Retomando e aprofundando o cálculo de perímetros

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2 Retomando e aprofundando o cálculo de perímetros
Perímetro de um polígono Você lembra como calcula o perímetro de um losango? E de um paralelogramo? Vamos relembrar: O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. No caso dos polígonos, o perímetro é obtido com a soma das medidas do comprimento de seus lados. Exemplo: Uma praça tem uma forma triangular e seus lados medem: 30 m, 20 m e 12 m. PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA Então, seu perímetro é: P = = 62 m

3 Perímetro de uma circunferência
A fórmula que representa a relação entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do diâmetro é: ou C = d ou ainda C = 2 r = É um número irracional, e para efetuar cálculos utilizamos aproximações como = 3,14. Comprimento de um arco de uma circunferência Se 360º : 90º = 4 então x = Se 360º : 180º = 2 então x = . r x 180º x 90º

4 Perímetro de um setor circular
x r 45º P = r + r + x Comprimento do arco depende do ângulo do setor. Raio do setor. 360º : 45º = 8 então x =

5 Retomando e aprofundando o cálculo de áreas
Área de uma região quadrada Para calcular a área da região quadrada Q, podemos decompô-la em 9 regiões quadradas de 1 cm2 cada. 3 cm 1 cm² Assim, a área da região é 9 cm2. 3 cm Área da região Q = 32 = 9 cm2 É possível fazer o mesmo procedimento para a região quadrada R? Região Q 0,25 cm² 3,5 cm Utilizando o quadrado de área 1 cm2 não é possível. 3,5 cm Mas podemos fazer o mesmo com quadrados de área 0,25 cm2! Região R Assim, é possível dividir a região R em 49 regiões de 0,25 cm2 de área. A = ℓ . ℓ ou A = ℓ2 A área da região R é ,25 = 12,25 cm2

6 Área de uma região retangular qualquer
Vamos repetir o procedimento anterior para os dois exemplos abaixo: 3 cm 5 cm Região S Área da região S = = 15 cm2 2,5 cm 4,5 cm Região T Área da região T = 2,5 . 4,5 = 11,25 cm2 Relembrando o que concluímos sobre a área de uma região quadrada, a que conclusão podemos chegar? b a A = a . b

7 Área de uma região limitada por um paralelogramo
Considerando o paralelogramo abaixo, com base b e altura h, podemos mover o triângulo DAE para a posição CBF sem alterar a medida da base ou da altura. B C D E b F h A B C D E h b Assim, “transformamos” o paralelogramo numa figura que sabemos calcular a área! Logo, a área da região ABCD é igual a b . h. A = b . h

8 Área de uma região triangular
B C D E h Para calcular a área da região triangular, podemos utilizar o mesmo procedimento e “transformar” em uma figura que sabemos calcular. Ao traçar paralelas aos lados e , podemos determinar o ponto D e a região limitada pelo paralelogramo ABCD. Já sabemos que a área do paralelogramo é bh. Pelo caso de congruência LAL, sabemos que as regiões triangulares ABC e ADC são congruentes, então: Área da região ABCD = 2 . Área da região triangular ABC Área da região triangular ABC =

9 Área de uma região limitada por um trapézio
B h b Podemos decompor o trapézio em duas regiões triangulares, pois sabemos calcular a área dessas regiões. Denominando uma base B e altura h, e outra base b e altura h, temos: A = Área do trapézio = = = d D Área de uma região limitada por um losango Área do losango =

10 Esse é o valor do perímetro, logo:
Área de uma região limitada por um polígono regular Para calcular a área de uma região limitada por um polígono regular de n lados, podemos decompor a figura em n regiões triangulares. Assim, a área que procuramos é n vezes a área de cada região triangular. Vejamos um exemplo: a é o apótema do polígono. ℓ é o lado do polígono. a A B O ℓ A = ℓ A região hexagonal é composta de 6 regiões triangulares congruentes, então, ℓ Esse é o valor do perímetro, logo: A = 6 . A = = A =

11 Cálculo aproximado de áreas
Como calcular áreas de regiões não regulares como a figura abaixo? Pode-se fazer isso utilizando papel quadriculado: 1) Coloque a figura em uma malha quadriculada e conte a quantidade de quadrados inteiros que estão no interior da figura. R Área por falta = 34 2) Conte agora o menor número possível de regiões inteiras que cobrem totalmente a região R. Área por excesso = 67 Área da região é maior que e menor do que Podemos aproximar fazendo a média aritmética entre os dois valores: A área do = 0,25 cm2, então A = 12,63 cm2. A A 50,5

12 Área de um círculo Já vimos que a área de uma região determinada por um polígono regular é: a r A = Observando a figura, podemos perceber que, à medida que aumentamos a quantidade de lados, o polígono se aproxima cada vez mais de uma circunferência. Na circunferência, o apótema passa a ser o raio (r), e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2 r). Assim, A = = = r²

13 Área lateral e área total de um sólido geométrico
h Um cilindro de altura h, cuja base é um círculo de raio r, tem como área lateral 2 rh. A área total da superfície de um cilindro é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases. A área lateral de um prisma é dada por produto do perímetro de uma das bases pela altura do prisma. A área total da superfície de um prisma é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

14 Retomando e aprofundando o cálculo da medida de volume
Link para ambiente online A medida do volume de um cubo cuja aresta mede a é dada por: a V = a³ A medida do volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base (a . b) pela medida da altura c. a b c h área da base: B V = abc V = B . h A medida do volume de um prisma é dada multiplicando-se a área da base pela medida da altura desse prisma.

15 A medida do volume de um cilindro (V) é igual à área da base (B) multiplicada pela altura h.
V = B . h h B A medida do volume de um cone é igual a um terço do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma altura. V = A medida do volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume de um prisma de mesma área da base e mesma altura. V = h B h B

16 Estatística Pesquisa estatística e termos relacionados a ela
Variável e valor da variável Vamos relembrar com exemplos! Na questão “Qual a sua disciplina favorita na escola?”, qual é a variável e qual é o valor da variável? Matemática, História e Inglês são alguns valores dessa variável. “Disciplina da escola” é a variável. Agora identifique a variável e o valor da variável na questão “Qual o seu grau de instrução?”. Alguns possíveis de valores são: Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino Superior. A variável é “grau de instrução”.

17 Tipos de variável Variável Qualitativa Quantitativa Ordinal Nominal Discreta Contínua Expõe uma qualidade e seus valores seguem uma ordem. Ex.: “Grau de instrução”. Expõe uma quantidade por meio de um número natural, pois indica uma contagem. Ex.: “Idade” (em anos). Expõe uma qualidade, mas seus valores não seguem uma ordem. Ex.: “Disciplina da escola”. Expõe uma quantidade por meio de um número real, pois indica uma medida. Ex.: “Altura”.

18 Frequência absoluta e frequência relativa de uma variável
O número de vezes que cada valor da variável é citado é sua frequência absoluta (FA). Em uma atividade, 20 alunos foram entrevistados sobre o sabor de sorvete preferido deles e os resultados foram: Valor Frequência absoluta Chocolate 5 Morango 4 Abacaxi 10 Coco 1 Frequência relativa 5 : 20 = 0,25 ou 25% 4 : 20 = 0,20 ou 20% 10 : 20 = 0,5 ou 50% 1 : 20 = 0,05 ou 5% A frequência relativa também pode ser representada na forma de fração! Podemos apresentar esses resultados também utilizando a frequência relativa (FR).

19 Tabela de frequências por intervalos
Há casos em que a variável apresenta muitos valores, tornando inviável montar uma tabela com um valor por linha. Nesses casos, utilizamos o agrupamento de valores em intervalos ou classes. Vamos aprender o procedimento de montagem da tabela com um exemplo. Em uma pesquisa, 15 alunos disseram que suas alturas são: 1,73 m 1,70 m 1,80 m 1,62 m 1,74 m 1,70 m 1,74 m 1,81 m 1,68 m 1,76 m 1,62 m 1,63 m 1,75 m 1,65 m 1,66 m 1) Identificamos o menor e o maior valor. 2) Obtemos a amplitude total subtraindo o maior valor do menor: 1,81 – 1,62 = 0,19

20 Altura em m (em classes)
3) Escolhemos o número de intervalos, consideramos um valor conveniente (pouco acima da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada intervalo. Nesse caso, vamos escolher 5 intervalos e o valor 0,20: 0,20 : 5 = 0,04 Assim, elaboramos a tabela de frequências: Altura em m (em classes) Contagem FA FR (%) 1,62⊢1,66 4 26,7 1,66⊢1,70 2 13,3 1,70⊢1,74 3 20 1,74⊢1,78 1,78⊢1,82 Total 15 100 1,62⊢1,66 indica um intervalo fechado à esquerda e aberto a direito, ou seja, 1,66 não pertence ao intervalo.

21 Número de livros retirados
Gráficos Gráfico de segmentos ou gráfico de linhas A tabela e o gráfico abaixo tratam de dados sobre a retirada de livros em uma biblioteca. 50 100 150 200 250 300 Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Número de livros retirados Mês Número de livros retirados Fevereiro 150 Março 300 Abril 250 Maio Junho 200 Meses Existe uma correspondência: para cada mês, temos um número de livros retirados. O par mês e livros forma um par ordenado e assim o marcamos no plano cartesiano. Depois de colocar os pontos, podemos ligá-los com segmentos, mas lembre-se de que os segmentos só têm significado se a variável for contínua!

22 Gráfico de barras ou colunas
O gráfico de barras pode ser utilizado para representar as frequências dos valores de uma variável por meio de barras horizontais ou verticais. A tabela abaixo mostra as frequências de vitórias, empates e derrotas de um time de futebol. A partir da frequência absoluta podemos construir gráficos de barras verticais. Jogos FA FR Vitórias 10 50% Empates 4 20% Derrotas 6 30% Números dos resultados 2 4 6 8 10 Resultados V E D V E D Resultados Porcentagem dos resultados 10% 20% 30% 40% 50% A partir da frequência relativa construímos gráficos de barras horizontais. Note que as barras têm a mesma largura e comprimentos diferentes!

23 Vamos calcular o ângulo de cada um: Natação: 35% de 360º = 126º
Gráfico de setores Nesse tipo de gráfico, as frequências dos valores das variáveis são associadas a setores circulares. A maior vantagem do gráfico de setores é a possibilidade de comparar imediatamente a frequência do valor de uma variável com o universo do conjunto. Vejamos um exemplo: Em uma escola, foram oferecidas aos alunos três atividades extras: natação, dança e informática. A quantidade de alunos que escolheu cada uma foi 42, 48 e 30, respectivamente. Atividade FA FR Natação 42 35% Dança 48 40% Informática 30 25% Total 120 Vamos calcular o ângulo de cada um: Natação: 35% de 360º = 126º Dança: 40% de 360º = 144º Informática: 25% de 360º = 90º

24 Construímos então o gráfico de setores:
Natação (35%) Dança (40%) Informática (25%) Construímos então o gráfico de setores: Natação (42) Dança (48) Informática (30) Podemos também utilizar as frequências absolutas no gráfico:

25 Histograma Quando os dados estão agrupados em classes podemos apresentá-los graficamente utilizando um histograma. O histograma tem características diferentes: É formado por um conjunto de retângulos justapostos. Os pontos médios das bases dos retângulos devem coincidir com os pontos médios dos intervalos das classes. Observe o exemplo: Notas Frequência 0⊢2 1 2⊢4 2 4⊢6 7 6⊢8 12 8⊢10 8

26 Ao ligar os pontos médios das bases superiores de cada barra, sem sequência, obtemos uma linha (vermelha) conhecida como polígono do histograma. Observe o exemplo: Altura (cm) FA FR 140⊢150 6 15% 150⊢160 10 25% 160⊢170 12 30% 170⊢180 8 20% 180⊢190 4 10%

27 Pictogramas ou gráficos pictóricos
É comum encontrar em revistas e jornais gráficos ilustrados com figuras sobre o tema tratado. Essa é uma forma de torná-los mais atrativos. Veja o exemplo: PLANETA SUSTENTÁVEL / DIVULGAÇÃO

28 Medidas de dispersão Você estudou as medidas de tendência central: a média aritmética, mediana e moda. Quando os dados estão muito dispersos, essas medidas tornam-se insuficientes para representá-los. Assim, é conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão dos dados. Amplitude A amplitude de um conjunto de dados numéricos mostra a faixa de variação entre os elementos desse conjunto. Variância A variância é determinada a partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto. Por isso, é mais significativa que a amplitude.

29 Para calcular a variância (V) seguimos as etapas:
Considere o conjunto de dados: 68, 58, 67, 63, 64, 64, 68, 63, 67, 63, 63, 63, 69, 56 1) Encontramos a média aritmética: = = 64 2) Determinamos as diferenças entre a média aritmética e cada elemento do conjunto: 4, –6,3, –1, 0, 0, 4, –1, 3, –1, –1, –1, 5, –8 3) Elevamos ao quadrado essas diferenças: 16, 36, 9, 1, 0, 0, 16, 1, 9, 1, 1, 1, 25, 64 4) Somamos todos os quadrados: = 180 5) Dividimos o resultado da soma pelo número de elementos do conjunto: V = ,9

30 No exemplo anterior 2 = 12,9, então, = 3,59.
Desvio-padrão O desvio-padrão é obtido extraindo-se a raiz quadrada do valor encontrado para a variância. Ele é representado pela letra grega minúscula sigma ( ): : variância : desvio-padrão No exemplo anterior 2 = 12,9, então, = ,59. Observe o exemplo a seguir, consistido em por 4 conjuntos de dados: Conjunto Dados Amplitude A 14, 11, 12, 10, 13 14 – 10 = 4 B 2, 5, 20, 7, 26 26 – 2 = 24 C 12, 12, 12, 12, 12 12 – 12 = 0 D 1, 13, 11, 10, 25 25 – 1 = 24 Os conjuntos B e D, possuem amplitudes iguais, mas dispersões diferentes. Amplitude nula significa que não há dispersão. Ou seja, não podemos adotar a amplitude como única medida de dispersão!

31 Variância e desvio-padrão
Continuando com o exemplo, vamos comparar as medidas de dispersão: Conjunto Dados Amplitude Média Variância Desvio- -padrão A 14, 11, 12, 10, 13 14 – 10 = 4 12 2 1,41 B 2, 5, 20, 7, 26 26 – 2 = 24 86,8 9,32 C 12, 12, 12, 12, 12 12 – 12 = 0 D 1, 13, 11, 10, 25 25 – 1 = 24 59,2 7,69 O que podemos concluir a partir da tabela? O conjunto B é o de maior dispersão. O conjunto C é o mais homogêneo.

32 Combinatória: métodos de contagem
Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem Luciana tem 2 saias e 3 blusas de cores distintas enquanto Danilo tem 3 calças e 2 blusas também de cores diferentes. Qual deles tem mais opções de roupas? Esse é um problema que pode ser resolvido montando uma tabela: Ambos têm 6 combinações de roupas. Note que pudemos enumerar todas as opções, mas como faríamos se a quantidade de peças de roupas fosse muito grande?

33 Para solucionar esse problema, podemos utilizar o princípio multiplicativo também conhecido como princípio fundamental da contagem. Se uma decisão D1 pode ser tomada de m modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D2 pode ser tomada de n modos, então o número de maneiras distintas de se tomar consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a m . n. No exemplo anterior, Luciana tinha duas decisões D1 (escolher entre duas saias) e D2 (escolher entre três blusas), então o número de maneiras distintas de tomarmos consecutivamente as decisões D1 e D2 é = 6. Analogamente para Danilo: D1 (escolher entre três calças) D2 (escolher entre duas blusas) D1 . D2 é = 6

34 Outros problemas de contagem
Em muitas situações do dia a dia, é necessário criar senhas com letras e/ou números. Acompanhe o exemplo a seguir: Quantas senhas de dois elementos podemos formar começando com uma das quatro primeiras letras do alfabeto e terminando com um número ímpar no intervalo de 0 a 10? Começando com... Possibilidades A A1, A3, A5, A7, A9 B B1, B3, B5, B7, B9 C C1, C3, C5, C7, C9 D D1, D3, D5, D7, D9 São 20 possibilidades de senha! Utilizando o princípio multiplicativo também podemos determinar a quantidade de senhas: 4 . 5 = 20

35 Probabilidade Probabilidade condicional
A probabilidade de ocorrer um evento A condicionado ao fato de um evento B que já ocorreu é denominada probabilidade condicional. Acompanhe o exemplo a seguir: Uma estrebaria possui 18 equinos em treinamento. Dos 9 que já estão com ferradura, 5 são éguas. Dos cavalos, 6 ainda não receberam ferraduras. a) Sorteando um equino do grupo, qual a probabilidade de ele estar sem ferradura? Para resolver podemos montar uma tabela: Com ferradura Sem ferradura Total Cavalos 4 6 10 Éguas 5 3 8 9 18 A probabilidade de, tomado ao acaso, um equino estar sem ferradura é: P = =

36 b) No mesmo grupo, qual a probabilidade de ter uma égua com ferradura?
Sem ferradura Total Cavalos 4 6 10 Éguas 5 3 8 9 18 A probabilidade de esse equino, tomado ao acaso, ser égua, com ferradura, é condicionada. Assim: total de éguas com ferradura P = total de éguas

37 Estatística e Probabilidade
Muitos fenômenos são de natureza aleatória; assim, os estudos de Estatística e de Probabilidade complementam-se. Estimando probabilidades a partir de dados estatísticos Considere o problema: Uma fábrica produz 1 milhão de canetas por mês. Só com essa informação, como saber a probabilidade de encontrar uma caneta defeituosa? Pode-se fazer então uma estimativa da probabilidade coletando uma amostra aleatória de canetas e verificando quantas são defeituosas: Tamanho da amostra Canetas defeituosas FA FR 1 1 200 9 0,75% 2 900 10 1,11% 3 3 400 25 0,74% 4 2 000 20 1,00% Total 7 500 64 A probabilidade estimada de encontrar uma caneta defeituosa é: P(A) = ,85 %