Lógica para Computação

Apresentação em tema: "Lógica para Computação"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica para Computação
Luciana Conceição Dias Campos UFJF EADDCC

2 Raciocínio Lógico O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. Este material constitui uma INTRODUÇÃO À LÓGICA ELEMENTAR CLÁSSICA, procurando alcançar os objetivos gerais e específicos propostos pela disciplina Lógica para Computação.

3 Proposições Lógicas Proposição: Proposição: Valor Lógico:
É toda expressão, isto é, todo conjunto de palavras ou símbolos, que possui um significado ao qual podemos atribuir um valor lógico. Proposição: É toda expressão, isto é, todo conjunto de palavras ou símbolos, que possui um significado ao qual podemos atribuir um valor lógico. Valor Lógico: É um valor atribuído a uma proposição lógica. Diz-se que o valor lógico de uma proposição é “verdade” (representado por V) se a proposição é verdadeira e “falsidade” (representado por F) se a proposição é falsa.

4 Proposições Lógicas Princípio da não contradição e do 3o excluído :
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do 3o excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Assim, esses princípios afirmam que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores: V ou F

5 Proposições Lógicas Exemplos: A Lua é um satélite. 2+3 = 5 Recife
Quem descobriu o Brasil? a) e b) são exemplos de Proposições Lógicas a) e b) são exemplos de Proposições Lógicas - Porque elas têm sentido completo e é possível atribuir um valor lógico para o seu significado. c) e d) NÂO são exemplos de Proposições Lógicas c) e d) NÂO são exemplos de Proposições Lógicas Porque Não são declarações e portanto não é possível atribuir um valor lógico para o seu significado.

6 Sentença Lógica e Proposição Lógica
Sentença Lógica é a maneira de expressar uma Proposição Lógica. Portanto: Uma Proposição Lógica pode vir representada por diferentes sentenças

7 Sentença Lógica e Proposição Lógica
Exemplos de sentenças lógicas: Dante escreveu Os Lusíadas. Não é verdade que Dante não escreveu Os Lusíadas. Na letra a) a frase apresenta uma afirmação. Que tem o mesmo significado da letra b) onde a frase apresenta uma dupla negação. Logo, as duas sentenças lógicas representam a mesma proposição lógica. Portanto ATENÇÃO: Negar duas vezes é o mesmo que Afirmar. Então: Proposição é a idéia. Sentença é a forma de se expressar essa idéia.

8 Representação de Proposição Lógica
Existem 3 maneiras de se representar uma Proposição Lógica: Linguagem Natural Carlos é Careca Forma Simbólica As proposições são designadas pelas letras latinas. Geralmente: p, q, r, s, etc. Portanto p = Carlos é Careca

9 Representação de Proposição Lógica
Existem 3 maneiras de se representar uma Proposição Lógica: Diagrama/Gráfico Lógico: Seja A o conjunto dos carecas Então a proposição p = Carlos é careca é representada no diagrama: p A Portanto ATENÇÃO: Quem está no interior de A é careca. Já quem está fora de A não é careca.

10 Proposição simples X Proposição composta
Chama-se proposição simples ou fórmula atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Geralmente utiliza-se letras latinas minúsculas para designar as proposições simples. Exemplo: q: Pedro é estudante r: o número 25 é quadrado perfeito

11 Proposição simples X Proposição composta
Chama-se proposição composta ou fórmula molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Geralmente utiliza-se letras latinas maiúsculas para designar as proposições compostas. Exemplo: Carlos é careca e Pedro é estudante S p q Proposição Composta Proposição Simples

12 Proposição Composta Portanto: Uma proposição composta é a ligação ou conexão de duas ou mais proposições simples com o objetivo de transmitir uma idéia ou fornecer um significado ao qual se atribui um valor lógico.

13 Tabela Verdade ou Tabela de Verdade
Valor Lógica de uma Proposição Composta O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. Geralmente, utiliza-se a tabela-verdade para verificar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta. Pelo princípio do terceiro excluído, sabemos que uma proposição simples é verdadeira ou falsa: p V F

14 Tabela Verdade ou Tabela de Verdade
Valor Lógica de uma Proposição Composta Se uma proposição é composta por n proposições simples então teremos 2n atribuições possíveis. Exemplo: O sol é uma estrela e a neve é branca. p q n = 2 então tem-se 22 = 4 atribuições possíveis: p q V 1ª combinação possível V F 2ª combinação possível F V 3ª combinação possível F 4ª combinação possível

15 Operações Lógicas Operações Lógicas são operações realizadas sobre proposições, obedecendo a regras de um cálculo denominado Cálculo Proposicional. As proposições simples (também chamadas de fórmulas atômicas) podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos. Portanto, os conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de proposições.

16 Conectivos Lógicos As proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos : Negação (não ou NOT): ~ ou ! ou ¬ Conjunção (“e” ou AND): ∧ Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Bi-condicional ( “se e somente se”):

17 Negação (não ou NOT): ~ ou ! ou ¬
Conectivos Lógicos Negação (não ou NOT): ~ ou ! ou ¬ Seja A o conjunto de estudantes. A Seja a proposição p: Pedro é estudante. p Então, a negação de p é dado por ~p: Pedro não é estudante. ~p Se p for verdadeiro, então ~p é falso F V F V Se p for falso, então ~p é verdadeiro A tabela verdade é dada por: p ~p

18 Conjunção (“e” ou AND): ∧
Conectivos Lógicos Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela e Roma é um país. R = p ∧ q A representação da conjunção por diagrama lógico: p q A B O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∧ q V 1ª combinação. R Interseção de A e B: A ∩ B A região em que as duas proposições são verdadeiras é na interseção dos conjuntos A e B. V 1 2 3 4

19 Conjunção (“e” ou AND): ∧
Conectivos Lógicos Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela e Roma é um país. R = p ∧ q A representação da conjunção por diagrama lógico: p q A B O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∧ q V 1ª combinação. R Interseção de A e B: A ∩ B V V F 2ª combinação. No conjunto A apenas p é verdadeiro. Como está fora da região de interseção, a conjunção é falsa. F 1 2 3 4

20 Conjunção (“e” ou AND): ∧
Conectivos Lógicos Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela e Roma é um país. R = p ∧ q A representação da conjunção por diagrama lógico: p q A B O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∧ q V 1ª combinação. R Interseção de A e B: A ∩ B V V F 2ª combinação. V F 3ª combinação. F 1 2 3 4 No conjunto B apenas q é verdadeiro. Fora da região de interseção, a conjunção é falsa. F

21 Conjunção (“e” ou AND): ∧
Conectivos Lógicos Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela e Roma é um país. R = p ∧ q A representação da conjunção por diagrama lógico: p q A B O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∧ q V 1ª combinação. R Interseção de A e B: A ∩ B V V F 2ª combinação. V F 3ª combinação. F 4 1 2 3 F 4ª combinação. F Fora dos conjuntos A e B as proposições p e q são falsas. Fora da interseção, a conjunção é falsa. F

22 Disjunção (“ou” ou OR): ∨
Conectivos Lógicos Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou 7 é um número primo. R = p ∨ q p q A B A representação da disjunção por diagrama lógico: O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∨ q R União de A e B: A  B p q V 1ª combinação. A região onde as duas proposições são verdadeiras está dentro da união dos conjuntos A e B. V 1 2 3 4

23 Disjunção (“ou” ou OR): ∨
Conectivos Lógicos Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou 7 é um número primo. R = p ∨ q p q A B A representação da disjunção por diagrama lógico: O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∨ q R União de A e B: A  B p q V 1ª combinação. V V F 2ª combinação. No conjunto A apenas p é verdadeiro. Como está dentro da região de união, a disjunção é verdadeira. V 1 2 3 4

24 Disjunção (“ou” ou OR): ∨
Conectivos Lógicos Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou 7 é um número primo. R = p ∨ q p q A B A representação da disjunção por diagrama lógico: O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∨ q R União de A e B: A  B p q V 1ª combinação. V V F 2ª combinação. V F 3ª combinação. V 1 2 3 4 No conjunto B apenas q é verdadeiro. Dentro da união a disjunção é verdadeira. V

25 Disjunção (“ou” ou OR): ∨
Conectivos Lógicos Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou 7 é um número primo. R = p ∨ q p q A B A representação da disjunção por diagrama lógico: O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: p q p ∨ q R União de A e B: A  B p q V 1ª combinação. V V F 2ª combinação. V F 3ª combinação. V 1 2 3 4 F 4ª combinação. V Fora dos conjuntos A e B as proposições p e q são falsas. Fora da união, a disjunção é falsa. F

26 Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B
Conectivos Lógicos 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ou o cachorro é macho. R = p  q p q A B A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: p q p  q R Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B p q V 1ª combinação. No ou exclusivo ou o elemento pertence ao conjunto A ou ao B. Nunca pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. F 1 2 3 4

27 Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B
Conectivos Lógicos 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ou o cachorro é macho. R = p  q p q A B A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: p q p  q R Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B p q V 1ª combinação. F V F 2ª combinação. No conjunto A apenas p é verdadeiro. Como apenas um elemento é verdadeiro, a disjunção exclusiva é verdadeira. V 1 2 3 4

28 Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B
Conectivos Lógicos 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ou o cachorro é macho. R = p  q p q A B A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: p q p  q R Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B p q V 1ª combinação. F V F 2ª combinação. V F 3ª combinação. V 1 2 3 4 No conjunto B apenas q é verdadeiro. Portanto a disjunção exclusiva é verdadeira. V

29 Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B
Conectivos Lógicos 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ou o cachorro é macho. R = p  q p q A B A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: p q p  q R Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B p q V 1ª combinação. F V F 2ª combinação. V F 3ª combinação. V 1 2 3 4 F 4ª combinação. V Fora dos conjuntos A e B as proposições p e q são falsas. Assim, a disjunção exclusiva é falsa. F

30 Condicional ( “implica” ou “se-então”): →
Conectivos Lógicos Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar então ele será aprovado. R = p → q p é dito antecedente da condicional. q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 10 caso: Pedro estudou e foi aprovado. V p q p → q A condicional obriga que Se Pedro estudar ele terá que ser aprovado, então podemos concluir que a condicional é verdadeira. V Isto é, se é verdade que Pedro estudou, então necessariamente é verdade que ele será aprovado.

31 Condicional ( “implica” ou “se-então”): →
Conectivos Lógicos Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar então ele será aprovado. R = p → q p é dito antecedente da condicional. q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 20 caso: Pedro estudou e não foi aprovado. V F p q p → q A condicional afirma que o fato de Pedro ter estudado é condição suficiente para que se torne um resultado necessário que ele seja aprovado. Caso isso não ocorra, a condicional é falsa. F V V V

32 Condicional ( “implica” ou “se-então”): →
Conectivos Lógicos Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar então ele será aprovado. R = p → q p é dito antecedente da condicional. q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 30 caso: Pedro não estudou e foi aprovado. F V p q p → q A condição suficiente para q é p, nada é dito em relação a ~p. Por isso, a condicional é verdadeira. V V V V V F F

33 Condicional ( “implica” ou “se-então”): →
Conectivos Lógicos Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar então ele será aprovado. R = p → q p é dito antecedente da condicional. q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 40 caso: Pedro não estudou e não foi aprovado. F p q p → q Como a condição é fundamentada em p e não em ~p, a condicional é verdadeira. V V V V V F F F V V

34 Não é válida a região onde o conseqüente é falso.
Conectivos Lógicos Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar então ele será aprovado. R = p → q p é dito antecedente da condicional. q é dito conseqüente da condicional. A representação da condicional por diagrama lógico: p q A B O valor da condicional é dado pela tabela verdade: R q Não é válida a região onde o conseqüente é falso. p q p → q V V V 1 2 3 4 V F F F V V F F V

35 Bi-condicional ( “se e somente se”):
Conectivos Lógicos Bi-condicional ( “se e somente se”): Sejam as proposições simples: p: Tales é filho de Wilson. q: Tales é neto de Pedro. A bi-condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Tales é filho de Wilson se e somente se ele for neto de Pedro. R = p q p é dito condição necessária e suficiente para q. q é dito condição necessária e suficiente para p. O valor da bi-condicional é dado pela tabela verdade: Portanto, a bi-condicional será verdadeira quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Logo, a bi-condicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. p q p q V F

36 Bi-condicional ( “se e somente se”):
Conectivos Lógicos Bi-condicional ( “se e somente se”): Sejam as proposições simples: p: Tales é filho de Wilson. q: Tales é neto de Pedro. A bi-condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Tales é filho de Wilson se e somente se ele for neto de Pedro. R = p q A representação da bi-condicional por diagrama lógico: p q A B O valor da bi-condicional é dado pela tabela verdade: R Não são válidas as regiões onde o antecedente ou o conseqüente é falso. p q p q V F