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Produtos Notáveis
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Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Quadrado da diferença: (a −b)2 = a2 − 2ab + b2 . Produto da soma pela diferença: (a + b)(a − b) = a2 − b2 . Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . Cubo da diferença: (a −b)3=a3 − 3a2b + 3ab2 −b3.
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Fatoração
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Fatoração A fatoração de um número ou de expressões algébricas consiste em reescrever este(a) na forma de produto entre dois ou mais fatores expressões. Exemplo: = = 23 Estudaremos a seguir 4 casos de fatoração
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Fator comum Fatorando o polinômio 𝑎𝑥2+𝑏𝑥3−7𝑥2 . Observe que em todos os termos contém x2, isto permite colocá-lo em evidência. Temos assim: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥3−7𝑥2= 𝑥2(𝑎+𝑏−7)
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Agrupamento Fatorando a expressão 2𝑚𝑥−5𝑛𝑦 −2𝑛𝑥+5𝑚𝑦. Reescrevendo esta em outra ordem temos: 2𝑚𝑥−2𝑛𝑥 −5𝑛𝑦+5𝑚𝑦 =2𝑥 𝑚−𝑛 +5𝑦 𝑚−𝑛 =(2𝑥+5𝑦) . 𝑚−𝑛
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Diferença de dois quadrados
𝑎2−𝑏2= 𝑎+𝑏 . (𝑎−𝑏) Trinômio do quadrado perfeito 𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2= 𝑎−𝑏 2 𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2= 𝑎+𝑏 2
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Divisão de Polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini
Este é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. E consiste em efetuar a divisão utilizando apenas com coeficientes da equação, este só se aplica a de um polinômio de grau igual ou superior a 1 por um binômio da forma x−α.
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Passos Ordene o polinômio P(x) de modo que as potências da variável x fiquem em ordem decrescente. Por exemplo, P(x)=2x4−3x3+x5+3 precisa ser escrito como P(x)=x5+ 2x4 −3x3+3. Após escrever o polinômio P(x) com as potências em x. Tomaremos apenas os coeficientes do polinômio P(x) = 1x2 – 3x + 2, que são 1, -3 e 2.
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1ª Etapa — organizar os coeficientes de P(x)
Em uma tabela serão disposto apenas os coeficientes de P(x). Nesta os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva, tendo em uma coluna específica para cada um destes. Por exemplo, para P(x)=x2−6x+9 (TI é o Termo Independente):
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2ª Etapa — registrar a raiz do divisor
Vamos utilizar a equação x+2 como um divisor de P(x). Será necessário encontrar o valor para x que anule esta, ou seja, x+2=0. Portanto, a raiz de x+2 é −2. Esta será colocada aqui: −2 1 −6 9
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3ª Etapa — calculando os coeficientes do quociente e o resto da divisão
Este procedimento será repetido até se esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de P(x). Será necessário multiplicar o último número pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de P(x) que está acima da posição vaga.
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Na posição vaga devemos colocar o resultado da operação 1 × (−2) + (−6) = −8.
9 −8 Repetindo o processo. Na posição vaga devemos colocar o resultado da operação (-8) × (−2) + 9 = 25. −2 1 −6 9 −8 25
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Resultado final Ao final deste processo o último número corresponde ao resto, ou seja, R(x)=25. E da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente resultante da divisão, que são, Q(x)=1⋅x−8=x−8.
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Limites
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Noção intuitiva de limite
Considere a função f ( x) = x2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ ℜ, isto é, qualquer que seja o número real x0 , o valor f (x0 ) está bem definido. Exemplo 1. Se x0 = 2 então f (x0 ) = (2)= = 3. Dizemos que a imagem de x0 = 2 é o valor f (2) = 3 .
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Indeterminação matemática
Se fizermos 0 0 =𝑥 ⇔ 0. x = 0, para qualquer que seja o valor de x ∈ ℜ.
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Consideremos a função f(x)= 2𝑥2+𝑥−3 𝑥−1 , temos como domínio D(f) = { x∈ ℜ / x≠1}. Fatorando a expressão temos f(x)= 2𝑥+3 .(𝑥−1) 𝑥−1 ,desse modo obtemos f(x) = 2x+3, com x≠1. Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função, vamos estudar o comportamento desta quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta: Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos de 1, porém diferentes de 1? A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento da função em proximidade de um ponto. No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem única. Mas, existe o ponto x=1 que gera a indeterminação.
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Tabelas de aproximações.
Estas permitem estudar os valores da função f( x), quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Podemos nos aproximar do ponto 1: por valores de x pela direita: por valores de x pela esquerda:
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Valores de x menores que 1:
Observe o que acontece com valores maiores e menores que 1, separadamente: Valores de x menores que 1: X 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 f(x) 3,00 3,50 4,00 4,50 4,80 4,98 4,998 4,9998 Valores de x maiores que 1: Em ambas as situações a medida que “x” se aproxima de “1”, f(x) se aproxima de 5. Neste caso, escrevemos lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =5 X 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 f(x) 7,00 6,50 6,00 5,50 5,2 5,02 5,002 5,0002
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Limites laterais. Os dois tipos de aproximações vistos nos exemplo anterior são chamados de limites laterais. Quando x tende a 1 por valores menores do que 1, dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x→1−. Temos então que: lim 𝑥→1− 𝑓 𝑥 =5 O sinal negativo no expoente do nº 1 simboliza apenas que x se aproxima deste pela esquerda.
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Limites laterais. Os dois tipos de aproximações vistos nos exemplo anterior são chamados de limites laterais. Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1, dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x→1+ . Temos então que: lim 𝑥→1+ 𝑓 𝑥 =5 O sinal positivo no expoente do nº 1 simboliza apenas que x se aproxima deste 1 pela direita.
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Analisando graficamente
X F(x) -2 -1 1 3 5 2 7
