Análise de Variância (ANOVA)

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1 Análise de Variância (ANOVA)
Leandro Sauer – Administração/UFMS

2 Objetivo Testar igualdade de médias em mais de dois grupos
Através de fatores (variáveis independentes podem ser quanti ou qualitativas) Produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse (variável dependente quantitativa)

3 Experimento com um fator
Modelo aplicado a projetos experimentais, no qual amostras aleatórias independentes são retiradas de k populações normais com médias m1,m2,..., mk respectivamente, e variância s2 . n= n1 + n nk Populações são denominados tratamentos ou níveis do fator

4 Experimento com um fator
Verificar se determinado fator é possível causa dos efeitos observados em certa variável de estudo. H0 : m1=m2=... =mk HA : Pelo menos duas médias são diferentes Se o teste estatístico indicar rejeição de H0 podemos concluir com risco a que o fator tem influencia sobre a variável de estudo.

5 Estimadores da Variância Comum
No caso de uma variável independente (um fator), a variância poderá ser estimada de três maneiras: Variância Total (S2 t ); Variância devida a tratamentos (S2 e ); Variância devida aos erros (S2 r )

6 Variância Total Estimador Não viciado de s2 , se H0 verdadeira

7 Variância devido aos Tratamentos
Estimador Não viciado de s2 , se H0 verdadeira

8 Variância devida aos erros
Estimador Não viciado de s2 , independente de H0 verdadeira ou falsa

9 Lógica da ANOVA Pode-se demonstrar que cada uma das variâncias das variáveis independentes é um estimador justo (não viciado) de s2 quando essas variáveis não tem influência sobre a variável de estudo (H0 ser V). Por outro lado a variância do erro é um estimador justo (não viciado) de s2 independente de H0 ser verdadeira ou não.

10 Quadro de Análise da Variância
Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de liberdade Quadrado Médio Teste F Entre Tratamentos Qe K-1 Dentro das Amostras (Residual) Qr = Qt - Qe N-k Total Qt N-1

11 Exemplo A tabela abaixo mostra a quantia gasta anualmente com leitura (em US$) por uma amostra aleatória de consumidores norte-americanos, residentes em quatro regiões distintas. Sendo você pode concluir que as médias de gasto são diferentes? 0,10, Nordeste Meio-Oeste Sul Oeste 308 246 103 223 58 169 143 184 141 246 164 221 109 158 119 269 Students should be encouraged to use a statistical calculator to find the sample means and variances. Remind them to square the standard deviation to find the variance. The alternative hypothesis states at least one of the means is different from the others. This test does not identify which one it is. There are additional tests available for this purpose. 220 167 99 199 144 76 214 171 316 108 204 1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa. H0: (Todas as médias populacionais são iguais.) Ha: Ao menos uma das médias difere das demais.

12 2. Estabeleça o nível de significância.
0,10 3. Determine a distribuição amostral. Uma distribuição F com g.l.N = 3, g.l.D = 23 0,8 4. Determine o valor crítico. 0,7 0,6 5. Determine a região de rejeição. 0,5 0,4 In this example there are 4 groups so k=4. There are 27 individual value and 27 – 4 = 23. 0,3 0,2 0,10 0,1 0,0 1 2 3 4 5 2,34

13 6. Determine a estatística teste.
Nordeste Meio-Oeste Sul Oeste 308 246 103 223 58 169 143 184 141 246 164 221 109 158 119 269 220 167 99 199 144 76 214 171 316 108 204 Calcule a média e a variância de cada amostra. 210,14 1.020,80 Students should use statistical calculators to find the mean and standard deviation for each sample. Remind them to square each standard deviation to determine the variance. Those who use the TI-83 can go directly to an F-test. Explain the x-double- bar symbol for the mean of all values. This is sometimes called the grand mean. 185,14 177,00 4.050,05 135,71 1.741,39 9.838,66 Calcule , a média de todos os valores. 4.779

14 Quadrado médio entre 20.086 6.695,33 Média n 1 185,14 7 66,26 463,8
, , ,8 , , ,0 , , ,0 , , ,8 The grand mean was 177. The difference between the mean from each sample and the grand mean is calculated and then squared. Each result is multiplied by the number of values in the particular sample. Finally, the sum is calculated. 20.086 6.695,33

15 n s2 , ,9 , ,2 , ,4 , ,8 Each variance is multiplied by one less than the number in the sample. The sum is calculated for the SS_w. To find the mean squares within divide by N-k. 6.955,33 95.855 4.167,61 1,669 4.167,61

16 8. Interprete sua decisão.
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,10 0,0 1 2 3 4 5 2,34 7. Tome sua decisão. Como F = 1,669 não cai na região de rejeição, não rejeite a hipótese nula. 8. Interprete sua decisão. Não há evidência suficiente para aceitar a alegação de que as médias não são iguais. Os gastos com leitura são os mesmos nas quatro regiões.

17 Resultado no Minitab Análise de variância de um fator
Source DF SS MS F P Factor Error Total Pelo método do valor P, você não rejeitaria a hipótese nula, já que 0,215 > 0,10. Não há evidência suficiente para acreditar que o gasto com leitura é diferente nas regiões distintas. Students will prefer to perform this test using a technology tool. The slight difference between the Minitab result and the one shown earlier is due to rounding off. The results are the same.

18 Analise de Variância com dois fatores
Em uma experiência agrícola, foram usados cinco diferentes fertilizantes em duas variedades de trigo. A produção está indicada a seguir. Verificar ao nível de 5% se: Há diferença na produção devido ao fertilizante; Há diferença na safra devido á variedade do trigo. Fertilizante A B C D E Variedade 1 54 38 46 50 44 Variedade 2 57 42 45 53

19 Quadro de Analise de Variância dois fatores
Fonte de Variação S S G.L. Q.M. Teste F Entre colunas Qc K-1 Qc /(k-1) Fc= Entre Linhas QE L-1 QE /(L-1) FL= Residual Qr n – k – L +1 Qr/(n-k-L-1) Total QT n-1 QT/(n-1)

20 Nosso Exemplo Fonte de Variação S S G.L. Q.M. Teste F Entre colunas
279,4 4 69,85 Fc = 69,85/3,25 = 21,49 Fcritico=6,388 FL = 22,5 / 3,25 = 6,92 Fcritico=7,709 Entre Linhas 22,5 1 Residual 13 3,25 Total 314,9 9

21 Teste de Scheffé Fator Único

22 Teste de Scheffé Fator Duplo Para as linhas Fator Duplo
Para as colunas

23 Teste de Scheffé (exemplo)
Fertilizante A B C D E Variedade 1 54 38 46 50 44 Variedade 2 57 42 45 53 Média 55,5 40 45,5 51,5 47

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25 Modelo de Apresentação
Introdução; Apresentação dos Dados Quadro de Analise de Variância Teste de Scheffé (se for necessário) Conclusões

26 Análise de Variância com dois fatores com repetição
Fonte de Variação S.Q. g.l. Q.M. Teste F Entre Colunas K – 1 Entre Linhas L – 1 Devido a Interação (K-1)(L-1) Residual LK ( R -1 ) Total n – 1 = KLR-1

27 Teste de Scheffé (Fator Duplo com repetição)
Para as colunas Para as linhas

28 Exemplo ANOVA fator duplo com repetição
As compras de chá –mate de 18 famílias estão dadas a seguir. Cada família esta classificada segundo a cidade em que reside e o numero de vezes que foi exposta a propaganda sobre chá noticiada pela TV. Para se conhecer a evolução do efeito da propaganda, deseja-se saber, ao nivel de 5%: Se há alguma relação entre propaganda noticiada e consumo do produto; Se há alguma diferença significativa no consumo entre as cidades; Se há alguma relação entre propaganda noticiada e as cidades, refletida no consumo.

29 Número de vezes de colocação da propaganda
Dados Brutos Cidades Número de vezes de colocação da propaganda De 1 a 5 vezes De 6 a 10 vezes Mais de 10 vezes A 19 27 18 20 30 B 26 25 32 C 24 21 31