CONTAGEM.

Apresentação em tema: "CONTAGEM."— Transcrição da apresentação:

1 CONTAGEM

2 Aula de hoje Correção dos Exercícios Permutações com Repetição
Combinações com Repetição Permutações com Objetos Idênticos Distribuição de Objetos em Caixas

3 Exercício 5 Para fazer uma viagem Rio - São Paulo – Rio, posso usar como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? Três meios de transporte

4 Exercício 5 Ida (Rio – São Paulo) Posso ir de 3 formas diferentes

5 Exercício 5 Ida (Rio – São Paulo) Posso ir de 3 formas diferentes
Volta (São Paulo - Rio) Posso voltar somente de 2 formas diferentes

6 Exercício 5 Ida (Rio – São Paulo) Posso ir de 3 formas diferentes
Volta (São Paulo - Rio) Posso voltar somente de 2 formas diferentes Logo: 3 x 2 = 6 modos de se fazer a viagem.

7 Exercício 6 Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? 3 cores

8 Exercício 6 Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? Possibilidades para pintar 3 cores ? ? 3 cores ?

9 Exercício 6 Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? Possibilidades para pintar 3 cores 2 cores 2 cores 3 cores 2 cores

10 Exercício 6 Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? Possibilidades para pintar 3 cores 2 cores 2 cores 3 cores 2 cores Total = 24 cores

11 Exercício 7 Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? base 10

12 Exercício 7 Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? base 10 ________ _________ __________

13 Exercício 7 Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? base 10 ____9____ ____?_____ ____?______ Não pode ser o 0

14 Exercício 7 Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? base 10 ____9____ ____9_____ ____?______ Deve ser distinto

15 Exercício 7 Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? base 10 ____9____ ____9_____ ____8______ Deve ser distinto

16 Exercício 7 Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? base 10 ____9____ ____9_____ ____8______ = 648

17 Exercício 8 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? ______ ______ _______ ____?____ quantos são possíveis aqui?

18 Exercício 8 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? ______ ______ _______ ____1____ tem que ser o 5

19 Exercício 8 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __?____ ______ _______ ____1____ Quantos são possíveis aqui?

20 Exercício 8 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __3___ ______ _______ ____1____ Não pode ser o 5

21 Exercício 8 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __3___ ___?___ ___?____ ____1____ Quantos são possíveis aqui?

22 Exercício 8 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __3___ ___4___ ___4____ ____1____ Total de 48 modos!!!

23 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____?_____ De quantos modos podemos escolher?

24 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____5_____ Pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8

25 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____5_____ De quantos modos podemos escolher?

26 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____5_____ Depende!!!!

27 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____9_____ _____?______ _____0_____ O zero foi usado no ultimo!!!! _____8_____ _____?______ __2,4,6,8___ Não pode ser 0 nem o ultimo usado

28 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? Caso 1) Termina com 0 _____9_____ _____8______ _____1_____ Caso 2) Não termina com 0 _____8_____ _____8______ _____4_____

29 Exercício 8 Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? Caso 1) Termina com 0 = 72 números _____9_____ _____8______ _____1_____ Caso 2) Não termina com 0 = 256 números _____8_____ _____8______ _____4_____ Total = = 328

30 Permutação e Combinação
A ordem dos elementos é importante A ordem dos elementos não importa Permutação Combinação ?

31 Permutação e Combinação
A ordem dos elementos é importante A ordem dos elementos não importa Permutação Combinação

32 Pergunta? Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? Distintas: ____26____ ____25____ ____24____ P(26,3) = 26! / (26-3)!

33 Pergunta? Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? Distintas: ____26____ ____25____ ____24____ P(26,3) = 26! / (26-3)! Repetidas: ____?____ ____?____ ____?____

34 Pergunta? Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? Distintas: ____26____ ____25____ ____24____ P(26,3) = 26! / (26-3)! Repetidas: ____26____ ____26____ ____26____ 263

35 Permutações com Repetição
Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? Distintas: P(n,r) = n! / (n-r)! Repetidas: O número de r-permutações de um conjunto com n objetos, com repetição, é nr

36 Pergunta? De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?

37 Pergunta? De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?

38 Combinações com Repetição
Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.

39 Combinações com Repetição
Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida. De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante? O que é n? O que é r?

40 Combinações com Repetição
Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida. De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante? n são as possíveis escolhas (2 cores) r é o numero de cartas a serem escolhidas (3)

41 Combinações com Repetição
Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida. C(2+3-1, 3) = C(4,3) = 4

42 Pergunta Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?

43 Pergunta Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? COMBINAÇÃO

44 Pergunta Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? C(n+r-1,r) = C(?,?)

45 Pergunta Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4)

46 Pergunta Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4) = = C(6,4) = 6x5 / 2 = 15

47 Pergunta

48 Exercício 10 Quantos são os anagramas de PRATICO?

49 Exercício 10 Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7!

50 Pergunta Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7!
Quantos são os anagramas de SUCCESS?

51 Pergunta Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7!
Quantos são os anagramas de SUCCESS? Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s 2 C ´s 1 U e 1 E

52 Permutações com objetos idênticos
Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! Quantos são os anagramas de SUCCESS? Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s 1 U e 1 E

53 Permutações com objetos idênticos
Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! Quantos são os anagramas de SUCCESS? Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2) 1 U C(2,1) 1 E C(1,1)

54 Permutações com objetos idênticos
Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! Quantos são os anagramas de SUCCESS? Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2) 1 U C(2,1) 1 E C(1,1) = C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420

55 Permutações com objetos idênticos
Quantos são os anagramas de SUCCESS? 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2) 1 U C(2,1) 1 E C(1,1) = C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420 = 7! / 3! x 2! x 1! x 1! Teorema?!!

56 Permutações com objetos idênticos
Quantos são os anagramas de SUCCESS? = C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420 = 7! / 3! x 2! x 1! x 1! O número de permutações diferentes de n objetos, em que há n1 objetos idênticos do tipo 1, n2 objetos idênticos do tipo 2, ... E nk objetos idênticos do tipo k, é n! n1! n2! ... nk!