Matriz quadrada de ordem 1

Apresentação em tema: "Matriz quadrada de ordem 1"— Transcrição da apresentação:

1 Matriz quadrada de ordem 1
DETERMINANTES Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a11 ), o seu determinante será o próprio elemento a11. det A = a11 = a11 Exemplo.: A = ( 120 )  det A = 120 B = (– 29 )  det A = – 29

2 Matriz quadrada de ordem 2
a a12 a a22 a a12 a a22  det A = = a11  a22 – a12  a21 Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. A = – 1 –5 – 1 –5  det A = = (–3)  (–5) – (2)  (1) det A = 15 – 2 = 13 det A = 13

3 Matriz quadrada de ordem 3
Regra de Sarrus: Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)

4 a a a13 a a a a a12 a a a23 ou a a a a a22 a a a33 a a a a a32 a a a13 a a a23 SDP = ( a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 ) SDS = ( a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21 ) det A = SDP – SDI

5 Propriedades dos determinantes
1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais det A = = (0)  (5) – (0)  (3) = 0 – 0 = –5 det A =  det A = ( 0 + 45 – 15 ) – ( 0 + 45 – 15 ) det A = 0

6 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal.
–5 det A = det A = ( 0 + 15 – 30 ) – ( 0 – 5 + 18 )  det A = (– 15 ) – ( 13 ) det A = –28 –5 det A = = ( 0 + 18 – 5 ) – ( 0 – 30 + 15 )  ( 13 ) – ( –15 ) det A = 28

7 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número k, o seu determinante ficará multiplicado por k. det A = = (10) – (12) = –2 k = 3 det B = = (30) – (36) = –6 det B = kdet A det B = 3(–2) = –6

8  4. Da propriedade 3, decorre que: det ( kAn ) = kndet An. A2 = 2 4
 3A2 = k = 3 det ( 3A2) = = (90) – (108) = –18 det ( 3A2 ) = 32det A2 = 9(–2) = –18

9   5. det A = det AT . 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = det A = ( 0 + 15
–5 det A = det A = ( 0 + 15 – 30 ) – ( 0 – 5 + 18 )  det A = (– 15 ) – ( 13 ) det A = –28 5 –5 2 det AT = det AT = ( 0 – 30 + 15 ) – ( 0 – 5 + 18 )  det AT = (– 15 ) – ( 13 ) det AT = –28

10 6. det ( An  Bn ) = det A  det B
; B2 = A2  B2 =  = det ( An  Bn ) = 400 – 392 = 8 det A  det B = (–2)  (–4) = 8

11 7. det In = 1 det I3 =  det I3 = 1 8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. 0 –2 1 det A = det A = 5  (–2)  3 = –30

12 Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. A–1 A = A  A–1 = I  det A  0. A–1 = d –b –c a det A 1. Se A2x2 = a b c d , então : 2. det A–1 = 1 det A , det A  0 3. Se A possuir inversa, essa será única.

13 01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que satisfaz A2 = 2A, então o determinante de A será: 0. 1. 2. 3. 4. det A2 = det (2A) det A  det A = 22  det A det A = 4 E

14 A 02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o
determinante da matriz A = x x 1 2 x –x 1 x 1 3. 2. 1. 0. 4. x x 1 P(x) = x2 + 2x – x2 – x + x3 – 2x P(x) = 2 x –x 1 x 1 P(x) = x3 – x x x 1 Grau 3 2 x –x A

15 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
(01) Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por kij = 22i + j para i < j e kij = i2 + 1 para i > j, então k é uma matriz inversível. K = k k12 k k22 K = k11 = = 2 Det K = 10 – 80 = –70  0 k12 = 22(1) + 2 = 24 = 16  é inversível k21 = = 5 (01) - correta k22 = = 5

16 A  B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0.
(02) Se A e B são matrizes tais que A  B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A  B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R2 tem 625 elementos. Ordem n M5x7  P7x5 = R5x5 (A matriz R possui 25 elementos) c.e.p Logo, a matriz R2 tem 25 elementos. (04) - incorreta

17 A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal.
(08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(LT). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : = 09

18 a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
SISTEMAS LINEARES Equação Linear é uma equação de forma: a1x1 + a2x2 + a3x anxn = b Portanto, um sistema será linear quando for composto de equações lineares. 2x + 3y – z = 5 x – y + z = 2 –5x – 3y + 4z = 10 2x + 3y = 5 x – y = 2 linear 2x2 + 3y = 5 x – y = 2 2xy + 3y = 5 x – y = 2 não-linear

19 Forma matricial completa
Observações: 3x + 2y + z = 1 x – y + 3z = 2 5x + 2y + z = 7 1 –1 3 x y z 1 2 7 = . Forma matricial 1.  1 – Forma matricial completa 2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é denominanda matriz principal.

20 3. Se o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz principal () for diferente de zero,o sistema recebe o nome de normal. 4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o sistem é chamado de homogêneo. 2x + 3y = 0 x – y = 0

21 Método de Cramer a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
an1x1 + an2x2 + an3x annxn = bn . a11 a12 a a1n a21 a22 a a2n . an1 an2 an ann  =

22 b1 a12 a a1n b2 a22 a a2n . bn an2 an ann x1 = a11 b1 a a1n a21 b2 a a2n . an1 bn an ann x2 = a11 a12 b a1n a21 a22 b a2n . an1 an2 bn ann x3 =

23 a11 a12 a b1 a21 a22 a b2 . an1 an2 an bn xn = Se   0 temos: x1 x1 =  x2 x2 = x3 x3 = xn xn = , ...

24 Exemplo: 3x + 2y = 8 x – y = 1 x = x  = –10 –5 = 2  = 3 2 1 -1 = – 3 – 2 = – 5 y = y  = –5 = 1 x = 8 2 1 -1 = – 8 – 2 = – 10 S = {(x, y)} y = 3 8 1 1 = 3 – 8 = – 5 S = {(2, 1)}

25 Infinitas soluções  = 0 e x  0 ou y  0 ou z  0.
DISCUSSÃO DE SISTEMAS determinado Solução única   0 Possível indeterminado Sistema linear Infinitas soluções  = x = y = z = 0 Impossível (sem solução) Infinitas soluções  = 0 e x  0 ou y  0 ou z  0.

26 Se o sistema linear for homogêneo:
Possível e determinado (   0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} ) Solução trivial Possível e indeterminado (  = 0 ) (Além da trivial, admitirá soluções próprias)

27 04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois
04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg. Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg. Quanto pesa Beatriz? A + B = 30 B + C = 28 A C = 34 A + B = 30 -A + B = –6 + (–) 2B = 24 B = 12 Beatriz tem 12 kg.

28 x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4 05. (UFSM – RS) Considere o sistema Então, pode-se afirmar que o sistema é: possível e indeterminado. Impossível para qualquer valor de m. Possível e determinado. Possível para m  2. Impossível apenas quando m  2.

29 Impossível para qualquer valor de m.
x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4  (2)  (3) x + y + z = 1 x + y + z = 4 3 m 2 x + y + z = 1 x + y + z = 4 3 Impossível para qualquer valor de m. B

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