PROBABILIDADE Profa. Ana Clara Guedes.

PROBABILIDADE Profa. Ana Clara Guedes

Experimento Aleatório
São experimentos que, mesmo se repetidos um número muito grande de vezes, apresentam um resultado que não pode ser previsto; em outras palavras, o resultado depende do acaso.

Experimento Aleatório
São exemplos de Experimentos Aleatórios: EA1 - Jogar uma moeda EA2- Jogar um dado EA3- Observar a colocação de um atleta no pódio na próxima competição EA4- Um paciente será submetido a uma cirurgia de alto risco. Observar o resultado da cirurgia.

Espaço Amostral É o Conjunto de todos os resultados possíveis de um Experimento Aleatório. Para cada exemplo de Experimento Aleatório, vamos indicar um Espaço Amostral. É comumente indicado pela letra S ou pela letra U, ou ainda pela letra grega .

Espaço Amostral Exemplos de Espaço Amostral para cada Experimento:
EA1 - Jogar uma moeda S1 = {cara, coroa} EA2- Jogar um dado S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} EA3- Observar a colocação no pódio S3 = {1º, 2º, 3º, fora} EA4- Resultado da cirurgia S3 = {sucesso, com sequelas, óbito}

Eventos São resultados particulares do Experimento Aleatório.
Obs. Os eventos são indicados com letras maiúsculas Para cada experimento indicado anteriormente vamos dar um exemplo de evento.

Eventos Exemplos: E1: resultado ser cara = {cara}
E2: resultado ser um número par = {2,4,6} E3: Atleta ficar em primeiro lugar = {1º} E4: O paciente morrer = {óbito}

Eventos Simples e Compostos
Exemplos: E1: resultado ser cara = {cara} E2: resultado ser um número par = {2,4,6} E3: Atleta ficar em primeiro lugar = {1º} E4: O paciente morrer = {óbito do paciente} EVENTO COMPOSTO EVENTOS SIMPLES

Eventos Complementares
São aqueles que, juntos, equivalem ao Espaço Amostral Exemplos: 1.ao lançar uma moeda: “cara” e “coroa” 2.ao lançar um dado: “sair 6” e “não sair 6” 3.Ao observar a colocação do Atleta “chegar em 1º lugar” e “outros resultados”

Probabilidade Probabilidade é definida como a quantificação da possibilidade de ocorrência de um evento. Probabilidade é sempre um número entre 0 e 1. Quanto mais próxima de 0, mais “difícil” é a ocorrência do evento. Quanto mais próxima de 1, mais chance o evento tem de acontecer.

Probabilidade Clássica
Se o os elementos do Espaço Amostral têm todos a mesma chance de ocorrência, então a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:

Probabilidade Por exemplo, tomemos o evento do experimento EA2 e calculemos a probabilidade de sair um resultado par (E2). Não se esqueçam de que esta forma de cálculo de probabilidade só é válida se todos os elementos do Espaço Amostral tiverem a mesma chance de ocorrer!

Probabilidade de Eventos Complementares
Se a probabilidade de sair cara em determinada moeda é igual a 20%, então a probabilidade de não sair cara é igual a 80%. Se a probabilidade de um jogador acertar um pênalti é igual a 70%, a probabilidade de que ele não acerte é igual a 30%.

Probabilidade Frequentista
Se em uma grande quantidade de repetições de um mesmo experimento, a freqüência relativa de um evento se aproxima de um número fixo, então este número é uma estimativa da probabilidade de ocorrência do evento.

Exemplo: Suponhamos que um dado tenha sido alterado de forma que uma das faces esteja mais provável do que as outras, mas não sabemos exatamente qual. Faremos então uma experiência, lançando o dado um número muito grande de vezes, digamos, mil vezes. Digamos que o resultado desta experiência seja o mostrado na tabela a seguir:

Resultados Nº de resultados % 1 397 39,7 2 158 15,8 3 126 12,6 4 135 13,5 5 132 13,2 6 52 5,2 TOTAL 1000 100,0 Neste caso, dizemos, então, que P (6) = 5,2%

Eventos Independentes
Dois eventos são chamados de independentes se a ocorrência de um deles não alterar a probabilidade do outro. Exemplo1: considere o experimento “jogar uma moeda e, em seguida, um dado” Considere os eventos: E1 = {cara} e E2={resultado par} Se você souber que o resultado da moeda foi cara (evento E1 ocorreu), isto vai alterar a probabilidade do dado ter resultado par? A resposta é não. Dizemos então que estes dois eventos são independentes.

Eventos Independentes
Exemplo 2: considere os eventos: A = {ocorrer acidente de carro} e B = {o motorista estar alcoolizado} Se você souber que o motorista está alcoolizado (evento B ocorreu), isto vai alterar a probabilidade de haver acidente de carro (evento A)? A resposta é sim. Dizemos então que estes dois eventos não são independentes.

Probabilidade de mais de 1 evento
Muitas vezes precisamos calcular a probabilidade de dois ou mais eventos ao mesmo tempo. Para isto precisamos de alguns teoremas .

TEOREMA DO PRODUTO Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles ocorram juntos é igual ao produto de suas probabilidades. Por exemplo, no experimento “jogar uma moeda e, em seguida, um dado” qual a probabilidade de sair cara E par? P (cara e par) = P(cara) . P(par) = 0,5 . 0,5 = 0,25

TEOREMA DA SOMA A probabilidade de ocorrência de um evento A ou do evento B é dada por: P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Por exemplo, considere o experimento “jogar uma moeda e, em seguida, um dado” Considere os eventos: E1 = {cara} e E2={resultado par} Qual a probabilidade de sair cara ou par?

Teorema da Soma Qual a probabilidade de sair cara ou par? P (E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E! e E2) ou: P(cara ou par) = P(cara) + P(par) – P(cara e par) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75 Calculado antes

Exercícios Resolvidos
Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem? 2)Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem, se soubermos que o primeiro também é homem?

Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem? R. 0,5 (só existem 2 possibilidades, e as duas têm a mesma chance de ocorrência) 2)Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem, se soubermos que o primeiro também é homem? R. 0,5 (o fato do primeiro filho ser homem não altera a probabilidade do segundo filho ser homem)

3) Em uma certa população, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo O é 40%, sangue tipo A é 30% e tipo B é 20%. Qual a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo AB?

3) Em uma certa população, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo O é 40%, sangue tipo A é 30% e tipo B é 20%. Qual a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo AB? R. 10% (é o que falta para o total de 100%)

4) Em uma certa população, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo O é 40%, sangue tipo A é 30% e tipo B é 20%. . Suponha que a probabilidade de ser Rh+é de 90%, e que o fator RH independe do tipo sanguíneo. Qual a probabilidade de um indivíduo ser : a) O+ ? b) AB- ?

4) a) P(O+ ) = P(O e Rh+) = P(O) * P(Rh+) = 0,4 * 0,9 = 0,36 b) P( AB- )= P(AB e Rh-) = P(AB) * P( Rh-) = 0,1 * 0,1 = 0,01

5) A probabilidade de um menino ser daltônico é igual a 8%. Dois meninos se apresentaram, em certo dia, para um exame oftalmológico. Qual a probabilidade de: a) Os dois serem daltônicos? b) Nenhum dos dois ser daltônico? c) Pelo menos um deles ser daltônico? d) Somente um deles seja daltônico?

5) a) P(Os dois serem daltônicos)=? P(1ºD e 2ºD) = P(1ºD) * P(2ºD) = 0,08 * 0,08 = 0,0064 = 0,64% b) P(Nenhum dos dois ser daltônico)=? P(1ºnãoD e 2ºnãoD) = P(1ºnãoD) * P(2ºnãoD) = 0,92 * 0,92 = 0,8464 = 84,64%

5) c) P(Pelo menos um deles seja daltônico)=? P(1ºD ou 2ºD) = P(1ºD) + P(2ºD) - P(1ºD e 2ºD) = 0,08 + 0,08 - (0,0064) = 0,1536 = 15,36% d) P(somente um deles)=? = P(1ºD e 2ºnãoD) + P(1ºnãoD e 2ºD) = ( 0,08 * 0,92) + (0,92 * 0,08) = 0, ,0736 =0,1472 = 14,72%

6) Uma família tem seis filhos. Digamos que o Experimento Aleatório seja observar o número de meninos nesta família. Escreva o Espaço amostral. Qual a probabilidade do primeiro filho ser homem? Qual a probabilidade de somente um filho ser homem?

6) a) S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} b) 0,5 = 50% c) P(somente um filho ser homem) = P(1ºH e 2ºM e 3ºM e 4ºM e 5ºM e 6ºM) * 6 =P(1ºH)*P(2ºM)*P(3ºM)*P(4ºM)*P(5ºM)*P(6ºM) * 6 = 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 6 =0,0938 = 9,38% O único homem pode ser o primeiro, o segundo, o terceiro... São 6 possibilidades

7) Observando os resultados dos últimos semestres, verificou-se que 4/5 dos alunos têm resultado insatisfatório na primeira prova de Fisiologia . Um aluno será sorteado entre os que fazem esta disciplina. Qual a probabilidade de ele ter resultado satisfatório?

7) P (insatisfatório) = 4/5 então: P (satisfatório) = 1/5

BIBLIOGRAFIA VIEIRA, Sônia. Introdução à bioestatística.Rio de Janeiro: Elsevier, 1980. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – volume I – Probabilidade. São Paulo: Pearson Educational do Brasil, 1999.

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