Prof. Disney Douglas disney@ufam.edu.br Sistemas de Equações Lineares e Operações Elementares.

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1 Prof. Disney Douglas disney@ufam.edu.br
Sistemas de Equações Lineares e Operações Elementares

2 Sistemas de equações Lineares
Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações da forma em que e são constantes reais, para e .

3 Na forma Matricial

4 Solução do sistema Uma solução de um sistema linear é uma matriz
tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos O conjunto de todas as soluções do Sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema. A é chamada matriz do sistema linear.

5 Exemplo 1 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas pode ser escrito como A solução (geral) do sistema acima é

6 Resolução de um sistema
Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver, através de operações elementares: Trocar a posição de duas equações do sistema; Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; Somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar.

7 Matriz aumentada

8 Definição Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações: Trocar a posição de duas linhas da matriz; Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha.

9 Teorema 1 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D, são tais que a matriz aumentada [C ∣ D] é obtida de [A ∣ B] aplicando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.

10 Observação Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluao são chamados sistemas equivalentes. Portanto, segue-se do Teorema 1 que aplicando-se operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.

11 Método de Gauss-Jordan
Consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema, até que obtenhamos uma matriz em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo (chamado pivô) o número 1 . Além disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais a zero.

12 Exemplo Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; Para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$2,00, R$3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.

13 Solução

14 Solução

15 Solução Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.

16 Definição Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições: (a) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas; (b) O pivô de cada linha não nula é igual a 1; (c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior. (d) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero. Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d), dizemos que ela está na forma escalonada.

17 Exemplos

18 Exemplo Considere o sistema Sua matiz aumentada é

19 Exemplo Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema que não possui solução.

20 Exemplo Considere o sistema a sua matriz aumentada é

21 Exemplo Matriz escalonada reduzida.

22 Exemplo Assim, a solução geral do sistema é

23 Aula disponível em www.ufam.edu.br/dm/linear1.htm
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