6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES

Name: 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
Uploaded: 2017-10-21T18:59:55+00:00
Duration: PTM41S25
Channel: Ísis Pires
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6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o cado dos aluguéis.

Existem dois tipos de rendas ou anuidades:
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Existem dois tipos de rendas ou anuidades: Rendas certas ou determinísticas: são aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de duração, taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis. Tais tipos de renda são estudados pela Matemática Financeira. 2) Rendas aleatórias ou probabilísticas: os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamentos(mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data de recebimento. Estas são estudadas pela Mat.Atuarial.

6.1.Definições: seja a série seguinte de capitais, referidos às suas respectivas datas, que por sua vez são referidos a uma dada data focal: R n1 R n2 Rm nm Onde: R é o termo (prestação) Estes capitais, que podem ser pagamentos ou recebimentos, referido a uma dada taxa de juros i , caracterizam uma anuidade ou renda certa. Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período e a soma dos períodos define a duração da anuidade. O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. De modo análogo, o montante de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos, considerada uma dada taxa de juros e uma data focal.

Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista. R1 R2 R3 R4 1 Meses 2 3 4 A soma dos valores atuais é dada por : R1 R R R4 PV = (1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4 Porém, colocando R1 = R2 = R3= R4= R

Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista. Tem-se: R R R R PV = 1, (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4 PV = R 1, (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4 PV = R 0, , , ,923845 PV = R (3,807728) Como R = 2 626,24 tem-se : PV = 2 626,24 * 3, => PV = ~ $ ,00 Resposta: o preço do carro a vista é de $ ,00.

(1 + i ) n - 1 a n┐i = i ( 1+i ) n PV = R * a n┐i R = PV / a n┐i
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES A partir desta fórmula (“ a, n cantoneira i”): (1 + i ) n - 1 a n┐i = i ( 1+i ) n a n┐i = Fator de valor atual para n períodos e à taxa I por período Podemos, através da dedução, expressar o valor atual ou presente, como sendo: PV = R * a n┐i O valor da prestação ( ou termo constante da anuidade – R) é dado por: R = PV / a n┐i

(1 + i ) n - 1 a n┐i = i ( 1+i ) n (1,02 ) 4 - 1 0,02 ( 1,02) 4
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista. (1 + i ) n - 1 a n┐i = i ( 1+i ) n Onde: n= 4 m i= 2% a.m. (1,02 ) a n┐i = 0,02 ( 1,02) 4 a n┐i =~3,807729 Portanto, como R = 2 626,24 tem-se : PV = 2 626,24 * 3, => PV = ~ $ ,00

R = P / a n┐i a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n R = P / a n┐i
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 2 :Um televisor LCD custa $ 5 000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m.. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. R = P / a n┐i Onde: PV = 5 000 n= 10 m i= 3% a.m. a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n R = P / a n┐i a 10┐3 = ( 1,03)10 -1/ 0,03(1,03) 10 R = 5 000/ 8,530203 a 10┐3 = ( 1,343916) -1/ 0,040317 R = $ 583,15 a 10┐3 = 8,530203 Resposta: o valor de cada prestação a ser paga pelo comprador é de $ 586,15.

Exercício 3 :Um aparelho de som está sendo anunciado nas seguintes condições: $ 1 500,00 de entrada e 3 prestações iguais de $ 1 225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., Calcular o preço a vista. Onde: E ( Entrada) = 1 500 R = 1 225,48 n= 3 m i= 2,5% a.m. PV = E + R * a 3┐2,5 PV = ,48 * 2,856024 PV = $ 5 000, 00 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 10┐3 = ( 1,025)3 -1/ 0,025(1,025) 3 a 10┐3 = ( 1,766891) -1/ 0,026922 a 10┐3 = 2,856024 Resposta: O valor do preço a vista do aparelho de som é de $ 5 000,00.

Exercício 4 :Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de juros Prazo a) 5% a.b bimestres b) 8% a.t trimestres c) 10% a.s semestres d) 30% a.a anos a) Onde: R = 1 000,00 n= 12 bimestres i= 0,05 PV = R * a n┐i PV = 1 000,00 * 8,863252 PV = $ 8 863,25 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 12┐5 = ( 1, 05)12 -1/ 0,05 (1,05) 12 a 12┐5 = 8,863252 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 5% a.b. durante 12 bimestres é de $ 8 863,25.

Exercício 4 :Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de juros Prazo a) 5% a.b bimestres b) 8% a.t trimestres c) 10% a.s semestres d) 30% a.a anos b) Onde: R = 1 000,00 n= 10 trimestres i= 0,08 PV = R * a n┐i PV = 1 000,00 * 6,710081 PV = $ 6 710,08 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 10┐8 = ( 1,08)10 -1/ 0,08 (1,08) 10 a 10┐8 = 6,710081 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 8% a.t. durante 10 trimestres é de $ 6 710,08.

Exercício 4 :Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de juros Prazo a) 5% a.b bimestres b) 8% a.t trimestres c) 10% a.s semestres d) 30% a.a anos c) Onde: R = 1 000,00 n= 20 semestres i= 0,1 PV = R * a n┐i PV = 1 000,00 * 8,513564 PV = $ 8 513,56 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 20┐10 = ( 1,10)20 -1/ 0,1*(1,10) 20 a 20┐10 = 8,513564 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 10% a.s. durante 20 semestres é de $ 8 513,56

Exercício 4 :Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de juros Prazo a) 5% a.b bimestres b) 8% a.t trimestres c) 10% a.s semestres d) 30% a.a anos d) Onde: R = 1 000,00 n= 30 anos i= 0,3 PV = R * a n┐i PV = 1 000,00 * 3,332061 PV = $ 3 332,06 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 30┐30 = ( 1,30)30 -1/ 0,3*(1,30) 30 a 30┐30 = 3,332061 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 30% a.a. durante 30 anos é de $ 3 332,06.

Exercício 5 :Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses a) Onde: R = 300,00 n= 24 meses i= 0,03 PV = R * a n┐i PV = 300,00 * 16,935542 PV = $ 5 080,66 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 24┐3 = ( 1,03)24 -1/ 0,03*(1,03) 24 a 24┐3 = 16,935542 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 3% a.m., durante 24 meses é de $ 5 080,66.

Exercício 5 :Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses b) Onde: R = 300,00 n= 36 meses i= 0,03 PV = R * a n┐i PV = 300,00 * 21,832252 PV = $ 6 549,68 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 36┐3 = ( 1,03)36 -1/ 0,03*(1,03) 36 a 36┐3 = 21,832252 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 3% a.m., durante 36 meses é de $ 6 549,68.

Exercício 5 :Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses c) Onde: R = 300,00 n= 24 meses i= 0,04 PV = R * a n┐i PV = 300,00 * 15,246963 PV = $ 4 574,09 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 24┐4 = ( 1,04)24 -1/ 0,04*(1,04) 24 a 24┐4 = 15,246963 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 4% a.m., durante 24 meses é de $ 4 574,09.

Exercício 5 :Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses d) Onde: R = 300,00 n= 12 meses i= 0,05 PV = R * a n┐i PV = 300,00 * 8,863252 PV = $ 2 658,98 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 12┐5 = ( 1,05)12 -1/ 0,05*(1,05) 12 a 12┐5 = 8,863252 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 5% a.m., durante 12 meses é de $ 2 658,98.

Exercício 6 : A esposa de Fábio, quer um novo tapete para sua casa. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $ 97,49 ou em 24 prestações mensais de $ 61,50. Nos dois casos, Fábio, não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros dos crédito pessoal é de 2,5% a.am., pergunta-se: qual é o melhor sistema para o Fábio presentear sua esposa? Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. a) Onde: R = 97,49 n= 12 meses i= 0,025 PV = R * a n┐i PV = 97,49 * 10,257765 PV = $ 1 000,03 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 12┐2,5 = (1,025)12 -1/ 0,025*(1,025) 12 Resposta: O preço a vista do tapete, com prestações de $ 97,49 a uma taxa de 2,5% a.m, durante 12 meses é de $ 1 000,03. a 12┐2,5 = 10,257765

Exercício 6 : A esposa de Fábio, quer um novo tapete para sua casa. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $ 97,49 ou em 24 prestações mensais de $ 61,50. Nos dois casos, Fábio, não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros dos crédito pessoal é de 2,5% a.am., pergunta-se: qual é o melhor sistema para o Fábio presentear sua esposa? Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. b) Onde: R = 61,50 n= 24 meses i= 0,025 PV = R * a n┐i PV = 61,50 * 17,884986 PV = $ 1 099,93 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 24┐2,5 = (1,025)24 -1/ 0,025*(1,025) 24 Resposta: O preço a vista do tapete, com prestações de $ 61,50 a uma taxa de 2,5% a.m, durante 24 meses é de $ 1 099,93. a 24┐2,5 = Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar $ 97,49 por 12 meses, a uma taxa de 2,5% a.m.

Exercício 7 : Carlos Jefferson quer comprar um carro. Este está a venda por $ ,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2 236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1 613, 16, sendo neste caso exigida uma entrada de $ ,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% a.m.? Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. a) Onde: E= R = 2 236,51 n= 24 meses i= 0,03 PV = E + R * a n┐i PV = ( 2 236,51*16,935542) PV = $ ,51 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 24┐3 = (1,03)12 -1/ 0,03*(1,03) 12 Resposta: O preço a vista é de $ ,51, na opção com entrada de $ à uma taxa de 3% a.m.e prestações de $ 2 236,51. a 24┐3 = 16,935542

Exercício 7 : Carlos Jefferson quer comprar um carro. Este está a venda por $ ,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2 236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1 613, 16, sendo neste caso exigida uma entrada de $ ,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% a.m.? Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. b) Onde: E= R = 1 613,16 n= 36 meses i= 0,03 PV = E + R * a n┐i PV = ( 1 613,16*21,832252) PV = $ ,92 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 36┐3 = (1,03)36 -1/ 0,03*(1,03) 36 Resposta: O preço a vista é de $ ,92, na opção com entrada de $ à uma taxa de 3% a.m.e prestações de $ 1 613,16. a 36┐3 = 21,832252 Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar 36 mensais de $ 1 613,16 mais uma entrada de $ ,00.

PV = E + R * a n┐i PV = 50 000+(31 600* 3,169865) PV = $ 150 167,75
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 8: A Imobiliária Marrocos Ltda., vende um pequeno apartamento usado, em São Paulo, por $ ,00 a vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento: PLANO A: entrada de $ ,00 mais 4 prestações trimestrais de $ ; PLANO B: entrada de $ ,00 mais 8 prestações trimestrais de $ O Sr. Carlos Eduardo, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja saber qual é a sua melhor opção de compra. Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. PV = E + R * a n┐i a) Onde: E= R = n= 4 trimestrais i= 0,10 PV = (31 600* 3,169865) PV = $ ,75 Resposta: O preço a vista é de $ ,75, na opção com entrada de $ à uma taxa de 10% a.t. durante 4 trimestres e prestações trimestrais de $ 31 600,00. a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 4┐10 = (1,1)4 -1/ 0,1*(1,1) 4 a 4┐10 =3,169865

PV = E + R * a n┐i PV = 30 000+(23 000*5,334926 ) PV = $ 152 703,30
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 8: A Imobiliária Marrocos Ltda., vende um pequeno apartamento usado, em São Paulo, por $ ,00 a vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento: PLANO A: entrada de $ ,00 mais 4 prestações trimestrais de $ ; PLANO B: entrada de $ ,00 mais 8 prestações trimestrais de $ O Sr. Carlos Eduardo, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja saber qual é a sua melhor opção de compra. Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. PV = E + R * a n┐i b) Onde: E= R = n= 8 trimestrais i= 0,10 PV = (23 000*5, ) PV = $ ,30 Resposta: O preço a vista é de $ ,30 na opção com entrada de $ à uma taxa de 10% a.t. durante 8 trimestres e prestações trimestrais de $ 23 000,00. a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 8┐10 = (1,1)8 -1/ 0,1*(1,1) 8 a 8┐10 = 5,334926 Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar 4 trimestrais de $ e com entrada de $ ,00.

Exercício 9:Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ ,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo: Taxas de juros prazo a) 2,5% a.m. 24 meses b) 4 % a.m. 12 meses c) 30% a.a. 5 anos R = PV / a n┐i a) Onde: PV = n= 24 meses i= 0,025 R = / 17,884986 R = $ 559,13 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 559,13, a uma taxa de 2,5% a.m., por 24 meses. a 24┐2,5 = (1,025)24 -1/ 0,025*(1,025)24 a 24┐2,5 = 17,884986

Exercício 9:Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ ,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo: Taxas de juros prazo a) 2,5% a.m. 24 meses b) 4 % a.m. 12 meses c) 30% a.a. 5 anos R = PV / a n┐i b) Onde: PV = n= 12 meses i= 0,04 R = / 9,385074 R = $ 1 065,52 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 1 065,52, a uma taxa de 4% a.m. por 12 meses. a 12┐4 = (1,04)12 -1/ 0,04*(1,04)12 a 12┐4 = 9,385074

Exercício 9:Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ ,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo: Taxas de juros prazo a) 2,5% a.m. 24 meses b) 4 % a.m. 12 meses c) 30% a.a. 5 anos R = PV / a n┐i c) Onde: PV = n= 5 anos i= 0,3 R = / 2,435570 R = $ 4 105,82 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 4 105,82, a uma taxa de 30% a.a. por 5 anos. a 5┐30 = (1,3)5 -1/ 0,3*(1,3)5 a 5┐30 = 2,435570

Exercício 10:As lojas Sorocabrás vende a geladeira de marca Sorocó por $ 2 000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após 1 mês? Onde: PV = 2 000 n= 18 meses i= 0,035 R = PV / a n┐i R = 2 000/ 13,189682 R = $ 151,63 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: o valor da prestação será de $ 151,63 durante 18 meses a uma taxa de 3,5% a.m. a 18┐3,5 = (1,035)18 -1/ 0,035*(1,035)18 a 18┐3,5 = 13,189682

Exercício 11:Graziele resolveu comprar um novo automóvel. Encontrou o que queria numa agência, com um preço a vista de $ ,00. Qual o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses a uma taxa de juros contratada de 3% a.m? Lembrete: Graziele não deu entrada. Onde: PV = n= 24 meses i= 0,03 R = PV / a n┐i R = / 16,935542 R = $ 2 952,37 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: o valor da prestação será de $ 2 952,37, do novo carro de Graziele, durante 24 meses a uma taxa de 3% a.m. a 24┐3 = (1,03)24 -1/ 0,03*(1,03)24 a 24┐3 = 16,935542

R =(PV –E) / a n┐i R = (3 000 – 1 200) / 5,075692 R = $ 354,63
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 12: A loja de confecções Roupa Certa Ltda., vende um terno por $ 3 000,00. No crediário é exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% a.m. Qual será o valor das prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais? PV - E = R * a n┐i Onde: PV = 3 000 n= 6 meses i= 0,05 E = 3 000*0,4= 1 200 R =(PV –E) / a n┐i R = (3 000 – 1 200) / 5,075692 R = $ 354,63 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: deverão ser pagas 6 mensais iguais de $ 354,63 a uma taxa de 5% a.m. e com uma entrada de $ 1 200,00. a 6┐5 = (1,05)6 -1/ 0,05*(1,05)6 a 6┐5 = 5,075692

R =(PV –E) / a n┐i R = (500 000 – 210 000) / 9,663334 R = $ 30 010,35
6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 13: O preço a vista de um barco é de $ ,00. João Arnaldo comprou o barco por uma entrada de 42% mais 12 prestações mensais iguais a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Qual é o valor da prestação? PV - E = R * a n┐i Onde: PV = n= 12 meses i= 0,035 E = *0,42= R =(PV –E) / a n┐i R = ( – ) / 9,663334 R = $ ,35 a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n Resposta: o valor das percelas será de $ ,35, por 12 meses a uma taxa de 3,5% a.m. e com uma entrada de $ a 12┐3,5 = (1,035)12 -1/ 0,035*(1,035)12 a 12┐3,5 = 9,663334

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