MODELOS EM HIDROGEOLOGIA

MODELOS EM HIDROGEOLOGIA
UNESP – Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro MODELOS EM HIDROGEOLOGIA Disciplina: Hidrogeologia 2010

O QUE É UM MODELO ? “Modelo é uma ferramenta desenvolvida para representar uma versão simplificada da realidade.” WANG & ANDERSON (1982)

MODELOS A principal motivação para a utilização de modelos matemáticos é realizar previsão de certos fenômenos. MODELO REALIDADE PREVISÃO ?

MODELOS Qual a necessidade de se fazer previsões em Hidrogeologia?
Rebaixamento do lençol freático em minas Migração de contaminantes em água subterrâneas Elevação da potenciometria após a construção de barragens Impacto gerado pela explotação de aquíferos para abastecimento

Water Levels in the Sandstone Aquifer
MODELOS Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos Water Levels in the Sandstone Aquifer (feet above sea level) Well Locations and Pumping Rates Shallow Deep

MODELOS Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos

MODELOS Previsão de migração de plumas de contaminantes

TIPOS DE MODELOS Modelos físicos Modelos analógicos
Modelos matemáticos

MODELOS O modelo físico ou modelo reduzido constitui a representação em escala laboratorial dos processos estudados. Normalmente este tipo de modelagem física é utilizado auxiliar no entendimento de fenômenos complexos e complementar os resultados dos modelos matemáticos. Possuem a vantagem de serem realizados através de experimentos controlados em laboratório.

Modelos físicos Fonte:

Modelos físicos

Modelos analógicos Tais modelos consistem na representação de certos fenômenos a partir de outros em menor escala, por analogia com as leis físicas que regem estes fenômenos (WANG & ANDERSON, 1982). Diversos fenômenos na natureza obedecem o mesmo princípio físico e, são portanto, matematicamente idênticos. Lei de Darcy Lei de Ohm Lei de Fourrier Em virtude da existência de uma analogia matemática e física entre as leis de Ohm e Darcy, circuitos elétricos foram empregados no passado para representar e simular explotação de aquíferos.

Modelos analógicos A existência de similaridades nas formulações matemáticas que descrevem o fluxo de corrente elétrica (Lei de Ohm) com aquelas que descrevem o fluxo de água subterrânea (Lei de Darcy) permitiu que o primeiro fenômeno fosse utilizado para a simulação do segundo.

Modelos analógicos Conjunto de resistores e capacitores elétricos representando um aquífero.

Modelos analógicos

Modelos Matemáticos Soluções analíticas
Soluções por aproximação numérica Tipos: Diferenças finitas Elementos finitos Volumes finitos Elementos de contorno Elementos analíticos

Modelos Matemáticos Os modelos matemáticos são representados por um conjunto de expressões matemáticas compostas pelos seguintes elementos: Equações Governantes Condições de contorno e iniciais

Equações Governantes As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982). Patankar (1980) define as equações governantes como equações diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação. Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em essência, trabalham com balanço de massa ou energia.

Equações Governantes Para Wang & Anderson (1982), a equação governante que representa o fluxo de água subterrânea, em sua forma analítica, é derivado da combinação da Lei de Darcy com a conservação de massa, como expresso abaixo: Onde: Ss é o armazenamento especifico W é a recarga Lei de Darcy:

Condições de contorno Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno são elementos físicos que representam a interação entre os processos no interior do modelo e sua parte externa. A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de soluções. As condições de contorno direcionam as simulações para a solução única do modelo.

Condições de contorno As condições de contorno podem ser agrupadas em 3 tipos: Condição de primeiro tipo Condição de segundo tipo Condição de terceiro tipo

Condições de primeiro tipo
Tipo I - Contorno de carga hidráulica especificada ou carga hidráulica constante (condição de Dirichlet), que pode ser matematicamente representado pela expressão: h(x,y,z,t) = conhecido Exemplos de condição de carga hidráulica especificada (primeiro tipo).

Condições de primeiro tipo
H = 10 m

Condições de segundo tipo
O fluxo especificado pode ser nulo ou não. A condição de fluxo nulo é aplicável quando existe um contorno impermeável, uma linha de simetria, uma linha de fluxo, ou seja, onde inexista fluxo transversal a este contorno. É comum que se use este tipo de condição de contorno em simulações de dimensões reduzidas, situação onde não se conhece a extensão real do aquífero, sendo a forma deste limite delineada a partir de uma linha de fluxo obtida a partir da elaboração da potenciometria local. Reilly et al (1987), exemplifica lagos e rios como tipos de condições de contorno de fluxo especificado (não nulo), desde que estes tenham sua interação com o aqüífero bem conhecida: q = f(x,y,z,t) onde: dh (x,y,z,t) é a variação elementar tridimensional e temporal de carga hidráulica, dn é a variação elementar de distância perpendicular à direção de fluxo.

Condições de segundo tipo

Condições de terceiro tipo
Um exemplo comumente usado para este tipo de contorno é aquele no qual existe uma camada semipermeável separando dois aqüíferos ou um aqüífero e um corpo de água superficial. O fluxo que passa deste corpo aquoso sobrejacente para o aqüífero, através da camada semipermeável é expressa pela equação de Darcy: Onde: q é a o volume de água que atravessa a camada semipermeável em virtude da diferença de carga hidráulica, K’ é a condutividade hidráulica da camada semiconfinada, H’-h é a diferença de carga entre o aqüífero livre e o semiconfinado, b’ é a espessura da camada semiconfinante

Condições de terceiro tipo

Condições iniciais As condições iniciais são componentes essenciais em modelos transientes. A simulação em regime transiente requer, no início da simulação, uma distribuição de carga hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas calculadas em um determinado passo de tempo são dependentes dos valores de carga hidráulica do passo anterior.

Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos (PAMMs)

Etapas de modelagem numérica de fluxo
Compilação de informações de relevância; Informações referentes a Geologia Regional e Local, Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações geológicas previamente existentes; 2) Elaboração de um Modelo Conceitual; A segunda etapa é representada pela formulação de modelo hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de informações relevantes existentes do domínio a ser simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da área a ser simulada.

MODELO CONCEITUAL SUPERFICICAL Areia e conglomerado (CAMADA 1)
Silte, argila (Unidade semi-confinante) Areia e conglomerado (CAMADA 2) Layer 1 Layer 2 Layer 3 ROCHA (CAMADA 3) Arenito, Siltito, Basalto

Sedimentos aluvionares Siltitos da Fm. Rio Claro
Etapas de modelagem numérica de fluxo Modelo Conceitual Sedimentos aluvionares Siltitos da Fm. Rio Claro Diabásio

Stream –aquifer System Representation of Stream –aquifer System
3) Simulação numérica de fluxo Stream –aquifer System Land Surface Water Table River Surface Realidade Streambed Representation of Stream –aquifer System Impermeable Walls Head in Cell (h) River Stage (HRIV) Modelo M RBOT W

3) Simulação numérica de fluxo Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática, no ambiente do software.

4) Calibração do Modelo Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga no rio) até que exista uma correspondência em nível satisfatório entre os os valores calculados pela simulação e os valores reais de carga hidráulica, vazão ou concentração.

3) Calibração Coeficiente de correlação linear ® entre os valores de cargas hidráulicas reais e calculadas Raiz média do erro residual quadrático (RMS) Média absoluta do resíduo (MA) Variância do residuo (VAR) Resíduo Médio (M) cali é o valor de carga hidráulica calculada, obsi é o valor de carga hidráulica observada, é o valor médio de carga hidráulica calculada, é o valor médio de carga hidráulica observada.

3) Calibração

6) Previsão Se o modelo matemático representa com fidelidade satisfatória a realidade, este pode ser empregado para realizar previsões do comportamento do aquífero ao longo do tempo.

Modelos matemáticos Os Modelos analíticos fornecem valores exatos do problema. Contudo pressupõe um meio isotrópico, homogêneo, com geometrias simples do aquífero (retângulos, elipses, quadrados). Os Modelos numéricos fornecem valores aproximados do problema. Contudo, possuem a vantagem de permitirem a representação de meio heterogêneos, anisotrópicos e geometrias complexas dos aquíferos.

Modelos Matemáticos Soluções analíticas
Soluções por aproximação numérica Tipos: Diferenças finitas Elementos finitos Volumes finitos Elementos de contorno Elementos analíticos

Modelos matemáticos Solução analítica de Toth (1962):

Modelos numéricos - Discretização

Conceitos básicos em diferenças finitas
Considere a equação governante do fluxo de águas subterrâneas no meio poroso: Se o meio é isotrópico, então Kxx = Kyy = Kzz e, deste modo, podemos retirar os valores de condutividade hidráulica da equação, o que reduz a expressão para a Expressão Laplaciana.

Se simplificarmos o problema 3D para 2D: Podemos aproximar a equação de laplace através de seu truncamento para equações algébrica simples.

h Dx Dx Dx x

O mesmo tipo de aproximação é empregada na direção Y: Se o Dx = Dy, então, a equação de Laplace para o ponto (i,j) simplifica para:

A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos. (i,j-1) (i,j) (i+1,j) (i-1,j) (i,j+1)

Modelos matemáticos Solução numérica: É considerado um conjunto finito de pontos em uma malha regular. Se localiza os pontos (ou nós) mediante suas coordenadas i,j

Para i=2,j=2 Para i=2,j=3 Para i=3,j=2 Para i=3,j=3

Métodos iterativos A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos. Os métodos iterativos fazem aproximações sucessivas até que exista a convergência do modelo, isto é, até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que o critério de convergência.

Método iterativo de Jacobi
Utilizando a equação acima, resolva o problema abaixo, utilizando o método iterativo de Jacobi, empregando um critério de convergência de 0,01. 15 ? ? ? ?

Método iterativo de Jacobi
13,125 3ª iteração Resíduo 2 = 13, ,250 = 1,875 14,98 9ª iteração 14,980 Resíduo 9 = 14, ,941 = 0,030 14,063 4ª iteração Resíduo 4 = 14, ,125 = 0,938 14,531 5ª iteração Resíduo 5 = 14, ,063 = 0,469 11,250 2ª iteração Resíduo 2 = 11,250 -7,500 = 3,500 14,766 6ª iteração Resíduo 6 = 14, ,531 = 0,234 7,500 1ª iteração Resíduo 1 = 7,5 – 0 = 7,500 14,883 7ª iteração Resíduo 7 = 14, ,766 = 0,117 14,985 10ª iteração Resíduo 10 = 14, ,971 = 0,015 14,993 11ª iteração Resíduo 11 = 14, ,985 = 0,007 14,941 8ª iteração Resíduo 8 = 14, ,883 = 0,059 CC = 0,01 8 15 7 6 o 5 u d s í 4 e R 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Iteração

Método iterativo de Gauss-Siedel
Neste método, ao contrário do Jacobi, são usados dois resultados já calculados dentro da iteração.

Método iterativo de Gauss-Siedel
12,188 13,594 14,297 2ª iteração 14,956 14,978 14,989 5ª iteração 14,989 14,995 14,997 6ª iteração 7,500 9,357 12,188 1ª iteração 14,297 14,648 14,824 3ª iteração 14,824 14,912 14,956 4ª iteração 14,997 14,998 14,999 7ª iteração CC = 0,010 Máximo Resíduo 3 = 2,109 Máximo Resíduo 5 = 0,312 Máximo Resíduo 2 = 4,688 Máximo Resíduo 7 = 0,008 Máximo Resíduo 4 = 0,507 Máximo Resíduo 1 = 12,188 Máximo Resíduo 6 = 0,033 14 12 15 10 8 Resíduo máximo 14,997 14,989 12,188 14,824 14,297 14,956 7,500 14,995 13,594 13,594 14,978 14,998 14,912 9,357 6 4 14,995 13,594 14,912 14,684 14,978 14,998 9,357 12,188 14,824 14,997 14,989 14,956 14,297 14,999 2 1 2 3 4 5 6 7 8 Iteração

Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)
Neste método são empregados dois resultados já calculados dentro da iteração e o resíduo é multiplicado por fator de relaxação, w (valores entre 1 e 2), o que promove a aceleração da convergência do modelo.

Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)
15,099 15,013 15,038 3ª iteração 15,006 15,011 15,005 4ª iteração 15,005 15,002 15,000 5ª iteração 8,250 10,519 14,035 1ª iteração 13,210 14,691 14,926 2ª iteração CC = 0,010 w = 1,1 Máximo Resíduo 2 = 4,960 Máximo Resíduo 4 = -0,033 Máximo Resíduo 5 = -0,009 Máximo Resíduo 3 = 1,799 Máximo Resíduo 1 = 14,035 15 16 14 12 10 13,210 15,009 15,006 15,005 8,250 15,013 15,011 15,002 10,519 14,691 8 Resíduo Máximo 6 15,011 15,002 14,691 15,013 10,519 15,000 15,005 15,038 14,035 14,926 4 2 -2 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Iteração

Diferenças Finitas EXEMPLO
Suponha um hipotético aquífero aluvial, delimitado lateralmente por rochas impermeáveis do Embasamento Cristalino. O aquífero recebe influxo de água de um lago artificial a montante e descarrega em um rio à jusante. Calcule com o Excel, empregando técnicas de Diferenças Finitas, a distribuição de carga hidráulica entre o rio e o lago, admitindo-se que o aquífero seja homogêneo e isotrópico.

Diferenças Finitas

Diferenças Finitas Células fictícias Células fictícias

Diferenças Finitas

MODELOS EM HIDROGEOLOGIA

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "MODELOS EM HIDROGEOLOGIA"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

MODELOS EM HIDROGEOLOGIA

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "MODELOS EM HIDROGEOLOGIA"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback