TRANSFORMADA DE LAPLACE

Apresentação em tema: "TRANSFORMADA DE LAPLACE"— Transcrição da apresentação:

1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência. Propriedades da região de convergência. Transformada inversa. Propriedades da transformada de Laplace. Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace. Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência.

2 Motivação SLIT convolução produto TL TL-1

3 Definição Exponencial direita para

4 Definição Exponencial esquerda para

5 Definição

6 Exemplos Mapa polos/zeros Ex. 1 zero: polos:

7 Tabela Exemplos Ex. 2 Mapa polos/zeros

8 Tabela Exemplos Ex. 3 não tem transformada de Laplace

9 Propriedades da Região de Convergência (RC)
A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário. P2 A RC não contém polos. P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio plano , exceptuando eventualmente as rectas ou

10 Propriedades da Região de Convergência (RC)
Re(s) Im(s) Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC. Re(s) Im(s) P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC.

11 Propriedades da Região de Convergência (RC)
Re(s) Im(s) Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então a RC é uma faixa do plano que contém a recta

12 Propriedades da Região de Convergência (RC)
Exemplo Quais são as RC que é possível associar a este mapa polos/zeros? Para cada RC, diga se o sinal no tempo é de duração finita, esquerdo, direito ou bilateral. sinal esquerdo sinal bilateral sinal direito

13 Transformada de Laplace inversa
Funções racionais 1º Expansão em fracções simples de X(s)

14 Transformada de Laplace inversa
Funções racionais 2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções 3º Determinação, por simples inspecção, da transformada de Laplace inversa de cada um dos termos

15 Transformada de Laplace inversa
Funções racionais E se… obtém-se…

16 Propriedades da transformada de Laplace
P1: Linearidade Se então Ex.

17 Propriedades da transformada de Laplace
P2: Translação no Tempo Se então excepto para a possível inclusão/exclusão de Ex.

18 Propriedades da transformada de Laplace
P3: Translação no Domínio da Transformada Se então Ex.

19 Propriedades da transformada de Laplace
P4: Mudança de Escala Se então Ex.

20 Propriedades da transformada de Laplace
P5: Convolução Se então Ex.

21 Propriedades da transformada de Laplace
P6: Diferenciação no Domínio do Tempo Se então Ex. 1 Ex. 2 Tabela:

22 Propriedades da transformada de Laplace
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada Se então Ex.

23 Propriedades da transformada de Laplace
P8: Integração no Domínio do Tempo Se então Nota: pela propriedade da convolução Ex.

24 Exemplos Sabendo que , determine a transformada de Laplace de Ex. 1
Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada Translação no tempo

25 Exemplos Sabendo que , determine o sinal . Ex. 2
Diferenciação no tempo Ex. 2 Sabendo que , determine o sinal Translação no tempo

26 Propriedades da transformada de Laplace
P9: Teorema do Valor Inicial Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , o limite de quando por valores positivos é P10: Teorema do Valor Final Se para e se convergir para um valor constante quando , então

27 TVI: TVF: Exemplo

28 Resposta Impulsional Função de Transferência
Ex. SLIT

29 Resposta no Tempo Exemplo 1. 2.

30 Resposta no Tempo Exemplo 1. 2. 3. Alternativa: sistema linear
x3(t) não tem transformada de Laplace sistema linear 3. Alternativa:

31 Resposta Impulsional Função de Transferência
SLITs em série – propriedade da convolução

32 Resposta Impulsional Função de Transferência
SLITs em paralelo – propriedade da linearidade

33 Função de Transferência
Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a expressão algébrica da função de transferência entre a entrada e a saída é imediato.

34 Equação Diferencial Função de Transferência
SLIT Linearidade Diferenciação no tempo

35 Equação Diferencial Função de Transferência
SLIT Ex. SLIT TL E a região de convergência de ? A equação diferencial não dá informação sobre a região de convergência de É necessário informação adicional, nomeadamente sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para inferir a região de convergência de

36 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 1 sistema causal: sistema não causal:

37 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 2 sistema causal: sistema não causal: sistema não causal:

38 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta sistema não causal Ex. 3 SLIT

39 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 2. de duração ilimitada com … A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a Ex 1. Sistema causal Sistema não causal

40 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 2. de duração ilimitada com … A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a Ex 2. Sistema não causal Sistema causal Sistema não causal

41 Propriedades dos SLITs
SLIT estável: Para , i.e., quando o SLIT é estável. condição necessária para que o sistema seja estável Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que , i.e.

42 Propriedades dos SLITs
SLIT estável: Ex 1. SLIT sistema instável tem 1 zero mas não tem polos

43 Propriedades dos SLITs
SLIT estável: Ex 2. Sistema estável Sistema instável Sistema instável

44 Propriedades dos SLITs
Exemplo: SLIT equação diferencial função de transferência SLIT causal SLIT estável

45 Propriedades dos SLITs
Mapa polos/zeros Exemplo SLIT causal Sistema causal: Valor final da resposta à entrada escalão unitário: Função de transferência do sistema: Mapa polos/zeros: Teorema do valor final: