UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS

Apresentação em tema: "UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS"— Transcrição da apresentação:

1 UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
CÁLCULO NUMÉRICO UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS Objetivos: Aplicar algoritmos numéricos para determinação dos zeros das funções reais . 2.1 – Introdução 2.2 – Fase I – Isolamento 2.3 – Fase II – Refinamento 2.3.1 – Critério da Parada 2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções

2 2.1 – Introdução Na área de exatas, as mais diversas situações a resolução de equação do tipo f(x)=0. R v=g(i) E Neste circuito há um dispositivo não linear onde a g é uma função da corrente elétrica não linear Lei de Kirchhoff É um polinômio de 3º grau Portanto x é uma função f(x) ou raiz da equação f(x)=0 se f(x)=0 Em alguns casos as raízes podem se complexas

3 2.1 – Introdução Graficamente o zero das funções reais constitui os pontos das abcissa que intercepta o eixo x. 1 2 f(x) x 1 2 f(x) x 3 1 2 f(x) x 3

4 Como obter as raízes reais de uma equação qualquer?
2.1 – Introdução A questão é: Como obter as raízes reais de uma equação qualquer? Para equações de 1º e 2º graus e equações que possam ser reduzidos a equações deste tipo, há soluções analíticas. Para equações de maior grau e funções não lineares o problema se torna mais complexo e não há solução exata. De qualquer forma, utilizando-se uma máquina adequada podemos encontrar as raízes aproximadas com precisão pré fixada.

5 2.1 – Introdução Desta forma o ideal é:
Obter uma aproximação inicial da raiz; Refinar essa aproximação com processos iterativos Portanto, o método numérico constitui-se em duas fases: Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes: Consiste em definir o intervalo que contém a raiz. Fase II – Refinamento: Após a fase I, realizar uma melhora sucessiva até obter a raiz dentro de uma precisão pré fixada

6 2.1 – Isolamento das Raízes
Faz-se a análise teórica e gráfica de f(x). Teorema I: (Cauchy-Bolzano) Seja f(x) uma função no intervalo [a,b] Obs1: se f(a)f(b)<0 então existe pelo menos um x=x entre a e b em que f(x)=0 Graficamente:  b f(x) x a 1 2 f(x) x 3 a b a 1 f(x) x 2 b

7 2.1 – Isolamento das Raízes
No caso do teorema 1, se f’(x) existir e permanecer com o mesmo sinal de (a,b) então este intervalo contém um único zero para f(x).  b f(x) x a f’(x) > 0, x  [a,b]  f(x) x a b f’(x) < 0, x  [a,b]

8 Forma de isolar as raízes: Tabelar f(x) para vários valores de x;
2.1 – Isolamento das Raízes Forma de isolar as raízes: Tabelar f(x) para vários valores de x; Examinar o sinal de f’(x) onde houve a mudança de sinal. Exemplo 1: a) f(x)=x3-9x+3 + - f(x) 5 4 3 2 1 -1 -3 -5 -10 -100 - x I3 = [2, 3] I1 = [-5, -3] I2 = [0, 1] Cada um dos intervalos contém pelo menos um zero. Como a função é do 3º grau pode-se afirmar que a apenas uma raiz em cada intervalo f(x) é contínua para x R.

9 2.1 – Isolamento das Raízes
Exemplo 2: b) x 1 2 3 ... f(x) - + f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2] Análise do sinal de f’(x) f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo (1, 2).

10 Obs2: se f(a)f(b)>0Podemos ter várias situações como por exemplo:
2.1 – Isolamento das Raízes Obs2: se f(a)f(b)>0Podemos ter várias situações como por exemplo: b f(x) x a a  f(x) x b f(x) 1 2 x a b Neste caso é necessário a análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x)=0.

11 Os processos de análise gráfica são os seguintes:
2.1 – Isolamento das Raízes Os processos de análise gráfica são os seguintes: Esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissa dos pontos onde a curva intercepta o eixo x. A partir da equação f(x)=0 obter a equação equivalente g(x)=f(x) , esboçar o gráfico de ambas as funções no mesmo plano cartesiano e localizar os ponto x onde as curvas se interceptam, pois neste caso: f(x)=0 g(x)=h(x). Usar programas que esboçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

12 2.1 – Isolamento das Raízes
Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico Domínio da função Pontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máximo e mínimo Concavidade Pontos de inflexão Assíntotas da função (Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)

13 2.1 – Isolamento das Raízes
Análise gráfica: Exemplo 3: Uso do método (i) 3 f(x) x -4 1 -3 -2 -1 2 3 4 2 1 f(x) = x3 – 9x +3 f’(x) = 3x2 - 9 f’(x) = 0 <=> x = x f(x) -4 -25 -3 3 13,3923 -1 11 1 -5 -7,3923 2 -7 1  (-4, -3);  2 (0, 1);  3 (2, 3)

14 2.1 – Isolamento das Raízes
Análise gráfica: Exemplo 4: Uso do método (ii) f(x) = x3 – 9x +3 3 g(x) x -4 1 -3 -2 -1 2 3 4 2 1 h(x) y g(x) = x3 h(x) = 9x -3  3  (2, 3) 1  (-4, -3)  2  (0, 1)

15 Métodos Iterativos são sequencias de instruções repetitiva em ciclos
2.3 – Fase II – Refinamento Métodos Iterativos são sequencias de instruções repetitiva em ciclos Cada nova Iteração utiliza o resultado do ciclo anterior

16 2.3 – Fase II – Refinamento INICIO Dados Iniciais Cálculos Iniciais
K=1 Calcular nova Aproximação Está aproximação está próxima o suficiente da raiz exata? S Cálculos Finais N FIM Cálculos Intermediários

17 é raiz aproximada com precisão e se:
2.3.1 – Critério de Parada Há duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproximada com precisão e se: Como efetuar o teste (i) se não conhecemos x? Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que  b f(x) x a b – a <  então Pode ser tomado como

18 Nem sempre é possível satisfazer a condição (i) e (ii).
2.3.1 – Critério de Parada Nem sempre é possível satisfazer a condição (i) e (ii). x f(x) mas x f(x) tem-se mas em x f(x) Os métodos numéricos são desenvolvidos para satisfazer um dos dois critérios. Para x escolhido na vizinhança de x. Dependendo da ordem de grandeza, aconselha-se utilizar o erro relativo:

19 2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções
I – Método da bissecção. Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0. Supor, por simplificação, a existência de uma única raiz. Objetivo: Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir a precisão requerida: (b-a)<e, dividindo-se sucessivamente o [a,b] ao meio. Iterações: f(x) x2=a3 a=a0=a1 b=b0 x0=b1=b2=b3 x1==a2 Graficamente:

20 I – Método da bissecção. Exemplo:
Achar o zero aproximado da função f(x)=xlog(x)-1 que possui um zero no intervalo [2,3] com e=0,125.

21 I – Método da bissecção. Algoritmo: Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0. 1)Dados iniciais: a) Intervalo [a,b] b) precisão e 2) Se (b-a)<e, então escolha para qualquer x X [a,b].Fim. 3 K=1 4) M=F(a) 5)x=(a+b)/2 6)Se M.f(x)>0, faça a=x. vá para passo 8. 7) b=x 8) Se (b-a)<e, escolha qualquer X[a,b]. FIM. 9) K=K+1. Volte para o passo 5.

22 Se os valores fossem exatos
I – Método da bissecção. Condições de parada Se os valores fossem exatos f(x) = 0 (b k– ak)= 0 Caso cont´rário |f(x)|  e |(bk – ak)|  e

23 Deve-se obter o valor de k tal que:
I – Método da bissecção. Estimativa do número de iterações Dada a precisão e e o intervalo [a,b] a estimativa do número de iterações é obtido como se segue: Deve-se obter o valor de k tal que:

24 I – Método da bissecção. Observações finais:
Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0 este método vai gerar uma sequência {xk} que converge para a raiz. É sempre possível obter um intervalo que contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimentos deste intervalo final satisfaz a precisão requerida. As iterações não envolvem cálculos laboriosos. A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do intervalo anterior; A convergência é muito lenta pois o intervalo inicial é tal que b0-a0>>e e se e for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande como por exemplo: O algoritmo apresentado pode incluir também o teste de parada com o módulo da função e o número máximo de iterações.

25 O fim....O fim