Teoria das filas. Em duas horas???? ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas (continuo) Duração do serviço (continuo)

Apresentação em tema: "Teoria das filas. Em duas horas???? ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas (continuo) Duração do serviço (continuo)"— Transcrição da apresentação:

1 Teoria das filas

2 Em duas horas????

3 ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas (continuo) Duração do serviço (continuo) POR QUE NÃO SIMULAR???? São fórmulas relevantes???

4 ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....

5 ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades.... Ignorâncias: heterogeneidade,sistemas de filas,...

6 O resultado mais aceito é simples Teorema de Little: E[#clientes no sistema}= N E, Taxa média de chegadas=λ, Tempo médio gasto no sistema= T, Então qualquer que seja fila ergódica, temos N E = λT (e N q E =W)..

7 Little´s theorem N t =# médio em (0,t), γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t, N t = γ(t)/t α(t) = # chegadas em (0,t), T t = tempo de sistema/cliente até t (=α -1.γ ) λ t = taxa média de chegada em (0,t) (=α -1 /t) Ergodicidade → N E =λT

8 MODELÃO: Processos de nascimento e morte

9 MODELÃO: Processos de nascimento e morte Qual o vetor de estado??? Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema por categoria Segundo:...em filas de diferentes servidores Terceiro: memória

10 MODELÃO: Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória São os ditos Markovianos ( M )

11 MODELÃO: Processos de nascimento e morte Mais fácil: população eterna ou nascimento puro Intuição tempo discreto: P(X T+1 = k)=(1-p)P(X T = k) + p P(X T = k-1) para k>1 Note p independe de k e de T.... (se quiséssemos poderíamos ter p T p K p T,k )

12 Modelo de nascimento contínuo: Nascimentos independentes (sem memória) P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) = = λ k ∆ +o(∆), onde o(.).... o(.) e diferenciabilidade Então: se P k (t)=P[X(t)=k], temos (com P <0 (.)=0) P k (t+∆)=P k (t) [1- (λ k ∆) -o(∆)] + P k-1 (t)[ λ k ∆ +o(∆)] Ou, para ∆→0, P. k (t)= P k (t) [- (λ k )] + P k-1 (t)[ λ k ]

13 Modelo M de nascimento contínuo: Nascimentos independentes (sem memória) Poisson Taxa fixa de nascimentos P. k (t)= P k (t) [-λ] + P k-1 (t)[ λ] (com P <0 (.)=0). Com P o (0) =1, temos P o (t) =e -λt, P 1 (t) =λt e -λt P k (t) =(k!) -1 (λt) k e -λt (note que a cada instante as probabilidades somam 1)

14 Modelo M contínuo de morte : Inverso de Poisson: Tempos exponenciais Intervalos entre chegadas são exponenciais se e só se O processo de chegada é Poisson. Se chegadas Poisson, P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P 0 Poisson (t)= 1- e -λt,

15 Exponencial é sem memória : Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P 0 Poisson (t)= 1- e -λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??

16 Exponencial é sem memória : Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P 0 Poisson (t)= 1- e -λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)?? P(t 1 ≤T+t/t 1 >T)= [1-P(t 1 ≤T)] -1 {P(t 1 ≤T+t) - P(t 1 ≤T)}= 1- e -λt !!!!!

17 M/M/1 é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???

18 M/M/1 é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ??? Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o sistema de equações diferenciais é: P. k (t)= P k (t) [- (λ k )] + P k-1 (t)[ λ k ] + P k (t) [- (μ k )] + P k+1 (t)[ μ k ] = P k (t) [- (λ k + μ k )] + P k-1 (t)[ λ k ] + P k (t) [- (μ k )] + P k`+1 (t)[ μ k ] com λ k =λ e μ= μ k.

19 M/M/1 é fácil,mas não tanto Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. P. k (t)= P k (t) [- (λ k )] + P k-1 (t)[ λ k ] + P k (t) [- (μ k )] + P k+1 (t)[ μ k ] = - (λ+ μ) P k (t) +λ P k-1 (t) + + μP k+1 (t) com λ k =λ e μ= μ k. Transitório Regime (se existir, ergodicidade) P. k (t)= 0

20 M/M/1 em regime é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. P. k (t)= - (λ+ μ) P k (t) +λ P k-1 (t) + + μP k+1 (t) - (λ+ μ) p k +λ p k-1 + + μp k+1 =0 Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1, p k =p 0 ρ k normalizando para soma de probabilidades =1, temos p 0 =1-ρ a/(1-a)=Σa k.

21 M/M/1: impacto do congestionamento E[N]=ρ/(1-ρ) E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1-ρ) Var(N)= ρ/(1-ρ) 2

22 M/M/1 em regime é fácil Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente saída Poisson de razão λ Redes de Jackson.

23 Complicando a M/M/1 M/M/1 com desencorajamento (λ k cai com k/ pg 99) M/M/∞ (μ k =kμ) M/M/m (μ k = (min{k,m})μ) M/M/1/K (λ k =λ para k≤K, 0 caso contrário) M/M/m/m ( só cabem m)- bonzinho para nós M/M/1//M : pop. Finita M (λ k =[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso contrário) M/M/∞//M M/M/m/k/M

24 Servidores não homogêneos Filas x controle estocástico: servidores não homogêneos: Filas: sob custos de expansão um mínimo de capacidade de serviço é necessária. Controle: já tendo dois servidores instalados, melhor política é a de risca no chão (limiar)

25 Políticas de atendimento FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos de ordem maior que média mas não afetam “estabilidade” Redes de filas: até FCFS pode ser instável (estações virtuais) no caso não acíclico Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.

26 “Complicando” filas Markovianas Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em chegada individual Poison?? Telefonia Ou Quanto tempo para ser servido por k servidores de taxas kμ, correspondente a uma taxa média μ? Erlang de parâmetros R (taxa) e k (forma) pdf: f Rk (t)= [(k-1)!] -1 R (Rt) k-1 e -Rt. com k=1 R=λ exponencial (λ e -λt ) com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode” (exceto se mantiver (k/R)= média constante)

27 Ferramental Devido à presença de produtos de convolução (pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares..) transformadas de Laplace ou z. Saída de M/M/1: P(vazio). (tempo de chegada +serviço) + P(não vazio) (tempo de serviço)

28 Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial média 60 min. Quanto tempo devo esperar por um onibus em média??? Primeira vista a falta de memória da exponencial diz 60 minutos Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar 30 minutos!!!

29 Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera - Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria esperar 30 minutos!!! Errado: supondo 2 choferes se alternando um com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60) Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de chance de chofer rápido, dando interarrival time de 75 minutos. Para exponencial tipico interval time é de 120 minutos, o que dá 0s 60 do memoryless