1 MICROECONOMIA II P ROFESSORA S ILVINHA V ASCONCELOS 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 1.

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1 1 MICROECONOMIA II P ROFESSORA S ILVINHA V ASCONCELOS 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 1

2 2 JOGOS REPETIDOS (CLASSE DE JOGO DINÂMICO) 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 2

3 3 C ONTEÚDO DA A ULA Conceito/características de jogo repetido ENPS em jogos repetidos finitos ENPS em jogos repetidos infinitos Bibliografia: Cap. 5 Rasmussen e cap. 2 Gibbons Citação: Friedman, J. A non-cooperative equilibrium for supergames. Review of Economic Studies, 38:1-12, 1971. 11/12/2015 3 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF

4 4 CONCEITOS Quando se combina jogo simultâneo com jogo seqüencial, pode-se dizer que este jogo é repetido porque Os jogadores sabem o que se decidiu nas etapas passadas E a cada nova etapa os jogadores não sabem o que os outros farão 11/12/2015 4 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF

5 5 APERFEIÇOANDO O CONCEITO Um jogo repetido é um jogo one-shot que é identicamente repetido mais de uma vez. Ou seja, os jogadores repetidamente tomam as mesmas decisões no mesmo ambiente (as regras do jogo não mudam) É um tipo especial de jogo na forma extensiva pois em cada período todos jogadores se movem simultaneamente e o conjunto de ações de cada jogador não varia de um período para outro (estratégias constantes) Os dados coletados pelo monitoramento perfeito das ações jogadas a cada período dão a história do jogo até aquele período (este é o elemento que muda no jogo: a história)

6 OBS.: É possível que, como os movimentos dos jogadores podem trazer consigo suas informações privadas, o jogo seja do tipo informação assimétrica Mas aqui: concentraremos em jogos repetidos com informação simétrica 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 6

7 F ORMALIZANDO O CONCEITO DE JOGO REPETIDO (G IBBONS, P. 84) Dado um jogo base, G, seja G(T) o jogo finitamente repetido no qual G é jogado T vezes, com os resultados de todas as jogadas precedentes observadas antes da próxima jogada começar. Os payoffs de G(T) são simplesmente a soma dos payoffs dos jogos de T estágios. 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 7

8 8 Definindo as estratégias dos jogadores em um jogo repetido A história do jogo no período , H , é a lista de resultados jogados em todos períodos, t = 1, 2,...,  -1. Uma estratégia do jogador em um jogo repetido T vezes, é uma lista de ações que o jogador tem em cada período, t = 1, 2,..., T, onde cada ação do período t, a i t  A i é baseada na história do jogo no período t (isto é, a i t liga a história H t e uma ação no conjunto A i )

9 9 Em outras palavras A estratégia de um jogador no jogo repetido é uma lista de ações a serem jogadas a cada período , onde a ação de cada período do jogador i é baseada na lista de ações jogadas observadas por todos jogadores em todos os períodos t = 1, 2,...,  -1, resumidas pela história H  Ou as estratégias dos jogadores em jogos repetidos (finitos ou não), especificam, dada a história do jogo até ali, que ação tomar em cada etapa do jogo

10 10 Definindo subjogo em jogo repetido Em um jogo repetido n vezes, um subjogo começando em uma dada etapa do jogo, t, é o jogo repetido, que é jogado de t até a n-ésima (e última) etapa Há tantos subjogos se iniciando em uma dada etapa do jogo repetido finito quantas forem as possíveis histórias do jogo até aquela etapa

11 11 Definindo resultado do jogo repetido O resultado de um jogo repetido é uma lista de ações que seriam jogadas em cada período , onde o payoff do período  para cada jogador é uma função das ações jogadas pelos jogadores no período 

12 12 EXEMPLO: O JOGO PAZ-GUERRA 11/12/2015 12 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF

13 13 Suposições para este jogo Ele é repetido T vezes nos períodos 1, 2,..., T, onde T é um número inteiro que satisfaz 1  T  +  Seja 0    1 o fator de desconto E suponha ainda que a i t é a ação tomada pelo jogador i no período t, i = 1, 2, t = 1, 2,..., T, Seja ainda  i t ( a 1 t, a 2 t ) o payoff do jogador i no período t, i = 1, 2 (matriz anterior)

14 14 Os payoffs O payoff para o jogador i quando o jogo é repetido T vezes é definido por

15 15 OBSERVAÇÕES Suponha que o jogo Paz Guerra seja jogado duas vezes (dois períodos consecutivos) No início do segundo período há 4 histórias possíveis resultando de 4 possíveis combinações de ações de primeiro período dos jogadores Ou seja, H 2  {(Guerra, Guerra), (Guerra, Paz), (Paz, Guerra), (Paz, Paz)} Então, no primeiro período o país 1 tem duas ações (estratégias) possíveis e no segundo ele pode jogar ainda duas ações (estratégias possíveis) dada a história até ali

16 16 Exemplificando combinações de estratégias As possíveis combinações de estratégias devem especificar, dada a história do jogo, que ação tomar a cada possível história No exemplo: {(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Paz, Paz) {(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Paz, Guerra) {(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Guerra, Paz) {(Paz, Paz), (Paz, Guerra), (Guerra, Paz), (Guerra, Guerra)} se (Guerra, Guerra)

17 17 1 PazGuerra PPPPGGGG P G P 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 G P G P G

18 18 Proposição Para um inteiro finito T, 1  T < , o jogo Paz- Guerra repetido T vezes tem um único ENPS onde cada país joga guerra em cada período Prova: suponha que os países já jogaram T -1 períodos, e que eles estão prontos para jogar o período final do jogo, T. Então, este é idêntico ao jogo one-shot : nele, o único EN é (Guerra, Guerra). Em T – 1: ambos sabem que em T não cooperam e jogam Guerra. Então, em T – 1, ambos jogam Guerra. Por Indução retroativa, Guerra será jogada em cada período

19 PROPOSIÇÃO GERAL Se o jogo base G tem um único EN então, para qualquer finito T, o jogo repetido G(T) tem um único resultado perfeito de subjogos: o EN de G que é jogado em cada estágio 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 19

20 20 Outro exemplo: Jogo de Selten (Chainstore paradox) Seja uma empresa com uma série de filiais que tenta impedir que a rival entre em cada uma dos 20 mercados onde está instalada. O jogo-base é

21 21 Jogo de Selten (Chain store paradox) A pergunta é: com 20 cidades, será que a incumbente não consegue lutar para criar reputação de durona e impedir a entrada? Entrante Incumbente Entra Não Entra Não luta Luta (0, 100) (30, 10) (-50, 0)

22 22 Comece pelo fim Na 20ª cidade: a incumbente não luta porque não há ganho de reputação, só prejuízo em lutar (não há outra cidade para proteger) Na 19ª cidade também não há porque construir reputação na 19ª já que há entrada na 20ª (se não impediu na 20ª porque construir reputação na 19ª?) E assim sucessivamente. Daí o paradoxo: não luta em nenhuma cidade

23 23 RESUMINDO Se a incumbente prometer lutar no primeiro mercado para deter entrada nos 19 restantes. Se 19 mercados já tiverem sido invadidos, tendo ela lutado ou não, não há porque lutar novamente no vigésimo (não importa a história do jogo). No 19º também não há porque fazê-lo. E assim sucessivamente. Este jogo jogado repetidamente tem somente um equilíbrio: {E, NL}, porque não há razão para criar reputação de “feroz”.

24 24 Observações Em um jogo repetido finito, cujo jogo base é do tipo dilema dos prisioneiros, não há porque acreditar que os jogadores irão cooperar (o raciocínio anterior é válido aqui) Mas isto muda quando a modelagem de interação passa a ser infinita (que pode ser pensado como um jogo cuja data final é indeterminada)

25 25 O jogo repetido infinitamente Sem uma definição do fim, o argumento do Chainstore paradox falha Voltando ao jogo-base da Paz-Guerra. Suponha que ele seja repetido infinitamente. Neste caso, não há como usar indução retroativa (pois não há período final) Como resolvê-lo?

26 26 Definição Estratégia do gatilho (do tipo grim, severa) Cada jogador coopera no período t (jogando a i t =Paz) desde que todos os jogadores cooperem em  -1. Mas se qualquer jogador não cooperar e jogar Guerra em  -1, então a firma i dispara o gatilho e joga ação não cooperativa para sempre (ou a i t =Guerra para todo t = ,  +1,  +2,...)

27 27 Formalmente O jogador i joga a estratégia grim se para cada período ,  = 1, 2,...,

28 28 Equilíbrio em estratégias do gatilho Vendo agora as condições para o resultado onde ambos jogam suas estratégias trigger ser ENPS Proposição: se o fator de desconto é suficientemente grande, então o resultado onde os jogadores jogam suas estratégias trigger é um ENPS. Formalmente, estratégias trigger são ENPS se  > ½.

29 29 Prova Seja um período representativo, , e suponha que o país 2 não desviou em 1,..., . Então se 1 desvia e joga a i t =Guerra, pela matriz do jogo,  1  = 3. Com isto, o país 2 desvia em todos períodos subseqüentes e joga a i t =Guerra em todo t ≥  +1, dada a estratégia trigger Considerando que

30 30 Prova Considerando o desvio,

31 31 Prova Se o país 1 não desvia, ambos jogam Paz para sempre, de forma a ganhar 2 cada um, então

32 32 Finalizando a prova O país não desvia se o VPD de não desviar for maior do que o VPD de desviar Ou seja, quando o fator de desconto é grande o bastante (maior do que ½), cooperação se torna mais benéfica para os jogadores

33 33 Corolário Em um jogo infinitamente repetido, cooperação é mais fácil de sustentar quando os jogadores tem maior fator de desconto Em jogos repetidos não cooperativos, é possível obter um resultado cooperativo Mas cooperação não é o único resultado (pode haver um grande número de resultados sob esta condição de fator de desconto alto). Ver Teorema Folk (p. 124)

34 P RINCIPAL RESULTADO DE JOGOS REPETIDOS ( P. 97, GIBBONS ) Teorema (Friedman, 1971): Seja G um jogo estático finito de informação completa. Sejam ( e 1,..., e n ) os payoffs de EN do jogo G, e sejam ( x 1,..., x n ) quaisquer outros payoffs possíveis em G. Se x i > e i para cada jogador i e se  (o fator de desconto) é suficientemente perto de um, então existe um ENPS do jogo infinitamente repetido G( ,  ) que alcança ( x 1,..., x n ) como um payoff médio. OBS.: Sendo ( x 1,..., x n ) os payoffs Pareto Superior no jogo do dilema. 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 34

35 35 Algumas observações Como ficam os payoffs para o jogo repetido Exemplo: usando o jogo-base do cartel repetido duas vezes

36 36 A matriz deste jogo repetido 2 vezes Empresa 2 CNC Resultado da primeira etapa Empresa 1 (C, C)=(2, 2)C(4, 4)(2, 5) NC(5, 2)(3, 3) (NC, C)= (3, 0)C(5,2)(3,3 ) NC(6,0)(4,1 ) (C, NC)= (0, 3)C(2,5 )(0,6 ) NC(3,3 )(1,4 ) (NC, NC) = (1, 1)C(3,3 )(1,4 ) NC(4,1 )(2,2)

37 37 Conclusões Qualquer jogo repetido finito n vezes em que o jogo-base apresente apenas um EN possui um único EN perfeito em subjogos, o qual consiste em jogar o EN do jogo base em todas as n etapas Qualquer seqüência de combinações de estratégias que sejam EN no jogo-base pode ser um ENPS E combinações de estratégias que não envolvam, em alguma etapa do jogo, um EN no subjogo, podem também ser um ENPS

38 E STRATÉGIA M AXMIN (R ASMUSSEN, P. 127) Uma estratégia s* i é uma estratégia maximin para o jogador i se, dado que os outros jogadores escolhem estratégias para tornar o payoff de i o menor possível, s* i dá a i o maior payoff possível. Ela representa uma tentativa de auto-proteção à punição Ou seja, s* i resolve Maximizar Mínimo  i ( s i, s -i ) s i s -i 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 38

39 E STRATÉGIA M INIMAX (R ASMUSSEN, P. 127) Uma estratégia s i * -i é o conjunto de ( n - 1) estratégias minimax escolhidas por todos os jogadores exceto i para manter o payoff de i tão baixo quanto possível, não importa como ele responda. Ela representa a máxima sanção possível ao que não coopera s i * i resolve Minimizar Máximo  i ( s i, s -i ) s -i s i 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 39

40 E XEMPLO 1: E STRATÉGIA M AXMIN Se linha Confessa, ele maximiza os seus mínimos payoffs possíveis Se coluna Confessa, idem. Então, {C,C} é equilíbrio de estratégias maxmin (sublinhados) 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 40 Coluna CNC Linha C(-8,-8)(0,-10) NC(-10,0)(-1,-1)

41 E XEMPLO 1: E STRATÉGIA M INIMAX Se linha Confessa, ele minimiza os máximos payoffs possíveis de coluna (vermelho) Se coluna Confessa, idem. Então, {C,C} é equilíbrio de estratégias minimax 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 41 Coluna CNC Linha C(-8,-8)(0,-10) NC(-10,0)(-1,-1)

42 OBSERVAÇÃO 1 A utilidade das estratégias Minimax e maxmin não é diretamente predizer as melhores estratégias dos jogadores (pois eles são racionais), mas determinar os limites de como suas estratégias afetam seus payoffs (por exemplos, desvios à cooperação 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 42

43 OBSERVAÇÃO 2 É possível escolher estratégia minimax mista. Ex.: 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 43 Coluna EsquerdaDireita Linha Acima (-2,2)(1,-2) Meio (1,-2)(-2,2) Abaixo (0,1)

44 OBSERVAÇÃO 2 (CONTINUAÇÃO) Linha garante a si um payoff de 0 escolhendo Abaixo (sua estratégia maxmin) Porém, coluna não pode impor ao linha um payoff de zero ao linha: se coluna escolhe esquerda, linha escolhe meio; se coluna escolhe direita, linha escolhe acima (em ambos casos linha tem 1) Mas coluna pode jogar estratégia minmax mistas (basta jogar esquerda e direita com probabilidade 0,5 cada: neste caso, os payoffs esperados de meio e acima serão -0.5 (0.5.(-2) + 0.5(1)), menores do que o valor de jogar abaixo (0). 11/12/2015 Mestrado em Economia Aplicada - UFJF 44