A Máquina Crossbow – Leonardo da Vinci

A Máquina Crossbow – Leonardo da Vinci
1) A Máquina Crossbow – Leonardo da Vinci

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
FÍSICA EXPERIMENTAL I José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS “ A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática” – Galileu Galilei 1) 2) Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO O Método Científico Definir e/ou indentificar o problema Passo a passo do método científico Formular uma hipótese Fazer observações (medidas de grandezas físicas) Testar hipótese/Fazer experimentos Organizar e analisar dados (tratamento de dados) Devemos fazer novos experimentos! Nao!! Será que houve erro nos experimentos? Os experimentos e observações concordam com a hipótese? Sim! Fazer conclusões Publicar resultados Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Algumas definições importantes: grandeza física 1) Grandeza física: é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza. a) Qualitativa: para cada conceito diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e vice-versa. b) Quantitativa: o conceito que define a grandeza é expresso na forma de um binário contendo um número e uma unidade. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Grandeza física Exemplos de grandezas físicas: tempo, comprimento, distância, massa, ângulo, força. As grandezas físicas são classificadas como mostrado abaixo. a) Grandezas fundamentais (independentes): massa, comprimento e tempo, que como se sabe formam o Sistema Internacional – SI. b) Grandezas derivadas (dependentes): área, volume, ângulo, velocidade, aceleração, força, momento linear, torque, momento angular, etc… Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Como medir uma grandeza física? Toda grandeza física deve ser passível de ser medida. Então, surge a pergunta: como medir uma grandeza física? Medir uma grandeza física significa compará-la com outra, da mesma espécie, definida como unidade, para verificar a relação numérica entre elas. Exemplo: medida do comprimento de uma barra. Barra a ter o seu comprimento medido Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Como medir uma grandeza física? Para medir o comprimento da barra precisamos estabelecer um padrão. Padrão de medida para o comprimento da barra Podemos usar como padrão, por exemplo, o pé de uma pessoa. Então, qual é o valor do comprimento da barra L? 1) L = 4,6 pés Barra e seu padrão de comparação (pés) Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Medidas e erros experimentais Toda medida traz consigo erros intrínsecos, isto é associados ao processo de medição. Por exemplo, qual o valor da medida do volume do líquido dentro da proveta? É 17 ml? Ou é 18 ml? 1) Copyright 2007 Prentice Hall Inc. Como definir cientificamente o valor da medida deste volume? Volume de líquido a ser medida com uma proveta Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Medidas analógicas Outro exemplo: qual o valor da medida de diferença de potencial elétrico fornecido pelo voltímetro abaixo? É 40 V? Ou é 45 V? Como definir de forma científica o valor desta diferença de potencial? 1) Diferença de potencial medida com um voltímetro analógico Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Medidas e erros experimentais: medidas elétricas digitais Qual o valor da medida de tempo fornecido pelo cronômetro digital abaixo? É 2,93 s? Qual a confiabilidade desta medida? 1) Qual é a precisão (acurácia) desta medida? Tempo medido com um cronômetro digital Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Apresentação das medidas e seus erros e unidades Para melhor definirmos a medida de uma grandeza física, a toda medida experimental associamos um ERRO. Este ERRO experimental tem que fazer parte do resultado da medição. G = (M  M) U G  Grandeza ΔM  Erro da medida M  Medida U  Unidade Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Exemplos da apresentação de medidas Medida do volume de líquido em uma proveta 1) Copyright 2007 Prentice Hall Inc. 2) Medida da diferença de potencial elétrica em um voltímetro analógico 17 ml < V < 18 ml 135 V < V < 140 V V = (17,7 ± 0,7) ml V = (136 ± 2) V Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Medidas diretas Em medidas diretas o valor a ser medido da grandeza é comparado com o valor padrão. Medida direta do comprimento de uma barra feita com uma régua milimetrada Qual o comprimento L do pedaço de madeira, desconsiderando a medida do erro experimental? L = 4,57 cm Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Medidas indiretas Já em medidas indiretas as mesmas são obtidas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas. Medida indireta da área de uma barra feita com réguas milimetradas Qual a medida da área do pedaço de madeira? A área A do pedaço de madeira é calculada a partir das medidas de comprimento L e largura D do mesmo. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Determinação da área da barra
Medidas indiretas: o cálculo Determinação da área da barra L = 4,57 cm D = 0,43 cm A = 4,57 cm  0,43 cm A = 1,9651 cm2 A = 2,0 cm2 Individualmente, as medidas de L e D apresentam erros. Consequentemente, a medida indereta da área A também possui erros!!! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

A person with a watch knows what time it is.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Filosofia básica no laboratório A person with a watch knows what time it is. A person with two watches is never sure. 1) Wind_Roadmap.pdf-Page14 IEA (International Energy Agency)(2008a), Energy Technology Perspectives: Scenarios and Strategies to 2020, Paris, France. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Como distinguir algarismos significativos Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos. Ou seja, na prática algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso. O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida... …logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Exemplos de algarismos significativos: medidor analógico Medida do volume de líquido em uma proveta 1) Copyright 2007 Prentice Hall Inc. 2) Medida da diferença de potencial elétrica em um voltímetro analógico V = (17,7 ± 0,7) ml V = (136 ± 2) V três algarismos significativos três algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Exemplos de algarismos significativos: medidor digital Multímetro digital 1) 2) Termômetro digital V = 3,999 V T = 27 C quatro algarismos significativos dois algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Algarismos significativos e instrumentos de medida O número de algarismos significativos de uma medida depende do instrumento de medida usado. Seja, por exemplo a medida da temperatura com dois termômetros de acurácia diferentes, como mostrado abaixo. Medida da temperatura feita com sensor T = 30,0 C 1) 2) Medida da temperatura feita com um termômetro de bulbo T = 30 C Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Algarismos significativos: exemplos de réguas Réguas com diferentes graduações fornecem a mesma medida com número de algarismos significativos distintos. dm cm mm Três réguas com diferentes graduações usadas para medir o comprimento de uma mesma barra Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Medindo o comprimento da barra com cada régua... Medidas com três réguas distintas dm cm mm Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos régua decimetrada 1,1 dm 2 régua centimetrada 11,3 cm 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 Suposição... “chute”: depende do olho do medidor. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Mais um exemplo... Mais réguas e suas medidas dm cm mm Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos régua decimetrada 1,0 dm 2 régua centimetrada 10,0 cm 3 régua milimetrada 100,0 mm 4 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Agora é a hora de vocês pensarem um pouco... A medida feita com a maior acurácia possível Qual o comprimento da barra mostrada acima? 1) 4,5 cm 2) 4,57 cm 3) 4,574 cm Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

Vamos pensar mais um pouco... … e testar os conhecimentos adquiridos sobre algarismos significativos Vamos completar as tabelas acima e ao lado com a quantidade de AS correta. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 28 28

E agora, múltiplas alternativas... Determine a quantidade de AS correta em cada caso. A. 0,030 m B l C. 0,0008 g D. 3,00 m E. 0, Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 29 29

E as respostas corretas são... A. 0,030 m B litros C. 0,0008 g 1 D. 3,00 m E. 0, Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 30 30

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Algumas definições A precisão da medida de uma grandeza física refere-se a reprodutibilidade desta medida quando a repetimos sob as mesmas condições. Em outras palavras, quando falamos de precisão estamos falando de quão próximo as medidas estão uma da outra quando as repetimos sob as mesmas condições. Já o termo acurácia refere-se a quão próximo a medida realizada está do valor real, previamente adotado como referência. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: acurado e preciso Seja uma pessoa em um jogo de dardos, testando a sua precisão e acurácia. No caso em questão ele apresenta alta acurácia e alta precisão. 1) A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo. Alta precisão e alta acurácia no tiro ao alvo Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos entre si, com baixa dispersão*. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 33 33

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e preciso Neste outro caso, mostrado ao lado, ele apresenta baixa acurácia e alta precisão. A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo. 1) Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, diminuindo a sua dispersão*. Alta precisão e baixa acurácia no tiro ao alvo Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 34 34

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: acurado e não preciso No caso em questão ele apresenta alta acurácia e baixa precisão. A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo. 1) Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão*. Baixa precisão e alta acurácia no tiro ao alvo Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 35 35

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Finalmente, não acurado e não preciso Por fim, no caso em questão ele apresenta baixa acurácia e baixa precisão. A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo. 1) Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão*. Baixa precisão e baixa acurácia no tiro ao alvo Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 36 36

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: conclusão Observamos agora as quatro situações e analisamos as diferenças entre elas. A precisão e a acurácia de uma medida estão associadas aos tipos de erros cometidos durante o processo de medição. 1) Precisão e acurácia no tiro ao alvo Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 37 37

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medidas feitas com acurácia e com precisão no laboratório Abaixo vemos medidas de massa feitas com uma balança bem aferida (medida acurada) e feitas de forma cuidadosa (medida precisa). A boa aferição da balança garante que as medidas estão próximas do valor esperado de 25,0 g. 1) O cuidado na realização da medida garante que a dispersão* delas seja baixa também. Medidas de massa feitas cuidadosamente em uma balança aferida Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medidas feitas com precisão e sem acurácia no laboratório Abaixo vemos medidas de massa feitas com uma balança mal aferida (medida não acurada), mas feitas de forma cuidadosa (medida precisa). A má aferição da balança garante que as medidas estão distantes do valor esperado de 25,0 g. 1) Porém, o cuidado na realização da medida garante que a dispersão* delas também seja baixa. Medidas de massa feitas cuidadosamente em uma balança mal aferida Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Tipos de erros cometidos durante a medição Erros podem ser divididos em erros sistemáticos e erros aleatórios. a) Erro sistemático: acontece quando todos os valores medidos são muito altos ou muito baixos do que o valor real. b) Erro aleatório: na ausência de erro sistemático, ocorre quando alguns valores são muito maiores e outros muito menores do que o valor real. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Erro sistemático no laboratório Erros sistemáticos ocorrem, por exemplo quando usamos sistematicamente um instrumento de medida mal aferido. Desta forma, não importa quão cuidadosa tenha sido feita a medida, o resultado sempre será muito aquém do valor esperado. 1) Neste caso, nada resta senão repetir a medida em um insrumento bem aferido. Medidas de massa feitas em uma balança mal aferida Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Erros aleatórios no laboratório Erros aleatórios ocorrem, por exemplo quando usamos um instrumento de medida bem aferido, mas fazemos as medidas de forma pouco cuidadosa. Desta forma, mesmo fazendo as medidas de forma descuidada, o valor médio* destas medidas fica próxima do valor esperado. 1) Neste caso, se a dispersão* das medidas for muito elevada, pode-se pensar em refazê-las. Medidas de massa feitas sem cuidado em uma balança bem aferida Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Definição de instrumento de medida mais preciso Medidas com três réguas distintas dm cm mm Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos régua decimetrada 1,1 dm 2 régua centimetrada 11,3 cm 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 Qual é a régua mais acurada? Por quê? É a régua milimetrada, pois tem maior número de AS. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medida e escala do instrumento de medida O resultado de uma medida fornece informação sobre a escala do instrumento adotado para a medição. Considere a medida apresentada abaixo. Perguntamos, então qual a escala da régua usada nesta medição? Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

L = 17,3 cm MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA A função do algarismo duvidoso Para responder a esta pergunta devemos olhar para o último algarismo significativo à direita do número apresentado. L = 17,3 cm Como vimos, este último algarismo significativo é o algarismo duvidoso. Desta forma, concluímos que a régua usada é centimetrada pois o algarismo duvidoso está na primeira casa decimal, que é a casa indicativa de milímetro. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Mudanças no uso de unidades Esta mesma medida pode ser escrita com a unidade dada em metros – m.  Perguntamos agora para o número apresentado na forma L = 0,173 m qual é a escala da régua utilizada? Será que, por apresentarmos a medida em metros estamos necessariamente usando agora uma escala em metros? A resposta para esta pergunta é NÃO!!! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 46 46

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Conclusões finais A mudança na unidade (de cm para m) não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida. O número 11,3 cm = 0,113 m indica que temos 0 m, 1 dm, 1 cm e 3 mm. Isto indica que o algarismo duvidoso está na casa dos mm, e que portanto temos certeza até a casa dos cm. Logo, podemos concluir sem sombra de dúvida que com a medida 11,3 cm = 0,113 m, a escala usada é a centimetrada. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 47 47

4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA E para finalizar.... Um cartoon... Wind_Roadmap.pdf-Page14 IEA (International Energy Agency)(2008a), Energy Technology Perspectives: Scenarios and Strategies to 2020, Paris, France. Nem sempre mais algarismos significativos significam mais dinheiro no bolso Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Relembrando... Abaixo mostramos uma tabela com os principais prefixos usados no Sistema Internacional – SI. Tabelas para prefixos aumentativos Tabelas para prefixos diminutivos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 50 50

5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A regra geral da notação científica Recapitulando: a mudança de unidades de uma medida de uma grandeza física não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida. Exemplo do uso de algarismos significativos com notação científica 18,7 dm  1870 mm 18,7 dm = 18710 mm Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A conveniência da notação científica A notação científica é uma forma conveniente de escrever números muito grandes ou muito pequenos. Em notação científica qualquer número pode ser escrito como o produto de um número real entre 1 e 10, vezes o número 10 elevado a uma dada potência de um número inteiro positivo ou negativo. Seja, por exemplo o número 215; vamos escrevê-lo em notação científica!!   Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Outro exemplo do uso da notação científica Observe que no caso do número 215, movemos a vírgula duas posições para a esquerda, e assim o expoente da potência de dez é 2. Seja, agora o número 0,00215; vamos escrevê-lo também em notação científica!!    Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 53 53

5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Mais um exemplo de uso da notação científica Sejam as medidas abaixo com diferentes números de AS, as quais convertemos para micrômetros. d = 30 dm  d = 30105 m d = 300 cm  d = 300104 m d = 3000 mm  d = 3000103 m Vamos escrever estes números, lembrando que o número antes da vírgula deve ser um número entre real 1 e 10. d = 30 dm  d = 30105 m  d = 3,0106 m d = 300 cm  d = 300104 m  d = 3,00106 m d = 3000 mm  d = 3000103 m  d = 3,000106 m Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Exemplos Vamos agora determinar o número de algarismos significativos dos números da tabela abaixo. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Necessidade de arredondamento Ao efetuar qualquer operação matemática com medidas de diferentes quantidades de algarismos significativos, o resultado será uma grandeza que não pode ter um número arbitrário de algarismos. É necessário que o resultado obtido seja arredondado no primeiro algarismo duvidoso à esquerda, conforme as regras que serão descritas a seguir. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 57 57

Regra 1 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados deve ser AUMENTADO de uma unidade. Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal. Como o número à direita do duvidoso é 9 > 5, então arredondamos “para cima”, e acrescentamos uma unidade ao AS duvidoso! 5,379  5,38 5,379 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 58 58

Regra 2 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados NÃO SE ALTERA. Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal. Como o número à direita do duvidoso é 13 < 50, então arredondamos “para baixo”, mantendo inalterado o AS duvidoso! 0,2413  0,24 0,2413 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 59 59

Regra 3 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números IGUAIS a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., deve-se proceder como segue: a) se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for IMPAR, ele deve ser AUMENTADO em uma unidade; b) se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for PAR, ele deve ficar INALTERADO. (ZERO TAMBÉM É PAR!). Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 60 60

Regra 3: exemplo Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na primeira casa decimal. 1,9500  2,0 1,9500 Como o número à direita do duvidoso é 500, então devemos olhar para o número à esquerda deste duvidoso. Como este número é ímpar (9 é impar!!), então arredondamos “para cima”, aumentando o número apresentado! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 61 61

Regra 3: exemplo Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal. 3,8450  3,84 3,8450 Como o número à direita do duvidoso é 50, então devemos olhar para o número à esquerda deste duvidoso. Como este número é par (4 é par!!), então arredondamos “para baixo”, mantendo o número como apresentado! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 62 62

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Ideias gerais Como vimos anteriormente o resultado de uma medida indireta é efetuada utilizando-se operações matemáticas com números obtidos de medidas diretas. Há situações em que se podem obter medidas com diferentes números de algarismos significativos (AS) com um mesmo aparelho de medida. Há outras situações nas quais é necessário efetuar uma ou mais operações matemáticas com resultados de medidas obtidas com instrumentos de precisão diferentes. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para adição e subtração O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. Seja, como exemplo, a soma de dois números com mesmo número de algarismos significativos, mas com acurácias distintas, como mostrado abaixo. 25,2  Acurácia de uma casa decimal S = 25,2 + 1,34 1,34  Acurácia de duas casas decimais Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 65 65

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Operacionalização do exemplo O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 25,2 + 1,34 _______ 26,54 Para entender como se aplica o critério de arredondamento, façamos a soma como mostrado ao lado, colocando os números um abaixo do outro. Observe que o resultado da soma levou a um número cujo primeiro algarismo significativo duvidoso encontra-se na primeira casa decimal. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 66 66

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Aplicação de critérios de arredondamento O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. O número duvidoso na segunda casa decimal é “mais duvidoso” do que o primeiro e, portanto deve ser desconsiderado, usando os critérios de arredondamento. 25,2 + 1,34 _______ 26,54  26,5 Resposta:  S = 26,5  Acurácia de uma casa decimal Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 67 67

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos Considere que, usando réguas graduadas em decímetros, centímetros e milímetros, foram medidos os comprimentos de algumas tábuas: 2355,1 mm, 11,1 dm, 117,3 cm, 13,5 mm, 3,4 dm, 77,5 cm e 813,3 mm. Determine o comprimento total dessas tábuas. Primeiramente, é adequado escrever todas as medidas de comprimento na mesma unidade, a qual escolhemos arbitrariamente a unidade metro – m. L1 = 2355,1 mm = 2,3551 m L2 = 11,1 dm = 1,11 m L3 = 117,3 cm = 1,173 m L4 = 13,5 mm = 0,0135 m L5 = 77,5 cm = 0,775 m L6 = 813,3 mm = 0,8133 m Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 68 68

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos Façamos agora a soma de todos estes comprimentos, respeitando a acurácia de cada uma destas medidas. 2,3551 + 1,11 1,173 0,0135 0,775 0,8133 _______ 6,  6,58 O procedimento padrão é mostrado ao lado. L = 6,58 m  Acurácia de uma casa decimal Observamos que o número que apresenta a mais pobre precisão é 1,11 m; a sua acurácia está na segunda casa decimal, o que está de acordo com o resultado final. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 69 69

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 83,5 ml + 23,28 ml _______ 106,78  106,8 ml 865, ml ,8121 ml _________ 863,0879  863,1 ml Resposta:  V = 106,8 ml Resposta:  V = 863,1 ml Acurácia de uma casa decimal Acurácia de uma casa decimal Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 70 70

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Pense um pouco... A. 235, ,6 + 2,1 = 1) 256, ) 256,8 3) 257 B , ,2 = 1) 40, ) 40,73 3) 40,7 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 71 71

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E o resultado correto é... A. 235, ,6 + 2,1 = 2) 256,8 B , ,2 = 3) 40,7 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 72 72

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para multiplicação e divisão O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, como exemplo, a cálculo da área de um retângulo de arestas L1 = 1,278 m e L2 = 11,7 cm. L1 = 1,278 m = 127,8 cm  4 algarismos significativos L2 = 11,7 cm  3 algarismos significativos A = L1L2  A = 127,811,7 A = 1495,26 cm2 Resposta:  A = 1,50 102 cm2  3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para multiplicação e divisão O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. 127,8 cm  11,7 cm _______ 8946 1278 + 1278+ __________ 1495,26  15010 mm2 O procedimento padrão para o cálculo deste produto é mostrado ao lado. L1 = 1,278 m = 127,8 cm L2 = 11,7 cm Resposta:  A = 1,50 102 cm2 3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um outro exemplo de multiplicação O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, também o cálculo do volume de um paralelepípedo de arestas L1 = 9,2 cm e L2 = 6,8 cm e L3 = 3,744 mm. L1 = 9,2 cm L2 = 6,8 cm  2 algarismos significativos L3 = 3,744 mm = 0,3744 cm  3 algarismos significativos V = L1L2L3  V = 9,26,8 0,3744 V = 23,422464 Resposta:  V = 23 cm3 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um exemplo de divisão O resultado da divisão de duas medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, como exemplo, a cálculo da resistência elétrica R de um resistor sujeito a uma diferença de potencial elétrico V = 1,540 V pelo qual percorre uma corrente elétrica I = 3,30 mA.  V = 1,540 V  4 algarismos significativos I = 3,30 mA = 3,3010-3 A  3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um exemplo de divisão O resultado da divisão de duas medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, como exemplo, a cálculo da resistência elétrica R de um resistor sujeito a uma diferença de potencial elétrico V = 1,540 V pelo qual percorre uma corrente elétrica I = 3,30 mA.   Resposta:  3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Agora é com vocês... A. 2,19 X 4,2 = 1) ) 9, ) 9,198 B. 4,311 ÷ = 1) 61, ) ) 610 C ,38 ÷ 2,1= 1) 27, ) ) 27,323 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E as respostas corretas são... A. 2,19 X 4,2 = 2) 9,2 B. 4,311 ÷ = 3) 610 C ,38 ÷ 2,1= 2) 27 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para operações mistas Regra geral: cada operação deve ser feita respeitando sua característica, priorizando-se as somas e subtrações em relação às multiplicações e divisões. Regra do “bom senso”: o resultado final deve conter a mesma quantidade de algarismos significativos que a medida direta mais pobre! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo Considere que em um circuito RLC em série foram medidas as seguintes grandezas físicas: frequência f = 60 Hz, indutância L = 18,91 mH, capacitância C = 15,42 F e resistência R = 173,0 . Determine a impedância Z deste circuito. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 81 81

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: continuação Cálculo da reatância capacitiva XC.   Cálculo da reatância indutiva XL.   Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 82 82

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: continuação Cálculo do termo (XL – XC)2. 7,1 = 0,071102  (0,071 – 1,7) = – 1,629  (0,071 – 1,7) = – 1,6  Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 83 83

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: continuação Cálculo do termo R2. R = 173,0   Cálculo do termo R2 + (XL – XC)2. (2, ,6) = 5,593  Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 84 84

7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: resultado final Cálculo da impedância Z.  Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 85 85

A Dama com Arminho - Leonardo da Vinci
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