 + 2x – 8 5x + 4 Dividimos o 1o termo do dividendo pelo 1o termo do divisor: – 15x2 – 12x 3x – 2 – 10x – 8 (15x2) : (5x) = 3x + 10x + 8 Dividimos novamente o 1o termo de –10x – 8 pelo 1o termo de 5x + 4: (–10x) : (5x) = –2 Verificação: (3x – 2) . (5x + 4) = 15x2 + 12x – 10x – 8 = 15x2 + 2x – 8 quociente divisor

47 Quadrado da soma: (a + b)2 ou (a + b)(a + b)
Produtos notáveis Quadrado da soma: (a + b)2 ou (a + b)(a + b) (a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a2 + 2ab + b2 2ab Geometricamente: a b Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 ab ab b2 a2 + 2ab + b2 O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1o termo mais o dobro do produto do 1o termo pelo 2o termo mais o quadrado do 2o termo.

48 o oposto do dobro do produto
Quadrado da diferença: (a – b)2 ou (a – b)(a – b) (a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a2 – 2ab + b2 – 2ab Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 quadrado do 2o termo quadrado do 1o termo o oposto do dobro do produto do 1o pelo 2o termo O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1o termo menos o dobro do produto do 1o termo pelo 2o termo mais o quadrado do 2o termo.

49 Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b)
Link para ambiente online (a + b) . (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 O produto da soma pela diferença dos mesmos termos é igual ao quadrado do 1o termo menos o quadrado do 2o termo.

50 Cubo da soma: (a + b)3 (a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 =
(a + b) . (a2 + 2ab + b2) = = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Geometricamente: a b b a b a b3 3a2b a3 3ab2

51 triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2o termo
Cubo da soma: (a + b)3 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 cubo do 2o termo cubo do 1o termo triplo do produto do quadrado do 1º termo pelo 2o termo triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2o termo O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 1o termo mais o triplo do produto do quadrado do 1o termo pelo 2o termo mais o triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2º termo mais o cubo do 2o termo.

52 Cubo da diferença: (a – b)3
(a – b) . (a – b)2 = (a – b) . (a2 – 2ab + b2) = = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 1o termo menos o triplo do produto do quadrado do 1o termo pelo 2o termo mais o triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2o termo menos o cubo do 2o termo.

53 O fator comum é colocado
Fatoração de polinômios 1o caso de fatoração: fator comum (colocação de um termo em evidência) Exemplos: 3a2 + 3ab = 3a . a + 3a . b = 3a . (a + b) fator comum O fator comum é colocado em evidência. Portanto: 3a2 + 3ab = 3a(a + b) forma fatorada 10x2 – 15x = 2x . 5x – 3 . 5x = 5x(2x – 3) fator comum

54 2o caso de fatoração: agrupamento
Exemplos: ab + a – bx – x ax + 2a + 5x + 10 a(b + 1) – x(b + 1) a(x + 2) + 5(x + 2) (a + 5) . (x + 2) (b + 1) . (a – x)

55 3o caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Exemplos: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 a2 – 14a + 49 = (a – 7)2 quadrado de x quadrado de 5 quadrado de a quadrado de 7 o dobro do produto de x e 5 o dobro do produto de a e 7 9x2 + 60x = (3x + 10)2 (3x)2 102 2 . (3x) . 10

56 4o caso de fatoração: diferença entre dois quadrados
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Exemplos: x2 – 64 = (x + 8)(x – 8) 25x2 – 81 = (5x + 9)(5x – 9) quadrado de x quadrado de 8 (5x)2 92 5o caso de fatoração: soma de dois cubos Exemplos: (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3 = x3 + y3 Portanto: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) cubo de x cubo de y (5x + 2)(25x2 – 10x + 4) = 125x3 – 50x2 + 20x2 + 50x2 – 20x + 8 = 125x3 + 8 Portanto: 125x3 + 8 = (5x + 2)(25x2 – 10x + 4)

57 6o caso de fatoração: diferença entre dois cubos
Link para ambiente online (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3 = x3 – y3 Portanto: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) cubo de x cubo de y (3x – 5)(9x2 + 15x + 25) = 27x3 + 45x2 + 75x – 45x2 – 75x – 125 = 27x3 – 125 Portanto: 27x3 – 125 = (3x – 5)(9x2 + 15x + 25) (3x)3 53

58 Frações algébricas Simplificação de frações algébricas Exemplos: = = =
fatorando = = (x – y) fatorando 2 = = 2(1 + 2a) = 2 + 4a 1

59 Adição e subtração de frações algébricas
produto dos denominadores: 2x . 4y . 3 = 24xy Exemplos: + – = = + – fatorando = = = mmc(x – y, x2 – y2) = (x + y)(x – y) + = + = = =

60 Multiplicação de frações algébricas Divisão de frações algébricas
Exemplos: 2 – = = 1 3 . = . = = 1 Divisão de frações algébricas Exemplo: : = . = = =

61 Potenciação de frações algébricas
Exemplos: = = ‒2 = = ou