GEOMETRIA ANALÍTICA Tema: Elipse.

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA Tema: Elipse

2 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA
A partir da noção de distância entre dois pontos foi possível deduzir a equação cartesiana de alguns lugares geométricos, como a mediatriz de um segmento de reta e a circunferência. Utilizando, novamente, a noção de distância entre dois pontos, vamos agora estudar um novo lugar geométrico: a elipse

3 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo 12 O conjunto de pontos a azul representado na figura corresponde a uma elipse de centro no ponto 𝐶 2 5;3,5 , cujos focos são 𝐹 3 5,6 e 𝐹 4 5,1 e cujo eixo maior é 7.

4 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA Definição
Fixada uma unidade de comprimento e um plano, dados dois pontos 𝐹 1 e 𝐹 2 pertencentes a esse plano e um número 𝑎> 1 2 𝐹 1 𝐹 2 , chama-se elipse ao conjunto de pontos 𝑃 do plano tais que 𝑑 𝑃,𝐹 1 =𝑑 𝑃,𝐹 2 =2𝑎 • 𝐹 1 e 𝐹 2 são os focos da elipse; • o ponto médio 𝑂 do segmento de reta 𝐹 1 𝐹 2 é o centro da elipse; • 2𝑎 o eixo maior da elipse.

5 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA
Um ponto 𝑄 𝑥,𝑦 pertence à elipse se e só se 𝑑 𝑄, 𝐹 3 + 𝑑 𝑄, 𝐹 4 =7. Tem-se 𝑑 𝑄, 𝐹 3 + 𝑑 𝑄, 𝐹 4 =7⟺ 𝑥−5 2 + 𝑦−6 2 + 𝑥−5 2 + 𝑦−1 2 =7. Podemos verificar analiticamente que o ponto 5,0 pertence à elipse, substituindo 𝑥 e 𝑦 por 5 e 0, respetivamente: 5− − − −1 2 = − −1 2 = 36 − 1 =7

6 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA Propriedade 5
Dada uma elipse de centro 𝑂, focos 𝐹 1 e 𝐹 2 e eixo maior 2𝑎 , a mediatriz de [ 𝐹 1 𝐹 2 ] interseta a elipse em dois pontos 𝐶 e 𝐷 tais que 𝑂𝐷 = 𝑂𝐶 =𝑏. Ao valor 2𝑏 chama-se eixo menor da elipse.

7 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA Definição
Dada uma elipse de centro 𝑂, focos 𝐹 1 e 𝐹 2 , eixo maior 2𝑎 e eixo menor 2𝑏 • 𝑎 diz-se o semieixo maior da elipse • 𝑏 diz-se o semieixo menor da elipse • 𝐹 1 𝐹 2 diz-se a distância focal.

8 ELIPSE Propriedade 6 Dada uma elipse de focos 𝐹 1 e 𝐹 2 com eixo maior 2𝑎 , eixo menor 2𝑏 e distância focal 2𝑐 tem-se que b= 𝑎 2 − 𝑐 2 .

9 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA Propriedade 7
Fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e 0<𝑏<𝑎, uma equação (cartesiana) reduzida da elipse de centro na origem do referencial, focos 𝐹 1 (−𝑐,0) e 𝐹 2 (𝑐,0) com c= 𝑎 2 − 𝑏 2 , eixo maior 2𝑎 e eixo menor 2𝑏 é dada por 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1.

10 ELIPSE GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo 13 Se uma elipse tem centro na origem de um referencial ortonormado, focos no eixo 𝑂𝑥, eixo maior 8 e eixo menor 6, podemos determinar a sua equação cartesiana reduzida: 2𝑎=8⟺𝑎=4 e 2𝑏=6⟺𝑎=3 Então 𝑥 𝑦 =1⟺ 𝑥 𝑦 2 9 =1 A equação (cartesiana) reduzida da elipse é 𝑥 𝑦 2 9 =1 O ponto 𝑃(−3,2) não pertence à elipse, pois (−3) = 9 16 × ×16 = = ≠1

11 Um pouco de história GEOMETRIA ANALÍTICA
Em Física, para exemplificar o movimento circular uniforme, muitas vezes são utilizadas as órbitas dos planetas à volta do Sol. No entanto, Kepler ( ), matemático e astrónomo alemão, descobriu e publicou em 1609, na sua obra Astronomia Nova, o que viria a ficar conhecido como a 1.ª Lei de Kepler: os planetas descrevem órbitas elíticas em torno do Sol, encontrando-se este sobre um dos focos.